%> at <1Ccc c < ce c c <3: ccC ccc c c €^ Ce, C C '■ '■ c Ccc rc^ ce CC^i^c CIT«PES, DE l'ÉCOLE POLïTECHSIQCE , SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER, Quai des Au{rustin8, 55. 1873 (Toos droits réserrés. ) r 1985 TABLE DES MATIÈRES. PREHIERE PARTIE. INTRODUCTION. Pages. Fonctious rationnelles 2 Fonctions algébriques 9 Des variables imaginaires dans l'étude des fonctions. 23 De l'exponentielle et des fonctions circulaires Sa De la périodicité dans les fonctions circulaires 4' CALCUL DIFFÉRENTIEL. PREMIERS PRINCIPES. Série de Tay lor 47" Remarques sur le développement des fonctions par la formule de Ma- claurin 5Î Différentielles des fonctions d'une variable 65 Différentielle du premier ordre 65 Différentielles d'un ordre quelconque 78 Différentielles partielles et différentielles totales 78 Changement de la variable indépendante 82 Table des matières. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Pages. Préliminaires go Dérivée de l'aire d'une courbe plane 98 Notions de l'intégrale définie 99 Dérivée d'un arc de courbe ici Du contact géométrique i o4 Contact des courbes planes io4 Contact des courbes dans l'espace 116 Contact d'une courbe et d'une surface i3o Contact des surfaces 1 89 De la courbure 1 5o Courbes planes 1 5o Courbes dans l'espace 1 66 Surfaces 181 Courbes et surfaces enveloppes 191 APPLICATIONS ANALYTIQUES. Formes indéterminées de certaines fonctions pour des valeurs particu- lières delà variable 1 99 Maxima et minima 204 Formation des équations différentielles • . 207 Équations différentielles ordinaires 207 Équations aux différences partielles 21 5 CALCUL INTÉGRAL. PREMIERS PRINCIPES. Remarques préliminaires sur la notion d'intégrale définie aSi Intégration par substitution • • • ^^O Notions sur les courbes unicursales • • . ■ 240 Intégration par parties 256 Intégration des fonctions rationnelles ' 26 1 TABLE DES MATIÈRES. XI Ptfet. Cx'-a')"-^' .•••• ''° n • .• I j <• . r'^' «'J^ /**' 8ina x''y — X* — 4 ■^ -<- 4 '^^ ) puis, en employant la proposition du paragraphe précédent, ramenons les seconds membres à des binômes du second degré , qui seront les restes obtenus en les divisant par x^ — Sx- ->t-&x — I . On parviendra ainsi aux trois relations jr= x' — 4J7-+-4, xy ^= x'' — 2 j: -H I , x^y—Zx^ — 5.r-i-i; et en les écrivant de cette manière jt' — 4'ï' -+- 4 — / = o, x"^ — x[l 4- j) -4-1 = O, x"^ ["i — y) — 5x -+- I = o, on voit que l'équation cherchée s'obtiendra en égalant à zéro le déterminant du système • 4 4— r I 2 4- J' I 3 — j- 5 I Or on reproduit ainsi l'équation proposée, savoir j' — 5j=H-6^- — 1 = o, INTRODUCTION. l3 d'où résulte que, si rt désigne une de ses racines, la quan- tité «' — 4^ + 4 sera pareillemenl une racine, mais non la même, car l'égalité a'— 4rt-+-4=^ donnerait les valeurs inadmissibles l'une et l'autre a = t, a=: ^. Maintenant on obtient, par la formule connue, '-^-v/^^'^^^v^i-ï*^' et l'on en déduit 9(«'-4«-H4) = i5-.Y/Z^^v/-3-2y/^-^V^-3 v^a-T^-)'-v/a-T^-) ce qui doit se ramener à gb, en désignant par b une des deux autres racines, savoir : 9* = ,5.3.^/z7f7^-.3,.^Z-H^^, e étant l'une des racines cubiques imaginaires de l'unité. C'est là un exemple de transformation, où un système de quatre ra- dicaux cubiques se réduit à deux seulement, qui échappe tout à fait aux règles du calcul élémentaire. IV. La proposition démontrée au § II fait voir que toute fonction rationnelle /(a:, j) de la variable indépendante et d'une racine de l'équation de degré n, F{x, y')=o, est tou- jours réductible à la forme dont les coefficients sont rationnels en x. Mais c'est encore une autre forme, conséquence immédiate de la précédente, que l'on emploie dans une théorie importante du Calcul inté- gral. Multiplions et divisons f{x, y) par la dérivée, prise par rapport à j, du premier membre de l'équation proposée, il viendra _ iaj''-'-4-Pr-'-H...)F;(.r, r) l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL. Or, en effecluanl au numérateur la mulliplicalion indiquée, on trouvera un polynôme entier en j, qui se ramènera, comme on l'a déjà vu, au degré n — i. Par suite, il viendra G, H, . . . étant rationnels en x ; c'est la forme employée pour la première fois par Abel, et qui figure dans les travaux de Riemann, de MM. Clebsh et Gordan sur les intégrales de dif- férentielles algébriques. En l'appliquant au cas simple de l'équation nous en déduirons l'expression suivante Gv/X+H -H '^^"'^^ = -7x~ = '' 71' et nous observerons que la fonction rationnelle H étant décom- posable en une partie entière, c'est-à-dire en termes tels que «^*, et en fractions simples •, il s'ensuit que la ^ [x — ay- partie irrationnelle de la fonction j\x,y) se trouve pareille- ment décomposée en éléments qui sont de ces deux espèces, savoir : «T* A -;=:? V/X [x-aYyJX Ce résultat nous sera utile par la suite. V. Dans ce qui précède, nous n'avons considéré que la forme extérieure en quelque sorte des fonctions algébriques irrationnelles, nous allons maintenant faire un pas de plus, en nous limitant d'ailleurs à cette même expression f{-r, v/X), où je supposerai X un polynôme entier de degré pair im. Soit alors en décomposant en facteurs linéaires X= k[x — a)[x — ù). . .{x — l), INTRODUCTION. l5 nous tirerons de celle iransformalion bien simple, savoir : \x — n J \j: — aj \x — aj une conséquence imporlanle. Posons, en effet, en iniroduisant une nouvelle variable, X — b =', X — a ce qui donne h —fit nous en conclurons aisément h-a V^ = (T^Tr v/Aa^-^-(« c)ty.\b-l-[a-i)tl el l'on voit que le nouveau radical carré fonction de t ne ren- ferme plus celle variable qu'au degré 2m— i. Posons donc pour un instant 1 = kt[b - e -[a - c)t]. . .[b - l -{a - l)t]; l'expression /(^, v'X), se transformant en celle-ci ^[b—at h— a /=\ pourra se représenter simplement par ?(^ V/T).

o"! ^'^^^ correspondre à y toute expression imaginaire z = JC -\- y v' — 1 un point Z dont l'abscisse est la partie ^ réelle x et l'ordonnée le coefficient/ de \j—i- De là résulte que toute loi de succession de quantités de cette nature sera donnée par une suite de points, et, par conséquent, par un lieu géomé- trique si les quantités x et j varient d'une manière continue. Cela posé, soit u une fonction de la variable z, un polynôme entier par exemple, qu'on pourra, pour toute valeur de z, mettre sous la forme « = X -f- Y J^i . Nous appliquerons le même mode de représentation à u et à la variable indépendante, de sorte qu'à un lieu, à une ligne quelconque, déterminant la loi des valeurs z, répondia une autre ligne donnant la loi de succession des valeurs de la fonc- tion. Nous pourrons aussi employer, au lieu des coordonnées rectangulaires, les coordonnées polaires p et &>, en faisant j; = |iCOSw, j=psinw, p étant la distance OZ toujours prise positivement, et- &» l'angle 7.0x. Alors on nomme p le module, l'angle o) l'argu- ment de z, et à l'égard de u, nous poserons semblablement X = Rcoscp, Y = Rsinp. Dans le premier cas, la dérivée étant toujours positive, 9 croît indéfiniment avec w. Dans le second, celte dérivée s'annule INTRODUCTION. 25 en posanl y/v.' -H (; - = COSfw — ( elle offre, comme on le reconnaît aisément, une série pério- dique de valeurs alternativement positives et négatives, et l'angle 9 reste compris entre un maximum et un minimum. Ce résultat important peut s'obtenir, par la Géométrie, d'une manière très-facile. Remarquant que la variable z est représentée p'ar un point M {fig. 2) du cercle x"^ -4- j^î^rrp', je con- sidère deux nouveaux axes coordonnés parallèles aux premiers, et dont l'ori- gine, ayant a et [3 pour abscisse et or- donnée, représenterait la constante Cela posé, entre les coordonnées x' et j' du point M et les anciennes, on aura les relations d'où y =y x' ->r- y' y/— \ — z — n. Le module et l'argument de z — a sont donc la longueur AM et l'angle MA^'. Or la condition v/a' H- [3', QA^, déterminées par les tangen- tes AP et AQ, de sorte que le point M, revenant à sa position initiale après avoir décrit la cir- Fic. 3. 20 CALCUL DIFFÉRENTIEL. conférence entière, l'angle 9, après avoir été tour à tour en décroissant et en augmentant, finit par reprendre sa valeur primitive. III. La construction géométrique qu'on vient d'employer conduit facilement à reconnaître qu'on peut substituer au cercle une courbe fermée quelconque, contenant à son inté- rieur l'origine des coordonnées, et parvenir à la même con- clusion; car on n'a eu recours à aucune propriété caracté- ristique de la circonférence, si ce n'est d'être une courbe fermée (*). Considérons maintenant, en nous plaçant à ce point de vue plus général, le module et l'argument du produit d'un nombre quelconque de facteurs binômes Il = {z — a) [z — b). . .{z — l], et supposons que la variable imaginaire z—p (cosw -+- \/— I sinoj) décrive un contour fermé quelconque S. Si l'on fait z — rt = R (cos'f H- v/— I sinip), z — b = R,(cos(ï),-i- y/— I sin^p, ), et z— l — R„(cosH- v/— 1 sin), l'équation A (cos'ï> -+- \J — I sin $) = RR,...R„(coS())+v^- isin^)(cos9,-f-v/ — isin^,)...(cosf„H-v'— isin _ " (|9sinw — /3)'-i- (p cosw — «)' ' d'où résulte que la fonction de w placée au numérateur ne \ ourra s'évanouir et changer de signe qu'autant que le point («, /3) sera extérieur à la courbe dé- terminée par l'équation entre o et w. INTRODUCTION. '>.'] donnera JR. = RR,. . .R,, et = (p-<-„-f- 7.kv. Cela posé, lorsque la variable z parlira d'un point du con- tour pour y revenir après l'avoir décrit entièrement et une seule fois, l'angle w croîtra d'une valeur déterminée «o à 0), H- 27r et des divers arguments =: « pour oj = &)g; tous les points de cette courbe s'obtiendront en faisant croître &> jus- qu'à la valeur w, •4-2r, et l'argument 0 parviendra ainsi, comme nous l'avons vu, en variant d'une manière continue, à la valeur O9 -t- -iu.-. Or les relations sini(*„-i- 2ix7r) = {— If sin^4>, montrent que, a étant un nombre impair, les coordonnées X et Y ne reprennent point leurs valeurs initiales, de sorte que le lieu géométrique relatif à u n'est point une courbe fermée, et qu'il l'est au contraire si a est supposé un nombre pair, attendu que le module ifi, fonction entière de sinw et cosw, conserve toujours la même valeur pour oa = w, et w = c», -h 27:. Ce que l'on vient d'établir à l'égard de la racine u = -\- \/¥{z) a lieu également pour la seconde racine u= — v^^l^), et si l'on construit en même temps les deux courbes figurant la loi de succession de ces quantités, on conclut que, dans le premier cas, le point de départ de l'une d'elles coïncidant avec le point d'arrivée de l'autre, on obtient, en construisant le double système de points, non pas deux courbes qui, l'une et l'autre, soient interrompues et s'arrêtent brusquement, mais une courbe fermée unique. Dans le second cas, au con- 3o CALCUL DIFFÉRENTIEL. traire, chacune des racines reprenant sa valeur initiale, la con- struction effectuée donne pour résultat deux courbes fermées et distinctes. La signification du nombre y. conduit donc à ce théorème : La variable indépendante décrivant un contour fermé, le système des racines de r équation M^ = F(Z) est figuré par une seule courbe, ou par deux courbes fermées distinctes, suivant qu'il r a un nombre impair ou un nombre pair de racines de l'équation V{z) = o, renfermées dans l'in- térieur de ce contour. La dénomination de non uniformes sera employée désormais à l'égard des fonctions de z, qui diffèrent ainsi des fonctions rationnelles par cette circonstance si frappante de donner lieu tantôt à des courbes fermées, tantôt à des courbes interrom- pues, suivant le chemin décrit à partir d'un point donné par la variable indépendante pour revenir à ce même point. On nomme, au contraire, uniformes les fonctions qui sont toujours représentées par des courbes fermées, quel que soit le con- tour fermé décrit par la variable. Tels sont les polynômes en- tiers, les séries infinies convergentes, comme e% pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de la variable, ou encore les quotients de pareilles séries. Parmi les fonctions non uni- formes de nature si diverse dont l'Analyse donne l'origine et la définition, les fonctions algébriques ont une importance par- ticulière; mais, à leur égard, je dois me borner aux indications suivantes. Considérant en général l'équation F( z, m ) = o, les valeurs de la variable qui lui feront acquérir deux ou plusieurs racines égales jouerontle même rôle que les quantités a, b,..., /dans la question précédente. Ainsi, en faisant décrire à z un contour fermé ne renfermant aucun point qui corresponde à ces quan- tités, le système des valeurs de n racines u est figuré par n chemins fermés, comme si ces racines étaient chacune des fonctions uniformes. Mais quand le contour relatif à la va- INTRODUCTION. 3l riable indépendante comprend un ou plusieurs de ces points, les racines qui, le long de ce contour, sont fonctions conti- nues de z (*) n'ont plus les mêmes valeurs au point de départ et au point d'arrivée. Elles s'échangent alors entre elles d'une certaine manière que M. Puiseux a donné le moyen de déter- miner, en se fondant sur la règle célèbre du parallélogramme analytique de Newton (**), dans son beau et important travail intitulé : Recherches sur les fonctions algébriques {***). Il en ré- sulte, pour le système des quantités u, un nombre moindre de courbes fermées, et souvent môme une seule. Ajoutons que ces modes de permutation des racines suivant les divers che- mins suivis par la variable z pour revenir à sa valeur initiale tiennent à leurs propriétés les plus importantes, et permettent de reconnaître dans des cas très-étendus, par exemple quand le degré de l'équation F(z, u)=zo est un nombre premier, si elle est résoluble par radicaux. Les points figurant ces valeurs de z, pour lesquelles deux ou plusieurs racines de la proposée deviennent égales, ont reçu, en raison même de cette circonstance, la dénomination de points d'embran- chement, de ramification, ou encore de points critiques. Ils constituent, pour les fonctions algébriques irrationnelles, un genre de discontinuité spécial, d'une autre nature que le pas- sage par l'infini, pour une valeur particulière de la variable. Quant aux points répondant à ces valeurs qui rendent ainsi une fonction infinie, ils ont reçu la dénomination de pôles, sous la double condition que l'inverse de la fonction s'annule pour la môme valeur, et qu'elle ne puisse acquérir plusieurs déterminations par suite d'une révolution de la variable autour de ce point. Par exemple, la fonction a un pôle z = «, z — a (*) Théorème de M. Cauchy, Nouveaux Exercices de Mathématiques, t. Il, p. 109, (**) L'objet de cette règle donnée par Newton sous forme géométrique, dans le court Traité intitulé : Artis analjytica specimina i>el geometrica aiialytica, et réduite à un calcul arithmétique simple par Lagrange, est d'obtenir l'exposant du premier terme de chacune des racines de l'équation F(z,k)=: 0 développée suivant les puissances ascendantes de z. {'**) Journal de M. Liouvilie, t. XV,.i85o. 3:2 , CALCUL DIFFÉKEMIEL. celle-ci y/z — 6 a un pôle 2 = « et un point d'embran- z — a chemenl 2 = 6. La fonction e--", qui devient encore infinie pour z = a, présente une discontinuité d'une nature entière- ment différente, attendu que son inverse, à savoir : e --", est également infinie pour z = a. Ce point z = ane sera donc point un pôle à l'égard de cette fonction. Enfin, en un point d'embranchement, une fonction peut devenir infiniment grande, sans que ce point soit pour cela un pôle, le caractère essentiel d'un pôle étant, comme nous l'avons dit, que la fonction soit uniforme dans son voisinage (*). De l'exponentielle et des fonctions circulaires. I. C'est à l'introduction des exposants fractionnaires, ima- ginés par Descartes, qu'est due la notion de la fonction expo- nentielle limitée ainsi au cas où la variable est réelle. Pour l'étendre à des valeurs imaginaires, il a fallu tirer de cette première notion un développement en série suivant les puis- sances ascendantes de la variable, ou encore cette expression i-f- — I pour m infini, et voici comment on a procédé. En partant du développement démontré seulement pour des valeurs réelles .r x'^ .T^ .r"' (f = IH f-, 1 -f- . . . H f- . . . , 1 i .% 1.2.3 i.a.3.../// nous ferons cette remarque, que la série du second membre conduit à un résultat fini et déterminé lorsqu'on y remplace X par a ->(- b \j — 1 , Soit pour cela rt = P cos'f , i — psin<)), il est facile alors, au moyen de la formule de Moivre (coS(fi -(- /— I sin(B)"'= cos/wcp -1- \/—\ sinwf, ( *) C. NErMANN, Vorlesiingen ïiber Bleiiiann's Théorie der abel'schen Intégrale. IMIIODUCTION. 33 d'oblenir SOUS la forme A -•- B \/ — i le résultai de la substiui- lion X = o -^ b\f—\ = p(co8cp -4- /— ^sin'j)); et l'on trouve, en effel, A ° P' P" A = I H- -coscp -f- -*— cosa» -+-. . .H cos/ntp -i-. .. , I ^ 1 . a ' 1.2.../// ^ P . P* P'" B = - sin

- = > sini- = . • ^Ja'+b^ •" ^a'-i-b' INTRODUCTION. 37 Elles donnent un seul et unique angle a ( * ) entre les limites zéro et an, et pour solution générale j = a -I- a/îT, k étant un nombre entier quelconque. C'est la présence de cet entier indéterminé qui conduit à attribuer à la fonction lo- garithmique, considérée sous le point de vue général auquel nous sommes placés, son véritable caractère analytique de fonction susceptible d'une infinité de déterminations. Et l'on observe que ce caractère se présente même à l'égard des logarithmes des quantités réelles; car en supposant dans l'équation que nous venons d'obtenir log(rt -+■ b\/-i ) = log v/«^-»- b^'-+-[x -+- 2/77) /— I , 6 = o et a positif, ce qui donne } étant é^aux à -<- i ou — i, de sorte que A et R représentent les valeurs numé- riques absolues de a et b, l'angle « sera déterminé par l'équation tit , A »■=- — h it} arc tanp - » A l'arc dont la tangente est — étant positif et moindre que — • Dans le cas de a ou b nul, I ou 1} devra être pris égal à l'unité ( Ueber einige Gegemtànde der elementartn Analyils ; Acad. des Sciences de Fienrie, iSliy). 38 CALCUL DIFFÉRENTIEL. IV. Les formules COS.r = a siriJ" = 7= % \l —\ conduisent à transformer l'expression z = sin'-.r eob*-r en une fonction linéaire des sinus ou cosinus des arcs multiples de ^, lorsque les exposants a et b sont entiers. Pour obtenir ce ré- sultat, qui sera employé dans le Calcul intégral, je pose pour un instant t = e'^-' et a-hb = n, ce qui donnera - (^)" (^")' et, en chassant le dénominateur, 1'^W-i]"rz = {t^-y)"{t'+^)". Or le second membre, ne contenant que le carré de i, peut être développé sous cette forme .(^2_,)"(/-^-^,/ = 'y^/•^"^-a,i'(''-|)^...-^a./M''-') + ...^-a^^, les coefficients a», a étant des nombres satisfaisant, comme je vais le montrer, à la condition suivante «,--=(-»i''2«„-,-. Écrivons, en effet, pour abréger, puis changeons t en -, et chassons le dénominateur, il vien- dra ce qui reproduit dans le premier membre l'expression pro- posée multipliée par le facteur (— i)"; or, l'identilé (- \Y 1 oc. t '('-•)= ly..t'' donne bien, en égalant les coefficients de r^' de part et d'autre, la relation annoncée. Uevenons mainienantà l'expression de ^ INTRODUCTION. 89 qu'on trouvera, en divisant le polynôme (/'— i)''(/'-i- i)* par /", sous cette forme et, considérant d'abord le cas où le nombre a est pair, ce qui donnera 0!- = * je I écrirai ainsi en laissant dans le second membre, quand n est un nombre pair, le seul terme a, indépendant de /. J'observerai en- i" suite qu'on a généralement tv- — cv-' ^-^ = coSfxx -+■ /— I sinpt.r, — = f-l"»^-! _ coSfx.r — \/—l sinf/.r, d'où tV--^ — = 2C0iif*.r, de sorte qu'on en conclut immédiatement la valeur de z sous la forme annoncée, savoir 2" (— 1)' z = aa^, coé II X -\- ix^ cos(« — 2) .r -)-... , le second membre contenant, comme il a été remarqué plus haut, le ternie a, indépendant de a-, quand n est pair. En second lieu, si l'exposant a du sinus est impair, ce qui donnera «. = — ^„-,> nous écrirons le second membre ne renfermant plus comme précédem- ment, pour n pair, de terme indépendant de /, car la condi- tion à laquelle satisfont les coefficients donne, pour / = -♦ a 4o CALCUL DI^FÉRENTIEL. a„= — a„, c'est-à-dire a„ = o. On en conclul encore immé- 12 2 dialemenl, en employant la relation et, divisant par \J — i, n — I i" [— \) * z = aa^ sin//j: -H 2a, sin {// — 2) .r -H. . . . Il ne reste plus qu'à déterminer les coefficients a„, a,,...; or un premier moyen serait d'effectuer la muliiplicaiion algé- brique des puissances (^ — 1)" et {x + i)*; mais en voici un autre. Soit Y —(^x— i)"(.r-i- 1)*= a^x"-4- a, .r""'-!-. . .; ■ on aura logJ=«log(^— l)+ ^l0S(.r-f-i), et, en prenant les dérivées par rapport à x. y X — I X -\- \ d'où j'(j7'-i) =zyWa^h]x^a — b\ Substituant, dans cette relation, les deux dévelop|)ements y =^ a, a:" -t- a, .r "- ' 4- y.^ x«-' + . . . , y' = /ix^x"-' -f- (//_,) a, x"-^-h... , et faisant de suite a» — i, on en conclura, en posant, pour abré- ger, b — a=z p,]es relations qui suivent 2a^ = />a, — //, dont la loi est évidente. Soient, par exemple, <7= 2, b — 5, d'où « = 7, P ^ 3, INTRODUCTION. 4' ces relaiions deviendroiu a, ^ 3, 2a,= 3a, -7, Sa, = 37., — Ga,, d'où Xj = a, a, = I, *j ^= ''t et on en conclura la relation a'sin'xcos'-f = — cos7.r — 3 cos5x — cos3.r + 5 cosx; on irouverail de même • 2.' &\n^x cos'jT = — sinSx — u sin G.r -+- 'i sin4.^-t- G sin^x, a'8in*xcos*x = cosiox-t-acosS.r— 3co6G.r — 8cos4-p-H2 00S2.r-(-6. L'expression générale des coefficients x n'est connue, d'après l'équation j = (x — i)"(jr -f- 1/, que dans le cas où l'un des exposants a ou 6 est nul, ou bien s'ils sont égaux entre eux ; toutefois, en supposant que a et h soient des nombres pairs quelconques, on a, pour celui de ces coefficients qu'il importe particulièrement de considérer, l'expression simple qwe voici A.. i.3.5..,(fl-i)i.3.5...(/»-i') a, =2^ ^ ^ ^ i. i" 1.1.3.. . |« De la périodicité dans les fonctions circulaires. I. Celte propriété importante manifeste d'une manière toute particulière la différence de nature des fonctions qui la pos- sèdent, avec les fonctions rationnelles et algébriques dont nous nous sommes occupé précédemment, et leur imprime leur caractère le plus apparent, en quelque sorte, de fonctions transcendantes. C'est d'ailleurs par la périodicité que les sinus 61 cosinus interviennent dans presque toutes les questions de l'Analyse, depuis les études qui ont pour objet les propriétés abstraites des nombres entiers, jusqu'aux applications du calcul à la Pbysique el à l'Astronomie. Tel est, en effet, le ca- ractère d'universalité de ces fonctions que, dans l'Ouvrage in- titulé : Disquisitiones aritlimeticœ, Gauss s'exprime dans les termes suivants : « Cui mirahiii quantitatum geneii, ad quod in disquisilionihus maxime /leterogeneis scepissimè de- 4*2 CALCUL DIFFÉRENTIEL. ferimur, cujusque subsidio nulla Mallieseos pars carere po~ test w Mais si la définition géométrique des fonctions cir- culaires met immédiatement en évidence tout ce qui concerne leur périodicité, celte propriété semble beaucoup plus cachée dans les développements en série tels que .2.3 1.2.3.4.5 C05.r = I 1.2 1.2.3.4 1.2. 3. 4. 5. G Aussi n'est-il pas inulile d'indiquer d'autres expressions ana- lytiques où elle se reconnaîtra tout aussi facilement que par la considération du cercle. Tel est, par exemple, ce dévelop- pement en produit infini / x'\ ( x'\ [ .r-' i,\r\.T:x = rcx I Il \| V i y V 4 / V 9 Qu'on prenne, en effet, le polynôme P,.,..(,_.)(,_.)...(,_f)(,..)(,..)...(...), ou encore, en désignant par A un facteur numérique, F(.r) = A.r (,/■ — 1) (,r — 2). . .(x — «){,r-i-r)(j7-t- 2).. .(.r-i-- «), et on verra bien aisément que d'où, pour n infini, F(.r+i) = -F(.r), et, par conséquent, F(.r-^2) = -^F(.r). Tel est encore le développement qu'on trouve en prenant la dérivée logarithmique de sinr^r, savoir I 2,r 2.r 1.x 7TC0trr.r = - + — h -H — (-... , X x' — I X- — 4 -^ — 9 43 fCiii-, en l'écrivanl ainsi TTCOlr.r — — h I I X — I X — a .r — 3 I I I .r-t-i X -h 1 X-+-3 le second membre devient, si l'on change x en x -h\, I I I I III X — I X et, par conséquent, la suite infinie des fractions simples se reproduit, car elles n'ont fait que changer de place en s'avan- çanl chacune d'un rang (*). Ce résultat suggère, par une généralisation facile, le mode suivant de représentation d'une fonction (^) ayant pour pé- riode une quantité quelconque, à savoir ou bien cl) (.r) — «p [x] -f- • ■"■•^ « • 37r.r „ . {■ih — \)t:x 4- B. sin 1- B., sin h . . . -h B , sm ^ h . . . , (l'a " a la principale propriété de ces séries consistant en ce que les coefficients A„, B„ décroissent quand n augmente, de manière qu'elles sont toujours convergentes du moment que Jes fonctions restent elles-mêmes finies. Ce fait peut déjà s'ob- server sur les expressions de cette nature qu'on tire de la méthode du paragraphe précédent et qui ne renferment qu'un nombre fini de termes, savoir 1 C0S'.r = 1 -t- COilx, 8 COS'^ =3-1-4 C0S2.r -f- cos4.«', 32. cos" 07 -— 10 -H i5 co^'ix H- G cos4î^ + cosGj:-, 128 cos' a: =35-1-56 cos2.r -1- 28 cos4'^ -1- 8 cos 6 .r -f- cos 8 a.-, , 4 cos' a: = 3cos.r -h cos3.r, i6cos^a:= locosrH- 5 cos3.r -)- C0S5.r, 64 COs'j: = 35 cos.r -+- 21 cos3a: -h 7 cos5.r -i- i'0S7.r, Toutefois, il peut y avoir avantage à se servir des expres- sions précédentes; en voici un exemple remarquable et im- portant. INTRODUCTION. 4^ II. Soil, pour abréger l'écriUire, /=^— i, ei nommons a el b deux conslantes telles, qu'en faisant n .r b la quaniilé [3 soil positive et différente de zéro. Si l'on suppose — f ub on obtiendra les développements indiqués par qui seront convergents sous cette condition, non-seulement pour des valeurs réelles, mais aussi pour des valeurs imagi- naires de la variable, comnie l'exponentielle e*. Or ces fonc- tions périodiques, Q{x) et ô^{x), sont les transcendantes qui, s'offrant immédiatement après les fonctions circulaires, con- stituent le sujet d'une branche d'Analyse qu'on nomme la théorie des fonctions elliptiques. Ces quantités se lient par leurs propriétés fondamentales aux sinus et aux cosinus, et conduisent immédiatement aux fonctions doublement pério- diques. En effet, chacune d'elles ayant pour période 2a, je dis que leur quotient e.(a:) e(x) possède, de plus, la période b. Pour le reconnaître, nous développerons l'exponentielle, et faisant, pour abréger, q = e' '', nous écrirons OU encore iicx « , , -7,1,' X^ „7 / T^JC . . ItXX ^6 CALCUL DIFFÉRENTIEL. et, plus simplement, i T. j:' TT.r si l'on observe que, le nombre n prenant toutes les valeurs de — x à + ^ 1 les sinus se détruisent comme égaux deux à deux et de signes contraires. Or, on aurait tout à fait de même ma- 6[x) — e"'' > (— i) (/ cos2«-^'. de sorte qu'en supprimant au numérateur et au dénominateur le facteur e "'' on parvient à cette expression V^ î TT.r ... > 7" COS 2 // ~j- dix] v^ , . , '2 7r.r 1' OÙ la seconde période Z> se trouve mise en évidence. La définition de ces nouveaux éléments du calcul, qui étendent le champ de l'Analyse envisagée dans son objet le plus général, l'étude des fonctions, terminera les considéra- lions préliminaires que nous avions à présenter avant d'abor- der le Calcul différentiel, dont nous allons maintenant exposer les principes. PREMIERS PRINCIPES. 4? CALCUL DIFFÉRENTIEL. l'IlEMIEKS PRINCIPES. Série de Taylor. I. f>a noiion do la dérivée se présenle en Algèbre, à l'égard d'un polynôme entier ¥{x), au commencemenl de la théorie générale des équations, lorsqu'on recherche le développe- ment de F{x -h h) suivant les puissances croissantes de h, et l'on obtient ainsi, n désignant le degré du polynôme, l'équa- tion F(.r + //) = F(j:)-4--F'(.r)+— F"(.r)+...H F(") (x). ^ 1 I .î ^ ' 1.1. . .n ' La série de Taylor n'est autre chose que ce résultat étendu à une fonction quelconque et voici les considérations qui y conduisent. En premier lieu, l'équation précédente, mise sous la forme — ^ ^ ^ — '. — V'{x-i l«"Lr H-. .. fC'Ux), Il ^ 1.2 ^ ' \..-i...n ^ " montre que la dérivée ¥'{x) peut être définie comme la limite du premier membre quand l'accroissement h tend vers zéro. Or celte remarque conduit à considérer une pareille li- mite à l'égard d'une fonction quelconque /(a-), et, par suite, sans recourir à aucun développement en série, à étendre à toute fonction la notion de la dérivée, en la définissant encore fix + h) f(x) comme la limite du rapport '^ ^ — -» pour h = o. 48 CALCUL DIFFÉKENTIEL. Celte définition se justifie, comme on sait, par les consé- quences importantes qu'on en tire pour toutes les fonctions continues; je rappellerai pariiculièremeni les suivantes : Vue fonction dont la dérivée est nulle pour toutes les va- leurs comprises de x^= Xoà x =\ est constante dans le même intervalle. Si la dérivée d'une fonction est toujours positive depuis X = Xo jusqu'à X = X, la fonction, dans te même intervalle, est continuellement croissante avec x. Lorsqu'une fonction continue est nulle pour deux valeurs x^ et X, la dérivée, si elle est elle-même continue, s'annule pour une valeur comprise entre x» et X. C'est cette dernière proposition, c'est-à-dire le théorème de Rolle, jointe aux règles de calcul établies si facilement en Algèbre pour la formation des dérivées de sommes, de pro- duits et de puissances de fonctions, qui nous suffira pour établir la série de ïaylor. Considérons, en effet, l'expression R-/(X)-/(.r)-^^-^/'(^) qui s'annule identiquement quand f(-T) est un polynôme entier du degré n — i, comme on le voit en développant /(X) écrit sous celle fornie/[:c -h (X — x)], et cherchons à la dé- terminer lorsque /{:r;) est une fonction quelconque. Soit pour cela, p désignant une quantité positive quelconque non su- périeure à n, P de sorte que l'on ait /(X)-/(x)-12^:^'/V)---- I . 2 ...(« — 1 ) • ^ ' p En remplaçant x par z dans tous les termes du premier PREMIERS PRINCIPES. 49 membre de celle équalion, excepté dans P, je serai conduit à l'expression suivante [XjljJ— ■/(.-.) (,)-^X -3)^ p^ I . 2 ... « — I qui s'annulera d'abord poui'z = j:, et en second lieu, évi- demment, pour z = X, de sorte que sa dérivée par rapport à z sera nulle pour une certaine valeur de cette quantité comprise entre x et X. Or cette dérivée se réduit à cette ex- |)ression très-simple /(«)(2)-^(X-r.)''-'P 1.2. .. [n— I)' (X -?)"-'[: P- (x-^r-^ ^(„, ot la valeur de z pour laquelle elle s'annule, étant comprise entre x et X, peut être représentée par x -h Q{X — x), 0 étant moindre que l'unité. 11 vient donc i,-o).-,(x-.r> ■ I.2...(« — l) *' '■ ^ ^-" et, par suite, I .2...(«— 1)/.» V L \ J En posant enfin X — ^ = /j, on a le résultat auquel nous nous sommes proposé de parvenir, savoir -+- — -, t/^"-'H-^) + ' ;' , /<"' (^ + 9//). I .2. ..(// — l)"^ ^ ' 1. 2. ..(// — l)/^*' ^ ' C'est à M. Rouché qu'est due la démonstration précédente de cette forme du reste de la série de Taylor, donnée pour la première fois par M. Schlomich et par M. Roche {Journal de Mathématiques de M. Liouville, 2" série, t. III, p. 271). Il y figure un nombre indéterminé p, et, en supposant /? = n et p = I, on parvient aux expressions de Lagrange et de Cauchy, 1" Partie. 4 5o CALCUL DIFFÉRENTIEL. dont il est fait surtout usage, savoir 1.1... n' 1.2... (« — l) Mais le principe même de celle démonsiraiion si simple, qui repose sur le théorème de Rolle, appartient à M. Hommersham Cox, ainsi qu'on peut le voir dans l'Ouvrage de M. ïodhunler {A Treatise on the dijferential Calculas). II. Les résuliats qui viennent d'être établis, en se plaçant essentiellement au point de vue des fonctions réelles et des variables réelles (*), supposent que la fonction /(.r) et ses n premières dérivées soient continues pour les valeurs de la variable comprises entre or et .r H- A. En supposant .r = o, et remplaçant h par^c, on en déduit le terme complémentaire désigné par R étant susceptible de ces deux formes principales, savoir \ .1. . . n l\ — Q V'-' af R = iî ii_^/-(«)(ôa-). 1.1... [n — I ) ' ^ ' C'est ce qu'on nomme la formule de Maclaurin, identique au fond avec celle de Taylor; car elle donne le développe- ment d'une fonction de x suivant les puissances de x, et la série de Taylor, le développement d'une fonction de h suivant les puissances de h. Il n'y a qu'un petit nombre de fondions auxquelles la formule de Maclaurin s'applique avec simplicité , ce sont celles-ci : a', sin.r, cosa;, log(i + x) et (i + x)"; nous allons les considérer successivement. (*) C'est seulement dans le Calcul intégral qu'on traitera du développement des fonctions en série dans le cas le plus général des variables imaginaires quelconques. PREMIERS PRINCIPES. 5l Développement de a*. — En posant on obtient immédiatement et généralement /(")(j:) = rt'Iog'rt. On en conclut y(-)(o)=log"«; d'où la série connue xlogrt xMog^ ■r"-'log"-'^ ^ P flr =: I -(- 1 (-...-(- ; -1- n, I I .a 1 .2. . . [n — i) et, en employant la première forme du reste, on aura I . a . . . /i La convergence de la série ayant été déjà établie, il suffit de reconnaître que R décroît indéfiniment quand n augmente. Or cela est évident; car le facteur a'' ne dépend de n que par la quantité Q dont le maximum est l'unité, de sorte qu'il a 3C'^ 1 02" Cl pour limite supérieure a', et quant à l'autre facteur — i I .2. . . n on sait qu'il décroît indéfiniment, quel que soit x. Développements de sinx et cosx. — Posons, pour obtenir la dérivée d'ordre n de sin,ar, /(j") = 8in(^-i- x), a étant une constante, on aura f'{x) = C03(jr-*- a) = Sin(.r -j-a -)- - jj de sorte qu'on passe de sin (^ -+- a) à sa dérivée, en changeant simplement a en a -f- -t On conclut delà, quel que soit n, /(") (x) = sin ( X -+- a 4- — j , 4. Sa CALCUL DIFFÉRENTIEL. ei, par conséquent, pour a = o, TITC Or l'expression f("'> (o) = sin — donne, pour « = o, 1,2,..., une suite périodique dont la période est o, i, o, — i, et l'on retrouve le développement ./' .r' ,v^ .1''"' ' ' Sin ,: = ±- — % -r —-, -...+ (-, )'"-' i ^ + R , 1 .1.2.3 1.2. 3. 4.5 l.2...(2W — l) en posant I . 2 . . . ( 2 /« H-I ) L 2 J Ce reste est ir.oindre que -, -5 et a donc encore 1 . 2 . . . ( 2 m -f- 1 j zéro pour limite quand m augmente indéfiniment. Kelaiivement à cos.r, on obtiendra semblablement pour sa n'^""' dérivée l'expression cos ix-{ U donnant de même, poura: = o, une suite périodique dont la période est 1,0, — 1,0, ce (jui reproduira le développement connu COSa: = 1 -H —- — ...-(-(— 1 ; 1.2 1.2.3.4 qu'on aurait pu conclure du précédent, en en prenant la dé- rivée par rapport à x. ' Développement de log(i + .r). — Pour obtenir la dérivée /i'*"" de/(xj = log(i +.r), il convient de poser afin d'appliquer la règle relative à la dérivée des puissances d'un binôme. De celte manière, on trouve immédiatement /"(.r)^_,(, + z)-S /"'(x) = i.2(i + .r)-', /-U) = -i.2.3(i+.r)-\ et, par suite, /('')(,r) = (-. )«-',. 2. ..(«-!)(, +.r)-". PREMIERS PRINCIPES. 53 On en conclut /fo)=0, /'(«l-l. /"(O) .---- I...., /("'{o)-.-(-l)"-'l.'2...f//-l^ d'où lo^(i -f- .r)= .r h'— -f- . . . -H- (— 0" 1- R. ° ^ '^34 'il — I Muis la série contenue dans celte formule n'est pas convergente lorsque la valeur alisolue de x est supérieure à i , car le ra|)- port du ( /J + I )''"" terme nu précédent, savoir - -- — i a poui' I -1- - n limite x, n étant infini; de sorte que le dévelop|)emenl donné par la formule de Maclaurin ne peut subsister que poiii' les valeurs de la variable comprises entre — i et -l-i, et il sera alors effectivement applicable si R = o pour n infini. Consi- dérons, pour le voir, la seconde forme du resie que j'écrirai ainsi R I H- ôx V I -1- hx ^ La quantité i-1-ô.r étant toujours supérieure à i — 0, il en résulte que I ..-- 1 a l'unité pour maximum; m;iis, dans rhvpoihèse admise, le facteur x" di'croîl indéfiniment, de sorte qu'en définitive H =^ o pour n infini. La série pioposée , , , x' .TT" X^ lOgll -f-.r) =: JC h --(-... a donc lieu pour les valeurs de la variable comprises entre — i et + I. J'ajoute, afin de donner un exemple de l'emploi de la pr(î- mière forme du reste de la formule de Maclaurin R^ -^ /("U^^), 1.2...// ^ que la convergence subsiste même dans le cas limite de x ~ i . 54 CALCUL DIFFÉRENTIEL. On a, en effet, .r" R = (- I i 5 -1- . .-h 1 3 ' 2rt -h I - -+- 1 4 -f- I 6 -h. . I • H %n ei, en supposant ^= i, quantité qui s'annule évidemment quand n devient infini. La série ainsi obtenue, éiant écrite de cette manière \0"1 se présente comme la limite de la différence des deux quan- tités II I I I I I I H-^-h-; -t-. . .H 1 --^ 7 -1-77 -H. . .H 1 i 5 xn ^t- \ 246 in qui croissent indéfiniment avec n. C'est le type des séries nommées par Dirichlet semi- convergentes , et dont la valeur dépend de l'ordre dans lequel on ajoute les termes. Soient en général S„ et S„, les sommes des n et m premiers termes de deux suites supposées infinies avec n et m, et faisons, pour un instant, S„ = log2„, S„, = log2„„ la différence S„ — S,„ = log ~ s'exprimera ainsi par le rap- In port ^' Or on ne peut obtenir une valeur déterminée pour o co une fraction qui se présente sous la forme - ou — qu'autant ^ ^ o ce ^ que les deux termes ne contiennent qu'une seule et unique variable, à laquelle on attribue la valeur particulière condui- sant à la forme de l'indétermination. Prendre autant de termes positifs que de termes négatifs dans la série obtenue pour log2 , c'est supposer n = m, et l'emploi du reste «(i-+-e)" PREMIERS PRINCIPES. 55 répond précisément à celle supposilion. Mais la différence entre la somme des n premiers termes positifs et des n pre- miers lermes négatifs tend, lorsque n et m augmentent, vers la quantité log2 -f- log — m entièrement indéterminée, comme dépendant du rapport ar- bitraire — qu'on peut établir entre ces deux nombres en les m faisant croître indéfiniment. Développement de (i + jc)". — Les dérivées successives de f{x)^= (i -{- xf s'obtiennent immédiatement, et l'on a f^"'>[x) = a[(t - \)[a—i)...[a— n-k-i)[\ -H.r)"-", d'où • /(")(o) = rt(^ — I)(rt— 2). . .(rt — « -H li, et, par conséquent, / a " n{u — \'\ ., rt(a — 1). . .(rtt — //-4-2) ^, , _ (H-.r,"=: IH JT H ^ X-'-h . . .H ^^ '- r ^./V'-'-t-R. I 1.2 I . 2 . . . (« — I ) J'adopterai encore la seconde forme à l'égard du reste, en écrivant „ nia — i). . .{n — n -h \) , ^ ,, ^ , I . 2 ...(«— I ) ^ ^ ' Cela posé, le rapport du (n H- ij'*"" terme au n'*"" terme de , ' . . rt — n -I- 1 , , ,. . la série étant x, dont la limite est — x pour n in- n fini, la formule ne peut subsister que si x est compris entre — I et +1, comme dans le cas précédent. En nous plaçant dans celle hypothèse, écrivons la valeur de R de cette ma- nière (*) „ Vax {a -^i).r { a — n -ir 1) xl / 1 - 0 \""' , , ,„ , 11 est aisé de voir que la quantité entre crochets tend vers zéro quand n augmente; en effet, quand n croit de l'unité, (*)M. ScRRET, Cours de Calcul différentiel et intégral, t. I, p. 176. 56 CALCUL DIFFÉBENTIKL. elleacquierl le fadeur— ^(i— 1 qui a —x pour li- mite. Celle quanlilé est donc un produit dans lequel les fac- teurs plus grands que un, en valeur absolue, sont en nombre limité, tandis que le nombre de ceux dont la valeur absolue est inférieure à une quantité donnée comprise entre x et i aug- H— I mente indéfiniment. D'ailleurs l'expression ( ^— ] a pour ' \i-hdx) • maximum l'unité, de sorte que la limite de R est bien égale à zéro, el la formule du binôme subsiste, quel que soit l'expo- sant, pour loules les valeurs de x comprises entre — i el H- i. Quanta ces valeurs limites, à l'égard desquelles on ne peut rien conclure de ce qui précède, je me borne à énoncer que, pour a positif, la formule a lieu en faisant x :=±j , mais seu- lement pour X = 1, lorsque l'exposant est compris entre zéro el — I. Dans les autres cas, la série esl divergente. III. La série de Taylor s'étend aux fonctions de deux va- riables, de manière à donner, par exemple, le développement suivant les puissances de h et de k, de f{x -h A, jH- k). Voici, à ce sujet, la méthode employée par Lagrange dans les Leçons sur le Calcul des fonctions. Représentant par fj, {^y T) '^ ^'''"' dérivée de/(^, j), prise par rapport à la va- riable X, on pourra écrire Il P II f{x -+- //, y) =/(.r, y) -^-f^.[,v,y) -h — /x--(-^, r) +. . . Cela posé, changeons, dans les deux membres, j en r + /', el désignons par fj"'^^l'\x, j) la dérivée d'ordre p, prise par rapporl à j, de la dérivée n''"" prise par rapport à x, on aura et, par conséquent. fl::U-,r^^) = ^T::^JXr'^-'y)' ^ ' -^ ' ^^ i.2...« xi.a.../^"'-*"r'' ^ ''^" l'KKMIKKS l'RINCIl'ES. 67 les sommations s'éiendarit à toutes les valeurs entières et positives des nombres n el p. Lagrange ajoute que l'on aurait identiquement le même résultat, si l'on commentait l'opé- ration par la substitution de y -4- /r à la place de r, et le déve- loppement suivant les puissances croissantes de />, et que l'on fît ensuite la substitution de a: -j- h pour x, et le déve- loppement suivant les puissances de h. Or, de celle seconde manière, on obtiendrait, pour terme génér.d de b série, l'ex- pression //'/!'' I . 2 . . . // X 1.2, de sorte qu'on doit nécessairement avoir .'..",7' ^ ■< J ' ~ •'yr.r" l"*' J /' relation d'une grande importance et montrant que, à l'égard des fonctions de deux variables, l'ordre des dérivations par rapport à l'une et à l'autre variable peut être iruerveili sans changer la valeur du résultat final. Mais je reviens à la série précédente, pour la présenter sous une autre forme. En groupant les termes du môme degré en h et en /»", on peut l'écrire ainsi /(.r + /i, j + A) --=f[.c, y) 4- nf'jx. .> ) /•/, [-r.y et l'ensemble des termes du n''"" ordre sera I I .2 [ ^-- /'/."-'/!."L.(^, v) + x-"r;,(.r, r)l — î — - les coefficients numériques élant évidemment ceux de la puis- sance n'*"" du binôme; c'est à ce résultat qu'on parvient, d'une autre manière, en posant ¥{t)=f{.v-^/ii, y-i-itt), 58 CALCUL DIFFÉRENTIEL. développant ¥{t), par la formule de Maclaurin, suivant les puissances de t, et posant enfin dans le résultat / = i. L'avan- tage de cette méthode consiste à pouvoir donner une expres- sion du reste de la série, bornée à un nombre fini de termes, mais celte expression compliquée paraît peu utile, et n'a ja- mais reçu une seule application. Remarques sur le développement des fonctions par la formule de Maclaurin. I. Parmi les fonctions simples auxquelles on a précédem- ment appliqué le théofème de Maclaurin, les unes, comme e', sin^r, cos^, et (i+ x)", quand l'exposant est entier et posi- tif, conduisent à des séries subsistant dans loule l'étendue des valeurs réelles ou imaginaires de la variable. Celles-ci, au contraire, log(i -h x] et (i 4- .r)", a n'étant plus entier et po- sitif, ne se développent qu'en supposant la variable, en valeur absolue, inférieure à l'unité. Ce fait analytique tient à une différence de nature entre les deux groupes de fonctions, que la considération des variables imaginaires rendra manifeste. J'observe d'abord qu'en faisant .r = p(ccsw -+- \/—i sino)) dans une série où les exposants de la varinble sont des nombres entiers posi- tifs ou négatifs, on obtient pour résultat cette expression 2A„ f("cosrtw -+- \J — I XA,, p"sinrtw. . dont les deux parties reprermenl la même valeur quand on y change w fn 0-1-27: si le module p, par exemple, est constant. Or, en écrivant I -h .r = R(cosq) -H v^— I sinï ), on a vu plus haut que l'angle 9 devient 9 -(- 2-, quand on remplace &) par w -+- 27:, lorsqu'on suppose p supérieur ali mo- dule de —I, c'est-à-dire à l'unité. Par conséquent, il est alors PHEMIËRS PRINCIPES. 5g impossible que les quanliiés log(n- x) = logR -I- ; de sorte qu'il convient d'écrire la formule en renversant PREMIERS PRINCIPES. 6l l'ordre des termes, el commençant par f^"Hu),f("-''{u), Une réduction facile donne alors, pour la dérivée n''""def{x'), cette expression ('ix)''fW{u)-h/i{/i-i)(ix)"-'f("-'){,i) 1.2 \ ' . n{n — \). . .[n — 7.fi -f-'i ] \ .1. . . k qui a d'importantes applications. Soit encore (•2.r)"-=*/^"'*)(/04-..., u — -t a ou 0= j = ; j-, X X -^ h X x(x-f-//) et, par suite, ^ ' X' X' le' 1 .x'+' i.i x'-' "J on obtiendra semblabicmcnl ( *) A. x"-'' i.i...{n — i] Revenant au cas général, nous remarquerons qu'en vertu h" du théorème de Maclaurin, le coefficient de dans le I . 2 . . . /t développement de la fonction est la dérivée n''"" de cette quantité, prise par rapport à h, quand on y aura fait h = o. Celle dérivée, d'ordre n, se tire immédiatement du développement de la puissance et a pour valeur (*) M. Scutëuicii, Journal de Crelle, t. XXX. 6?. CALCUL DIFFÉRENTIEL. Or, en y faisant h = o, elle se réduit à de sorte qu'il vient, en remplaçant, pour abréger l'écriture, (f(x) par w (*), A. = — î — r(''')^"^ - -(«'"' )^"^ « -^ ^li^:i-'^- («'•-»)(") //'-...], ' 1.2. ..//L ^ I^ 1.2 ^ ' J le dernier terme de la quantité entre parenthèses étant (_,)'■-',•(„)(«)«'-'. III. Les racines des équations algébriques ou transcen- dantes peuvent aussi être développées suivant les puissances croissantes de x par la formule de Maclaurin, puisqu'on sait former les dérivées des fonctions implicites, et, en prenant pour exemple la relation Y =z a ->!- X sin }•, qui sera plus lard traitée dans le Calcul intégral, on trouvera sans peine pour les premiers termes }• = <5f H- .r sin« H sin2« -I- — ( 3 sin3<7 — sin «) + ... . Mais sur ce sujet que je ne dois point aborder ici, je me bornerai à la remarque suivante du célèbre géomètre alle- mand Eisenstein. Supposons que le premier membre de l'équa- tion ¥{x,y)=io soit un polynôme entier en .r et j à coeffi- cients numériques rationnels, et qu'on en ait tiré un dévelop- pement en série y— a^ -+- a, X -t- «2 .r^ -)- . . . + a,^ .r" -h . . . , dont les coefficients a„, a soient de même rationnels. En les réduisant à leur plus simple expression, le dénomi- (*) Voyez dans le Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral de M. Bertuakd, t. I, p. iSg, une autre démonstration de ce résultat, qui n'est guère applicable qu'à la condition de pouvoir obtenir immédiatement les dé- rivées successives d'une puissance quelconque de u, c'est-à-dire dans les cas de u =. xV-, u = e"*. PREMIERS PRINCIPES. 63 naleur du terme général a, présentera celte circonstance ca- ractéristique, do ne jamais contenir qu'un nombre fini et li- mité de facteurs premiers différents. Dans ce développement, par exemple. I 1 1.3 , ■+■ 1.3.5 ^ i.3.5...(2/ï-i a, 4-6. . .a« ),- /l — X ^ 2-4 on ramène la fraction a^ = i.3.5...(2/? — a . 4 • 6 . . . '2 /{ 0 a n'avoir pour dénominateur qu'une puissance de 2, par celte transformation 1.3.5. .. (an — 1) _ 1.2. 3. ..2/1 I 1.2. 3. ..2/1 2.4.6. ..2« {2.4.6. ..U//)' 2'» (1.2.3...//)» 1.2.3. . . 2/1 où l'on reconnaît dans le facteur ' ' .,' ' ' — r le coefficient ( 1 .2 . 3 . . . /i )' du terme moyen dans le développement de la puissance 2/1 du binôme, qui est nécessairement un nombre entier. De cette observation découle comme conséquence immédiate que les séries log(i-4-.r)=a: - --Hy— ..., .r x^ x^ f* = I H I .2 I .2.3 ne peuvent satisfaire à aucune équation algébrique, puisque les dénominateurs des coefficients contiennent des facteurs premiers en nombre illimité, et représentent nécessairement des fonctions transcendantes. Je terminerai ces remarques par quelques exemples de dé- veloppements en série de fonctions d'une ou de deux variables, savoir (j:-Hv/i^^r = (2xr-/;/(2x)'» '-h"'^'"~^\'XxY-' (*) Lacramge, Leçons su- le Calcul des fotccions, p. ia6. 64 CALCUL DIFFÉRENTIEL. L 1 -^^^ _ r I _ 2 i^ ^ M ; '] ■^ 2.4.0. ..2« (— i)" "" '^2à 3.5.7... (a«+i) i-^'-«r' ' (.-xrV(i-j)"^ _ V t-3.5...(2r^-i).i.3.5...i2/.>-i) _^, ,i,. , ,..i ^ 2.4.6.. .2(«-f-^) -^ = I H — [j: -f- J') H -(3x^-h xr-+- 3r") H-. I -H I — .r- 2 ' 2'' ^ " J-+-^I — x-j •^ nln — i) . . .(a — b + i) x^'' r" i .1. . .b log(i — .r)(i — j) _-^ 1 .2.3. . .(7.1 .2.3. . . ^ =27 xr—x—r J^ 1.1.3. . .{a -h h -h i) -(x -h y) h 2 ' 2.3 xy = i-h - [x -hr] -i (3.3;' -4- xr -4- 3/^) + . /i — X arc cos , , , . , , 2 / 1 \ 2.4 / , I \/(« — •^)(-^— j) 2.4- y 3\'2'/ 3.5V 2 2 arccos .6/, I, 1.3 , 1.3.5 A .7 \ 2 -^ 2.4 - 2. 4.0-^ y I 1.3/ 2\ 1.3.5/., 2 2.4 1.3.5.7 2 2.4 V 3*^/ 2.4.6\ 3 "^ 3.5' 2.4.6.8 / 3 2 2.4 , 2.4.(> sX Entin j'indiquerai, comme irouvant une application géomé- trique importante, ce résultat, que le groupe homogène des termes du second degré dans le développement du radical = I -+- [xx -+- x'j) -^-i[[px^-hP'xf -+- p"f^) — {xxH- a'j)'] + . i>BEHIEHS PRINCIPES. 65 entre comme facieur dans le groupe homogène du troisième degré cl des degrés plus élevés. DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE. Différentielle du premier ordre. I. On a fait usage, en élablissanl les propriétés fondamen- tales des fonctions dérivées, de l'équation suivante où e désigne une quantité qui s'évanouit avec k. Celte équa- tion, donnant f(x_-^ h)-f[.T) _ t montre que la limite du rapportdeladifTérence/(.r-h/j) — /(.r) au produit hf'{x) est l'unité lorsque h tend vers zéro. C'est à ce produit qu'on a donné le nom de différentielle d,e/(.r ), et on le désigne par la caraclérisiique d écrite devant la fonc- tion, de sorte que l'on a df{T)=l,f'{.r). Dans le cas particulier de f{x) = x, cette équation devient (Ix — II. et la relation précédente s'écrit ainsi df[ji-)=f'[x)clx. La définition de la différentielle ainsi posée, voici la pre- mière proposition à établir. Soient u=z->([x) et j =/(//), je dis que la différentielle de/ reste la même, soit qu'on ex- prime j en fonction de u par l'équation j=/( m) ou en fonc- tion de X par celle-ci y' = f\<^{x)\. En etfet, la différentielle de y, en considérant y comme l" Partie. • 5 66 CALCUL DIFFÉRENTIEL. fonction de x, est le produit de dx par la dérivée de j; on a donc, d'après la règle relative à la dérivée des fonctions de fonctions, Or la différentielle de y, considérée comme fonction de u, est fir=f'{ii)(/u; ce qui est précisément le résultat précédent, en observant que la différentielle du a pour valeur (^'{x)dx. Soient, par exemple, u = x"' et jr = «'", au lieu des deux expressions établies en Algèbre u'—mx"'~^ et j'= ///«"'"'/<', on aura ces résultats de même forme (lu = m u.'"^' flx et (If — ni u'"'' (lu. Nous avons maintenant à donner l'expression de la diffé- rentielle de toute fonction d'une variable, c'est-à-dire simple- ment à appliquer la notation différentielle aux expressions des dérivées des diverses fonctions considérées en Algèbre, et que nous allons ainsi passer en revue. Soient, à cet effet, u, v, w,. . . diverses fonctions de x; les relations suivantes u donnent «V — v'u f = u -h ç -h w -h.,., y=uv-\-i>u, y V Multiplions donc les deux nombres par dx, et remplaçons u' dXi v' dx, w' dx,. . . par du, dv, dw,., ., il viendra (ly = (lu -+- (Uy -4- (Iw 4- . . . , (ly = V (lu -f- u (h>, , V du — u (Iv f^y = \ En opérant de même sur l'équation qui donne la dérivée PREMIERS PRINCIPES. d'une fonciion composée de plusieurs autres, «' H • l- •' II» ' (iy = f (lu -f- f (h -)- /' (U\> H- . . . . El si à ces résultais on joini les suivants d.c"^ = ///.r"'"' rlx, d l02.r = - dx. du" ~ a^\Q?.a dx. 67 savoir on irouvorn d Ioîr.r = —dx. X d sin X —■ cosx dx^ dcosx = — s\nx dx, r/arcsinjr = v/73- dx. d lanK j: = cos'r dx. darc cosx — darc tan^jr = /i — X dx, 3^^^^ on aura réuni tout ce qui concerne la différenlialion des fondions explicilos. Quant aux fonctions implicites données par une équation entre x et f, f{x, y) =10, la valeur r' ./: / V- conduit à la relation dr — -jr 't-^- 'y II. L'introduction de la notion de différentielle nous ayant ainsi amené à présenter l'ensemble des résultats obtenus en Algèbre relativement à la formation des fonctions dérivées, je résumerai succinctement les procédés qui y conduisent. La dérivée de y'=f{u), en supposant u = ^[x), savoir y=f'{u)^'(x), sera le premier point à établir, et on sait qu'on y parvient bien facilement. Le second point sera la dérivée de log^, il exige plus de développement, mais on peut le considérer comme fondamental, car. en employant cette proposition évi- dente, que la dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de chacune d'elles, on en déduit immé- diatement la dérivée d'un produit de deux ou d'un nombre 5. 68 CALCUL DIFFÉRENTIEL. quelconque de facteurs, d'un quotient, d'une puissance, l'ex- posant étant quelconque, enfin de l'exponentielle. Soil, par exemple, on aura puis logj ^3 m logw, r ' m u ' d'où y a Soit encore on aura et on en con cl ura y y' = ni - u' = mu'"' u y = n ', .rloga= logj, doù 1'=: vlog« = /Y^loga. Viennent ensuite les fonctions circulaires, dont la dérivée se déduirait encore de l'exponentielle, en admettant les formules d'Euler sin./; = 1 cos.r — — « ly — i '•* mais qu'on établit directement d'une manière plus élémen- taire. Obtenu par une voie ou par l'autre, le résultat conduit, en posant sinj = ^, cosj;=:r, aux dérivées de arcsin^, arccosa:, et il ne reste plus qu'à chercher celles des fonctions implicites. Ici se place un théorème important, donnant l'ex- pression de la dérivée d'une fonction f[u, v), composée de deux autres, et dont la démonstration est encore très-facile. Appliqué à réquation/(^, j) = o, il conduit immédiatement à l'expression cherchée, et qui complète l'ensemble des ré- sultats précédemment énumérés, servant de base au Calcul différentiel. III. Avant d'aller plus loin, je vais considérer, afin de fami- liariser avec la notation différentielle, quelques questions qui dépendent d'éléments géométriques relatifs à la tangente à une courbe 7 =/{:«;). PREMIERS PRINCIPES. 69 En un point quelconque M {Jig. 4), menons la tangente MT, la normale MN, l'ordonnée MS, et désignons par 9 l'angle MTjt. On aura immédiatement Fig. '1 y M - — / ?^ l\ 0 T S N X SN=jtangcp, ST y COSip' MN MT = JCOtfp, Y sinf ' y Fig. j. 'V A- V 0 N S T X ce sont les longueurs auxquelles on donne les noms de sous- normale et de sons-tanç^ente, de normale et de tangente. Con- sidérant en parlifulier les deux premières, je remarque que si l'angle 9 est obtus, comme l'indique celte nouvelle figure [Jig. 5), on aurait SN = — /tangcp, ST = — jcolfp. Mais alors les longueurs ne sont plus comptées dans le même sens pir rap- port à la projection du point de contact sur l'axe Ox, de sorte qu'on peut se borner aux premières formules SN=jtang^, ST=jcol!p, en convenant, pour la sous- normale, qu'elle sera portée à droite du point S ei elle est positive, à gauche si elle est néga- tive, et faisant la convention inverse à l'égard de la sous-ian- gente. Cela posé, je me propose de déterminer toutes les courbes ayant, au signe près, môme sous-normale et même sous-lan- genle qu'une courbe donnée quelconque j -^ o(x). dr Employant a cet cllei l'expression tang9 = —•) qui permet d'écrire Ytly CT y^^ sinV La tangente MT = — ^. • ^ cosV Ces diverses expressions, sauf celle de la normale MN, soni affeciôes du signe — dans le cas de l'angle V obtus, cotnme on le verrait par celte seconde figure (Jîg. 8). Mais, sans m'y Fig. 8. arrêter, je remarque qu'en désignant par p' la dérivée de p par rapport à l'an- gle polaire w, on a p pffw tangV=.^, = L., lion différentielle. et on en conclut, en employant la nota- SN = t- ST-^ r/w «■/p d(à ftp Soii donc p =/(&)) l'équation d'une courbe quelconque, nous obtiendrons toutes les autres lignes p, = 9(0), ayant même sous-normale, en posant d'où p. ^ p -^ A. Cette seconde courbe a reçu le nom de conchoide de la pre- mière. En égalant les sous-tangentes, nous trouverons ou bien '-^ dp ^$' ei par conséquonl PREMIERS PRINCIPES. ----4- A, 73 ce qui établit entre les inverses des rayons vecteuis la même relation que précédenimeni. Un résultat plus important s'obtient enfin en chercbant sous quelle condition les angles des tangentes avec les rayons vec- teurs correspondant au même angle polaire r» sont supplémen- taires. En posant, en conséquence, 4. ce qui peut s'écrire on en conclut 0, (lo p?> = A, et l'on voit que la seconde courbe est la transformée de la pre- mière, par rayons vecteurs réciproques. Différentielles d'un ordre quelconque. I. Kn posant l'équation (ly =/'( y) (1.1- sert, conime on l'a vu, de définition à la différentielle pre- mière de j. Or cette différentielle, étant une fonction de x, a elle-même une différentielle qu'on désigne par d{dy), ou plus simplement par r/'j, et dont l'expression, en su p posant (/jc constant, s'obtient immédiatement au moyen de/"(jr). Effec- tivement, la différentielle de /'(.r)rfjr sera le produit de dx par sa dérivée relative à x, c'est-à-dire /"( x) f/x, puisque dx est constant, de sorte que l'on aura r=f^")[x)dx". Il est à peine nécessaire d'observer que n indique dans d"r l'opération n fois répétée de la différenliation, tandis que dans dx", c'est un véritable exposant algébrique. Celte notion de différentielles d'ordre quelconque étant en Analyse d'une grande importance, nous allons la présenter sous un nouveau point de vue. II. A cet effet, je considère la suite des fonctions /i(.r), f.ix],. . .,fn\x) auxquelles je donne le nom de différences successives de f{x), saso'w /.(,r) = /(.r + /^)-/(,r), /.w=./;('^+/')-/.('^), et je vais prouver qu'on a ./:,(.r) = //"[/(")(r) + ç„], e„ s'évanouissanl avec h. Pourcela, j'observerai d'abord qu'on obtient successivement /^ (.r) =/(,r + 2//) - 2/(,r + //) -^/(.r), ./;(x) r./(.r + 3/0 - 3/(.r + 2/0 + 3/(.r + A) -/(,r), et généralement fni^) =/('^ + "il ) — '?,/[•« ^- (" — ') ^'] -^ "ifV'^ -h{n — 2)//] - . .., les quantités n,, iii,... désignant les coefficients des puis- sances de X, dans le développement de (i -t- x)". Cette for- mule importante se vérifie par le procédé élémentaire qui consiste à la supposer vraie pour un nombre quelconque n, et à démontrer qu'elle subsiste pour le nombre n -h i. Cela posé, développons /„(.zO suivant les puissances croissantes de h, en appliquant la série de Tavlor à chacun des termes PREMIKRS PRINCIPES. qui ontrcnl dans son expression, savoir f[.i- ^[,1- 1)/,] =/(.r) -f- ^ — i- f[x) H- -—jy^ J (^•)^" Ces développements, substitués dans/, {^•), donnent pour résultai les coefficients désignés par N„ N,, N„... dépiMidant uni- quement du nombre n. En particulier, on trouvera N, = I - «, -H //, — . . . = (i — I )" = o : mais les suivants demandent, pour être déterminés, un pro- cédé particulier, souvent employé dans d'importantes (jues- tions d'Analyse. Il consiste à mettre à profit cette circon- stance, que les valeurs cherchées sont les mêmes pour toute fonction /(:c), et à faire la supposition de /(^) = e', d'où ré- sultent les conséquences qu'on va voir. En premier lieu, on trouve ./;(.r)=c'(6'"-i)', /^(.r) = ,.-(..»_,)". Toutes les dérivées de f{x) reproduisent d'ailleurs e', de sorte que la formule de développement de /„ (.r) donne im- médiatement, en supprim;int dans les deux membres le fac- teur e', c'est-à-dire (-H 1 ;^-r-... I — N„-»-N, //-H N., //'-(- \ I i .-i t .'i.Ô I " ' Or le premier membre contient en facteur A"; donc, tous les nombres N„, N,, N^, . . . , jusqu'à N„_i, sont nuls, et l'on a 76 Calcul différentiel. Nous obtenons donc, pour le développemeni cherché, en posant quantité qui s'évanouit avec h. Il en résulte que la limite du rapport de la différence finie /„(ji;) au terme /i"f'-"'>(x) est l'u- nité, lorsque h tend veis zéro; or ce terme, en faisant h = dx, est précisément la différentielle d'ordre n de/(.r), à l'égard de laquelle on trouve, par cette nouvelle voie, la définition et la propriété caractéristiques données pour la dif- férentielle du premier ordre. J'ai considéré, pour plus de sim- plicité, la série de Tàylor comme indéfinie dans ce qui pré- cède; mais si l'on veut raisonner plus rigoureusement, et envisager un nombre fini de termes , on observera qu'en arrêtant à la puissance /t""^' les développemenls de f{x + nli), f[x + {n — i)Ii'\, on obtient, au moyen de la première forme du reste, ùo l'on fait, pour abréger, Xi désignant une valeur comprise entre les limites x et X -h ih. Cela étant, la conclusion ressortira des propriétés purement numériques des coefficients N», N,, N,,. . . dont les n—i premiers s'évanouissent, les suivants étant : N„ = i, N„+, = -v) propriétés qu'on peut supposer établies à /?/70/7. Nous trouvons ainsi non-seulement mais encore £« sous la forme suivante _ /lA ''" ^ I . 2 ...(//-+- 1 ) III. La différentielle d'ordre n de la fonriion A^" donne lieu l'UKMIEUS FKINCM'ES. 77 à une remarque imporlanle. O nombre n, qui, par son ori- gine, est essenilellemenl entier et positif, figure, à titre d'ex- posant algébrique, dans le second membre de la relation OÙ il peut dès lors recevoir une valeur quelconque. On est ainsi amené à définir la différentielle à indice quelconque de Ae" par l'expression Ae"a"dx", obtenue, d'abord en sup- posant n entier et positif. De celte fonction particulière, nous passerons ensuite à une fonction quelconque exprimée analy- ti(}uement par celte somme •composée d'un nombre fini ou infini de termes, en convenant de poser r/"_v = ( A/ï" r"^ -+- B 0" f*' ■+■ C c" c^'-h...) fl.r". Cette idée des dilVérenlielles à indices quelconques, qui est due à Leibniiz, a éié le sujet des travaux de l'un des plus grands géomètres de notre époque, M. Liouville. Je renverrai à ses Mémoires, qui ont été publiés dans le Journal de l'École Polytechnique, en me bornant à donner à celle occa- sion la formule suivante ffiiv — vd"u -(- '/, dod"-^ Il -H n.^ (Pv(l"-'^ii -+-...-!-« d"v, où les coefficients numériques «,, /?„ . . . sont ceux des termes QïxXyX'*... dans le développement de (i+^)". Dans le cas de n entier, le seul que nous ajons à considérer, elle se dé- montre en l'admeiianl pour une valeur donnée de n, et véri- fiant ensuite par la différentialion qu'elle a lieu pour la va- leur n-M. On peut encore écrire, avec des coefficients numériques indéterminés, n», //,, «., • • -, ({"nv = N^i>d"u -h ii^dv d"~^ Il -k- n^fl^i'd"~^ii +..., et, en posant u = e", v = e''^, on arrivera immédiatement à la conclusion précédente, car il vient ainsi, après avoir supprimé dans les deux membres le facteur ^ («+^)', (« H- f.)" = „y -+- //, ri"-' ù -t- //, fi"-''b^-i- «8 CALCUL DIFFÉRENTIEL. Différentielles partielles et différentielles totales. " I. Une fonction de deux variables z=^f{x,y) peut être différentiée m fois par rapport à x, et ensuite/? fois par rap- port à j; c'est au résultat de ces opérations qu'on donne le nom de différentielle partielle. D'après ce qui précède, la différentielle d'ordre m par rapport à x s'exprimera par le produit de la dérivée m''"",f'[^"J{x, y), multipliée pavdx'", et si, en considérant x comme constant, on différentie l'expres- sion p fois par rapport à y, le résultat sera On l'écrit plus simplement encore de cette manière djf'dyi' d'" z car, en premier lieu, -7—;^ t'ai la dérivée d'ordre m de z, par rapport à x, et l'on convient ensuite de poser d" /d"'z\ _ d'-'^fz TiV" \ dxF ) ^~ dx"' dj » ' Comme on a déjà démontré qu'on peut, à l'égard des fonc- tions de deux variables, intervertir l'ordre des dérivations par rapport à l'une et à l'aulre variable, il en résulte que d^ dx" (fl'z\ _ d^ fd'"z\ d"'^Pz et c'est ce qui justifie la notation adoptée , ^ . > où la per- mutation des indices m el p n'apporte aucun changement. Soit proposé, comme exemple, de déterminer les dérivées partielles du premier ordre -i-et -^ d'une fonction de x et y PREMIERS PRINCIPES. ^Q d(?finie par l'équalion ¥{.r,r,z) = o. Nous ditrérentierons d'abord celle équation par rapporl à x, en appliquanl la règle des fondions composées, et il vien- dra, en faisanl suivant I usage ■— ^ p, (i¥ d¥ Pour avoir ensuite j- qu'on représente par q, nous diffé- renlierons de même par rapporl à j, ce qui donnera Si l'on désirait en outre les trois dérivées partielles du se- cond ordre, à savoir (Pz __ fPz _ r/^3 _ on opérerait ainsi. Différeniiant par rapport à x l'équation dV dV d.r dz ' . . . . dV dY nous observerons que les quantités -r~ et -j- contiennent x et 2, et donneront chacune deux termes; nous appliquerons . . u • . ,A I d,'¥ d¥ ensuite le théorème qui permet de remplacer . par -^ — j > dp d'z et enfin remarquant que -j- = -j—^ — r, nous trouverons d'¥ d'¥ , d'¥ ,, d¥ Pour avoir s, nous pouvons partir de la même relation dif- férentiée par rapport à j, ou de celle-ci d¥ . d¥ 8o CALCUL DIFFÉIIENTIEL. diffcîrenliée par rapport à x, et il vient ainsi iPY fPF r/-F rPf r/F -. — T- 4- 7—7- p + 7—7- ^+ -nP^j + -r "^ "• (ixdf dfdz' dxnz dz' ' dz Enfin / résultera de la dernière différentiée par rapport h y, ce qui donnera d^Y d'Y d'F . dV ■d^'^''d^z'i^-cW'l^dz' = ''- Connaissant donc p el q er\ fonction de x, y ot z, on en dé- duira, par la substitution, les valeurs de r, s et t. II. La différentielle totale d'une fonction de deux variables z=:f[x,y) est la somme des différentielles partielles par rapport à .r et par rapport à y, c'est-à-dire dz , dz , -y- d.r + -j- dy dx dy et on la désigne par dz, le symbole d'opération Payant, comme on le voit, des significations bien différentes dans les deux cas. La différentielle totale seconde d'z sera de même la somme des différentielles totales des deux termes -r-dx,-r dy, el dx dy - si l'on suppose dx et dy constants, celte somme sera fd'z , d'z ,\ , f d'z , d'z ,\ ^ [dx^ ''■" + -cT^y ''^') ^'^ + V.7^' '^^ -^ rF ''n ''^'' c'est-à-dire d'z , , d'z , , d'z , . -p-T, dx^ -f 1 -, — ;- dxdr + -r— dy'. dx (Ixdy " (ly " En général, on aura, pour la différentielle totale d'ordre «, d"z , „ d"z , , , , d" z = -; — dx"-{-n, ■ „ , , dx"' dy d.jn" ^d.}c"-^dy ^ .d.v" 'dy'-h...+ -j-,dy", ' 'dx"-'dy' - ' ■■* ' dy" el je vais établir qu'en supposant cette formule vraie pour le nombre n, elle le sera encore pour le nombre n -f-i. Effecli- I PREMIERS PRINCIPES. 8l vcmeni, la diiïérenlielle lolale d'un terme quelconque sera d(i sorte qu'on aura Or, on reconnaît, d'après une propriété élémentaire .des coef ficienls du binôme, que ce résultat se déduit du précé- dent, en y changeant «en « -i- i . Je me bornerai maintenant à énoncer, sans la démontrer, la proposition suivante, analogue à celle qui concerne les différentielles des l'onctions d'une seule variable. Soient Si l'on développe fn{x,y) par la formule de Taylor, suivant les puissances ascendantes de li et de h, sous cette forme y;, ( X. r ) = u. + u, + u, 4- . . . + u. -f- . . . , où U, désigne l'ensemble homogène des termes de degré ien h et h, on aura identiquement U^ = o pour /<«, et, si l'on fait h = (Ix, / = f/r, l'expression générale de U, sera N,r/'/(ar,j), en désignant comme ci-dessus par N,- le coefficient de h' dans le 1" Partie. (J 82 CALCUL DIFFÉRENTIEL. (Il h' h^ y développement de ( - h 1 ; — ^ + • • • • Le premier terme de la série qui représente /„( ar, j) sera donc la diiré- rentielle totale d" z. Changement de la variable indépendante. Ona vu précédemment que l'étude des fondions algébriques, et spécialement des racines carrées des polynômes entiers en X, reposait surtout sur l'emploi des substitutions ration- nelles de la variable x en une autre B. C'est ainsi, par exemple, qu'ont été ramenées aux fonctions rationnelles les expressions delà [ovmQ f^x, sjk{x — a)[x — b)\. Or le même procédé analytique joue un rôle très-important dans l'étude des fonc- tions définies par une relation telle que /■/ ffy ^'f fl'"r\ ce qui est l'un des principaux objets du Calcul intégral. Ces relations ont reçu la dénomination d'équations différentielles, à cause de l'expression des dérivées de j, qui y figurent, par dy d^ Y le rapport des différentielles -7-5 -—--, • • • • L'Analyse envisage de même des conditions plus complexes, telles que /(■^, dz dz d"'z J» ^' x;' ;73' dx dy dx' ^p'-'-j-*'. où il s'agit d'une fonction z, de deux ou d'un plus grand nombre de variables indépendantes, et qu'on nomme pour le même motif équations aux différentielles partielles. Les opé- rations relatives au changement de variables, dans ces diverses circonstances, constituent une question importante dont nous allons nous occuper dans les cas les plus simples. I. Voici le premier : Supposons, comme on en a des exemples en Géométrie analytique, que les coordonnées x et /d'une courbe soient exprimées à l'aide d'une troisième PREMIERS PRINCIPES. 83 varioble, qu'on ail par exemple x = a(t — s\nt), f=a{i—cost). On ne pourra pas alors obtenir j en fonclion de x, ni par conséquent le coefficient angulaire de la tangente dont la connaissance est nécessaire à la discussion de la courbe. Mais on peut chercber à l'exprimer en fonclion de /, et on y par- vient comme il suit. A cet effei, soil en général la première équation permettant d'exprimer / en x, on peut regarder y comme une fonction de fonction, ce qui donnera par conséquent ou avec la notation différentielle Cela posé, et en considérant toujours / comme fonction de x, on a nous obtiendrons donc le résultat chercbé en éliminant -y- » ax ce qui donne dx ff'[t) Par là, on voit que le coefficient angulaire de la tangente à la courbe proposée s'exprime facilement, conime les coor- données X et y, par le moyen de /; ainsi, dans l'exemple ci-dessus, on trouvera dy sinf . i -T = - = COt-/. dx I — COS/ 2 J'ajoute qu'on obtiendra par le même procédé la dérivée d'un ordre quelconque de y par rapport à x. Qu'on suppose en effet rf"r dar 84 CALCUL DIFFÉRENTIEL. nous regarderons encore t comme une fonction de x déter- minée par l'équation et la règle de la dérivée des fonctioiis de fonctions donnant on en conclura C'est ainsi qu'on obtient successivement ces valeurs dx' '^'\t) . ' (Py ^ y'(0[y'(Or(0-f(0y'"(f)]-3»"«U-/(n-y'(^)--V(Oy"(O] dx^ ^'°(0 ' ) qu'on écrit de cette manière d'y (Ixd^y — dyd'^x dx' dx" d\r _ dx{dxd\y- dyd'x] — 3d^x(dxd\y — dyd'.r ) dx^ dx^ ) les différentielles se rapportant dans les seconds membres à la variable /, qui reste quelconque. Pour en faii e une applica- tion, je supposerai alors on aura les dérivées de j prises par rapport à x, expri- mées par les dérivées de x prises par rapport à/ sous celte forme d^x dy _ I d'^y dy^ dx dx dx^ I dx Tfy \Ty dx d\r /d'xy d'y _ dy dr^ dx''^ fdx\ PREMIERS PRINCIPES. 85 II. Soil proposi», en second lieu, de cliaiigor de variable dans l'équalion diiTérenlieile en faisant x = sin /, on aura ainsi ih _ ffr I fl^f _ ^(jx sin/ ri' y v i tlx "'fit cos/' dx' " \dt cos/ dt'' y cos*/' d'où ce résulial d'x Soil encore ,ni+-f=-- Posons d'où dx~ ITt'^ ' dx^ ~ \7/^ dt ) ' ' cl l'on aura encore pour transformée d'y . Je considère, en dernier lieu, l'équalion diiTérenlieile sui- vante, qui est d'une grandie imporlance en analyse, savoir ,fny , , . dr [x — x' -y- +{} — 3x-) xy = o. dx dx Je fais ce qui donnera dy _ dy \/i — r' d'y _ d\y \ — /* dr i dx~~dï } ' Tix' ~ TiF ~~F~ ~ Tû ?' de sorte qu'en substituant, on obtiendra, entre y ei /, l'é- quation qui reproduit la proposée entre/ et ^. On en conclut que yz=(^{x) étant une solution, on y satisfera encore en pre- 86 CALCUL DIFFÉRENTIEL. nanl j= (p(v/i —a;^). Cet exemple montre comment le pro- cédé analj-tique du changement de variable dans une équation différentielle peul servir à l'étude des fondions qu'elle dé- finit. m. Dans le second cas, nous considérerons une fonction de deux variables indépendantes z z=(^{x, f), et, en posant J"' — XX -+- ^J. y'=yX-h§J\ OÙ oc, (3, y, à sont des constantes, nous déterminerons les dé- rivées partielles du premier et du second ordre de z par rap- port à ^ et 7, au moyen des dérivées partielles prises par rapport à x' et y'. Concevons, à cet effet, qu'on ait remplacé dans la fonction proposée les variables x et / par leurs valeurs en x',y', et qu'on ail ainsi obtenu z = ^{x', /'). Alors la règle relative à la dérivée d'une fonction composée de deux autres donnera immédiatement ou simplement dz d dx' dx dx' dx -+- d^ dy' dy' dx dz dz dx dx ' - dz même dz dz . df~ dx'^ -+- dy et l'on trouvera de même Pour obtenir ensuite les dérivées du second ordre, on ob- servera que -j—,-> par exemple, est une fonction de x' et y', dont les dérivées par rapport a x el h y seront respectivement d'' z dx' d^z dy' d'^z d' z dx'^ cix dx'dj' dx dx'- dx' dy' '£±f^:^ ^/'z dy' _ dH „ d'z . dx" dy dx'dy' dy dx'- ^ dx' dy' En vailles PREMIERS PRINCIPES. (1Z 87 ï^neme-7-Ti on trouvera les expressions sui- dy (IH _ (IH i^ leurs valeurs en x' et j', dz dz I dx dx ' y ' d'z^d'z I dx' dx''^ y''^' dz ^ dz , , dz ,j r/j ~ dx' ' -^ dy' ■^ Cela fait, et en substituant, il arrive que, par rapport aux nouvelles variables, on retrouve exactement l'équation pro- posée, savoir d^z , , dz dz ,, ,., Nous avons, par suite, ce résultai que, si l'on satisfait à l'équation proposée en prenant z=f{x,y), une autre solu- tion s'obtient en posant ^^/(•^J' 7-)' Cette équation aux différences partielles du second ordre, qui vient de nous donner un exemple du calcul du changement des variables, est, en Analyse, d'une grande importance. Elle donne en effet le développement en série d'une fonction uni- forme analogue à l'exponentielle et aux lignées trigonométri- ques, servant de base à la théorie des fonctions elliptiques. Je PHEMIERS PRINCIPES. 89 renverrai, pour les changements de variables dans les équa- tions aux différences partielles de la théorie de la chaleur et de l'attraction, qui exigent des calculs plus longs, au Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral de M. Bertrand, t. I, p. 179, et au Cours de Calcul différentiel et intégral de M. Serret, t. I, p. 129.. qO CALCUL DIFFÉRENTIEL. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES CALCUL DIFFÉRENTIEL. Préliminaires. Les questions de Géométrie dans lesquelles figure la consi- dération des infiniment petits appaitiennont essentiellement au Calcul infinitésimal. Elles s'offrent néanmoins dès les élé- ments, dans la mesure de la circonférence et du cercle, de la surface et du volume du cvlindre, du cône et de la sphère, et, plus tard, en Géométrie analytique, pour la détermination de la tangente aux courbes données par leurs équations. On voit par là combien doivent être simples et élémentaires certains principes que nous attribuons cependant au Calcul différentiel et au Calcul intégral. Ils se résument effectivement dans la notion A' infiniment petit, qu'on sait déjà avoir pour définition une quantité variable dont la limite est zéro, et dans ces deux propositions : 1° La limite du rapport de deux infiniment petits y. et ^ n'est pas changée quand on les remplace par d'autres, ex! et (3', sous les conditions ,. a.' W lim — — I, lim^ = I. a p 2° La limite de la somme d'un nombre infiniment grand de quantités infiniment petites n'est pas changée quand on rem- place ces quantités par d'autres, dont les rapports avec elles ont respectivement pour limite l'unité. La première se démontre en divisant membre à membre APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. QI les deux égalités posées, ce qui donne immédiaiement ,. a' y. Iim r-, = lim -r- ? ? Pour éuiblir la seconde, considérons une somme d'infini- ment petits a, -(- a.^ H- . . . -T- a,, dont le nombre n augmente indénnimenl, et nommons [3,, ^j,. . ., [3„ d'autres infiniment petits, tels que 3 **■ S lim - = I . lim -' -- i , . . . , lim — = i . On sait que le rapport a, -r- a,^ -t- . . . H- a, est compris entre la plus grande et la |)lus petite des (raclions 3 3 3 il!, !-i,. • ■ 1 ^\ il a donc pour limite l'unité sous les conditions «1 a.1 a,, admises, et les deux sommes d'infiniment petits sont égales entre elles. A ces propositions se joint une notion importante, celle des infiniment petits de divers ordres. Nous dirons qu'un infini- ment petit (3 est du n''"" ordre par rapport à a, lorsciue (3 est j3 une fonction de y. telle, (lue ~ soit lini pour a = o; ainsi, en a supposant la première des constantes A, B, C, ... différente de zéro, on pourra généralement poser f5^ a"(A-h Ba-^Ca^^...). Tels sont ces principes de l'application du Calcul infinité- simal à la Géométrie, dont l'importance et l'étendue ne pour- ront être appréciées que plus tard. Mais, afin de les rendre plus clairs, je vais de suite donner plusieurs exemples de leur usage. I. Soient M et N \ fig;. 9) deux points voisins d'une courbe y=zf{x) rapportée à des coordonnées rectangulaires, MA et NB leurs ordonnées. L'aire MNAB et le rectangle MN'AB, 3f^ 9a CALCUL Dll-TËHKNTIKL. obienu on menani MN' parallèle à l'axe des absi iss, s. s cvn lig. 5). noulssoiu en même lemps qiinml M tt \ roYncidcnl. O sonl, par cniisôqiuMU, dis '*l — ^ inOnlnnMU p.iiis. el je vais prouver que h linuie (le Kmu i.ippori esl Puiiii '. Supposons. ;i ooi etlVl, les poii is M c\ N assez voisins pour que, dou^ K-m inUM\allt\ Tordonnée de la courbe varie toujours dans le même sens ei soil, pour fixer les idées, conUnuoil(Miiont rri^issanto. F.n menant NM' parallèle à l'axe, on fornui.) un 1 M N A 1), comprenanl l'aire M M> v. qui osl elle-même inférieure au rec- langle MN'AB, où L^ rôio MM' esl parallèle à MN. Oi l.> rap- port des deux roctanglos, ayant lujo dimension AI!. esl celui des lignes M'A el M\: il a donc pour limiio I uiiio. ei il en esi de même, par conséquont. de la liniiie du i.ippon de l'aire MNAB à l'un d'entre eux. II. Cel exemple de la subslitulion, sous la condition du premier principe, d'un inOnimenl petit à un autre, conduii immédiaiemenl à une application du second principe ooiut ;- nanl les limiies de sommes. Considérons, à cet oJlVt. une portion, comprise enire deux ordonnées PK, QS {^g, lo), de l'aîre de là courbe,r=/{x}, pjg^ ,Q el divisons-la, par des parallèles a l'axe des r. en n parties lelles que MNAB, égales ou inégales, mais toutes infiniment petites quand n devient infiniment grand. Cela étant, et ayant mené MM' parallèle à l'axe desx, on voit, d'après ce qui a été établi sur le rapport des infiniment petits MNAB et MM' A r>. que la même aire sera aussi bien la limite de la somme dos rectangles MM'AB, Ce résultat s'exprime sous forme analy- Uque de la manière suivante : Désignons par .r„ jr„. . ., x, les abscisses des points de di- vision» de sorte que *, = OR, x. = OS; la somme » JM»' « » A B ; > j APPLICATION (iÉOMÉTHiQUEg. 03 U'nd vers une limiie finie el délerminée lorsqu'on fail d.''cr<»lire indéfinimenl les difl'érences x, — jr,, x, — x,,. . ., x, — x,_,. Kl si l'on écril, comme on le fail souvent, x/^., — x/=: Ax/, fC'lle limite, qui est la môme quelle que soit la loi de décrois- sement de Ax/, est précisément l'aire l*QUS et s'exprime de cette manière n — I Renvoyant aux Éléments de Calcul infinitésimal de M. Duhamel, t. 1, Cliap. VIII, pour les exemples de résultats obtenus par cette formule avant l'invention du Calcul diffé- rentiel et du (^Icul intégral, je me bornerai, d'après l'éminent géomètre, à observer que toutes les mesures de la Géométrie élémentaire sont des conséquences simples el immédiates de ce second principe sur les limites de sommes. Celle du cer- cle, par exemple, résulte d'une décomposition en secteurs égaux et de la substitution des triangles aux secteurs; celle de la pyramide triangulaire, d'une décomposition en troncs de pyramide de même hau'.eur, auxquels on substitue des prismes triangulaires, etc. m. Voici maintenant des exemples d'infiniment petits du second ordre. L'un des plus simples el des plus importants s'offre en considérant, dans un triangle rectangle ABC, la diffé- Fig. M. rence entre l'hypoténuse AB {Jig. m) el sa projection AC, lorsqu'on suppose in- finiment petit l'angle A que je désignerai *~ *^ par a.. Ayant, en effet, AC = ABcosa, on en conclut AB-AC = AB(i-cos*)-=ABf— ^ + ...Y ^ ' \1.'A 1.2.3.4 / fonction de a dont le développement commence au terme en a', de sorte que cette différence est un infiniment petit du second ordre. Ce résultat, qu'il est si facile d'obtenir, est d'un emploi continuel, el, comme exemple, je vais en tirer la détermina- 94 Calcul différentiel. lion de la tangente aux courbes définies par une équation en coordonnées polaires, déjà connue par les éléments. Soient OM et OM' [fig. 12) deux rayons vecteurs qui corres- pondent aux angles &> et m- sorte qu'on ail doi, de En projetant le point M sur OM' en P, aux infiniment petits près du second ordre, OP sera égal à p, el par consé- quent PM' à ffp. Le triangle rectangle M'MP donnera donc MP psindoi langM = -775 = ■ — ; dp et en nommant V l'angle formé par le rayon vecteur avec la porlion de la direction limite M'M, dirigée du côté vers lequel l'angle w décroît, nous obtiendrons immédiatement tangV^: tangM' = prloi -Tp Considérons encore la distance à la tangente d'un point d'une courbe j=/(^) infiniment voisin du point de contact dont les coordonnées seront supposées x et f. En désignant par X el Y les coordonnées courantes, la tangenie aura pour équation y-r-/'(x)(X-.r), et la distance à celte droite du point ^' = a:- + A, y' =zf[x -f- li) sera f[x^.-h)-f[x)-l,f'[x)^ ou bien, en développant/(x + h) par la série de Tcylor, Celle distance est donc, par rapport .à h, infiniment petite du second ordre; elle le serait du troisième en un point d'in- APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Ç)5 flexion doni l'abscisse annule, comme on sait, Je vais appliquer ce résultai à quelques déterminaiions de langenles par des considérations géométriques simples, cl qui oiïrironl des exemples intéressants de l'emploi des infinimenl petits {*)• Je me fonderai sur le lemme suivant : La limite de la direction déterminée par deux points infi- nimenl voisins M et M' {Jîg. i3) n'est pas altérée si l'on sub- Fig. i3. stilue au point M' un autre point M", J^ tel que M' M" soit infinimenl petit V par rapport à MM'. Effectivement, le triangle M M' M" M F :ffeciiv donnant 1 .1 relation MM' sinM MM' " " SinM" le premier n:embre a zéro pour limite sous la condition ad- mise; il en est donc de même de sinM, par conséquent de l'angle M. d'où résulte bien que les directions M M", M M' se confondent à la limit?. Nous appliquerons à deux questions le lemme qu'on vient d'établir : I" Trouver la tangente à la courbe lieu des projections d'un point fixe 0, sur toutes les tangentes à une courbe donnée. Traçons la tangente à cette courbe aux deux points infini- ment voisins M et M' {Jîg. i4), et menons par le point M une parallèle à la tangente en M'. Soient P et P' les projections du point 0 sur les deux langenles, et considérons en même temps le point P" où la perpendiculaire OP' coupe la parallèle à la tangente en M'. La distance du point M à la tangente en M', que nous savons infiniment petite du second ordre, par rap- port à MM', étant représentée par P'P", nous substituerons (*) Ces exemples sont tirés du Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral de M. lîertrand, l. 1, p. lo. Fig. 14. q6 CALCUL DIFFÉRENTIEL. le poiiil P" à P' de sorte que P et P" apparlenaiil au cercle décrit sur OM comme diamètre, la direction PP" a pour limite la tan- gente à ce cercle. On a donc ainsi une construction facile de la tan- gente cherchée, et surtout de la normale qui s'obtiendra en joignant le point P au milieu de OM. 2° Trouver la tangente à la courbe lieu du sommet d'un angle de grandeur constante circonscrit à une courbe donnée. Soient P [Jig. i5) un des points du lieu, M et N les points Fig. i5. de contact des deux tan- gentes qui le détermi- nent, P' un second point infiniment voisin, M' ot N' les points de contact qui y correspondent. Menons par les points M et N des parallèles aux tangentes en M' et N', nous obtiendrons par les intersections de ces quatre droites un parallélogramme dont les côtés sont infiniment petits du second ordre, d'où l'on conclut que la distance P'P" est infi- niment petite du second ordre. Cherchant donc, au lieu de la direction PP', la limite de la direction PP", on voit que ces deux points appartiennent à un segment capable de l'angle donné décrit sur MN comme corde, et l'on en conclut que la tangente au point P à ce segment est la droite cherchée. Il n'est pas besoin de faire remarquer l'élégance de ces ré- sultats et la simplicité de la méthode géométrique qui les a donnés; j'observe toutefois qu'ils s'obtiennent par la voie du calcul d'une manière également facile (*), et, qu'à y regarder de près, la voie purement géométrique est moins rapide (*) Bertrand, Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral, t. I, p. 79. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 97 qu'elle ne le semble loul d'abord. A l'égard du premier pro- blème, par exemple, on a admis implicitement que PP' est infiniment petit du même ordre que MM', et il y aurait en toute rigueur lieu de le démontrer, ce qu'on fait du reste ai- sément. En effet, il suit de la construction du point P que les coordonnées X et Y sont des fonctions entièrement déter- minées de celles du point M, ou seulement de son abscisse. Soit donc en changeant x en x -\- h, on passera à la fois de M à M' et de P à P', dont les coordonnées seront X'=if(^) + i/*Y(x)+...r+[H'(-^)+i/*Ti^-)-^-...r IV. Je terminerai ces préliminaires en remarquant qu'un exemple important d'un infiniment petit du troisième ordre est donné par la différence entre l'arc infiniment petit a, d'un cercle de rayon R, et sa corde aRsin— ^j celte différence étant en effet a ~* a — 2R sin ^=^ aR 24R* J'observerai enfin qu'il revient au même de dire que deux infiniment petits a et [3 ont l'unité pour limite de leur rap- port, ou un infiniment petit du second ordre pour différence. Si l'on a effet on en tire - = i-i- Aa -+-..., et limi- = i. ,Ê !'• Partie. ^ CALCUL DIFFÉRENTIEL. De même, en posanl - = I -4- Aa -I-. . ., a on en conclut S — a = Aa»-4-.... Fig. i6. y oy q/ Q" P .-^ 0 R ^ >' -f Dérivée de l'aire d'une courbe plane. L'espace compris entre les ordonnées PR, QS ijig. i6) et l'arc d'une courbe j'=f{x) est déter- miné par les abscisses OR et OS; en sup- posante première constante, l'aire dont il s'agit est une fonction de l'abscisse 0S = ^, et nous allons en chercher la dérivée. Or on voit, par la figure, qu'il faut pour cela obtenir la limite du rapport de la surface QSQ'S' à SS', qui est l'accroissement infiniment petit de l'abscisse; mais ici l'élément infinitésimal peut être remplacé par le rectangle QSQ"S' comme on l'a établi précé- demment, et le rapport cherché devient immédiatement l'or- donnée QS=f{a:) qui représente ainsi la dérivée de l'aire. Considérons en second lieu, à l'égard d'une courbe en coor- données polaires, le secteur OPQ, où OP {^g. 17) est supposé fixe, comme une fonction de l'angle QOx = M qui détermine le rayon va- riable OQ = p; voici alors la substitu- tion d'infiniment petits qui donne la dérivée. Décrivons du pôle comme centre avec OQ pour rayon un arc de cercle coupant OQ' en R, je dis que le rapport des surfaces infiniment petites OQQ' et OQR a pour limite l'unité. Considérant, en effet, les secteurs circulaires semblables OQ'R' et OQR, on aura à la fois OQR — -, Or, en remplaçant, d après ce Fifî. iS. lo4 CALCUL DIFFÉRENTIEL. qui a été tout à l'heure établi, l'arc MM' par sa corde, on transforme le rapport proposé en un autre dont l'évaluation est facile. Effectivement, en menant MP perpendiculaire sur OM', on aura, comme on l'a dit page gS, § III, aux infiniment petits près du second ordre, OP = OM, par conséquent PM' sera dp; d'ailleurs MP=:psin(/&) = pû?c.), par une nouvelle sub- stitution d'infiniment petits, de sorte qu'ayant on en conclut MM'=V^PM''-f- MP', MM DU CONTACT GÉOMÉTRiaUE. Les notions élémentaires de la tangente aux courbes et du plan tangent aux surfaces ont été l'origine d'une théorie dont le principe est dû à Lagrange, et où l'on envisage successive- ment le contact de deux courbes planes, de deux courbes dans l'espace, d'une courbe et d'une surface, et enfin de deux surfaces quelconques. Cette étude géométrique repose en en- tier sur la série de Taylor, dont on aura ainsi une application remarquable par sa généralité et son importance. Nous en ex- poserons l'idée essentielle en considérant d'abord le cas le plus simple, celui de deux courbes planes. Contact des courbes planes. I. Étant données deux courbes rapportées à des axes rec- tangulaires, nous concevrons que tous les points de l'une d'elles, ayant pour coordonnées X et Y, se déduisent, par une construction déterminée quelconque, des divers points de l'autre, dont nous désignerons les coordonnées par x et j-- Cela posé, notre objet est d'étudier, à ce point de vue géné- ral, la distance de deux points correspondants, c'est-à-dire la quantité à donnée par la formule APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Io5 En premier lieu, je vais montrer que ô esl fonction d'une seule variable. Soient en effet j=^{x), Y=/(X) les équations des deux courbes; dire que X et Y sont déter- minés quand on donne x et j, c'est supposer entre ces quan- tités une relation telle que F(^, j, X, Y)=o, d'où se déduira F[x, î(x), X,/(X)] = o, et par conséquent X en fonction de x, de sorte que à s'ex- prime bien au moyen de la seule variable x. On peut aussi, en se donnant les deux courbes par les re- lations X=(T), Y = Y(T), conclure que T est fonction de t. Par conséquent, si l'on garde cette seule variable en écrivant X = <î'(0, Y = w{t), la condition proposée qu'à tout point de la première courbe corresponde un point de la seconde, sera satisfaite d'elle- même. Ceci posé, je dirai qu'en un point déterminé par la valeur t = a, les courbes présentent un contact d'ordre n, lorsque la distance deviendra pour t = a + h un infiniment petit d'ordre n ■+■ i par rapport à h. II. La première conséquence à tirer de cette définition, c'est cette remarque deCauchy {Exercices de Mathématiques, année 1826, p. 191) que les différences X — ^ et Y — jsont infiniment petites l'une et l'autre d'ordre n + i. Soit en effet pour un instant *(a -H //) - ^ {« -H //) = P -+- P'A -4- P7i'-+-. . .-H PW/*"^-. . . , ^■{a -f- //) - ^{a-h/i) = Q-hQ'h -h Q7i» -+-...-+- QW /i" -1- . . ., I06 CALCUL DIFFÉRENTIEL. la quantité ^ = [(P + v'h + P"A'-f-. . .)'+ IQ + Q'/i + Q"A' + . . .yf ne sera infiniment petite qu'en s'évanouissani pour A = o, ce qui donne et, par conséquent, p = o, Q = o. On aura donc § = A[(P'+ P7i + . . .)'+ (Q'-^ Q7/ +. . .)']% expression qui ne sera infiniment petite du second ordre qu'autant que le facteur compris entre parenthèses sera infini- ment petit du premier, ce qui donne comme tout à l'heure P'^-f-Q'2=o, ou bien P'=o, Q'=o. Continuant ainsi de proche en proche, nous obtiendrons, pour le contact d'ordre n, les nn + i conditions p = o, P'=o, P"=o,..., p(")=ro, Q = o, Q'=o, 0"-o,..., Q('') = o, exprimant en effet que les différences X — x, Y — y sont in- finiment petites d'ordre n + i. Il s'ensuit que si l'on change d'axes coordonnés, ces mêmes conditions se reproduisent. Faisant en effet x' —. g -+- X cosa — rsina, y' — h -+- x sina + jcosa, X'= g'-i-Xcosa — Ysina, Y'= h -i-Xsina -+- Ycosa, on en conclura ces nouvelles expressions X' — x' = (X — j:)cosa— (Y — j)sina, Y'-j'= (X - x) sina-f-(Y - r)sina, qui sont infiniment petites d'ordre n + 1 avec X — .r et Y — j. 111. Ce premier point établi, faisons un pas de plus et, au lieu de changer les axes coordonnés, remplaçons la variable 'f par une autre en posant APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. IO7 de sorte que l'expression de ô, étant en premier lieu devienne Admettant qu'on ait 0 = apour t = a,\e disque si F(rt-l-/i) est infiniment petit du (w + i)''"" ordre par rapport à h, F[y(a -4- t )] sera un infiniment petit du même ordre par rap- port à i. En effet, par hypothèse ¥{a-hh)= A//" ' ' -h B/i"+' -+-..., et la relation a^h =f{y.-+-i) donne, en développant le second membre, /'^t/'I^I+Aa*)^' ainsU'on a F[/(a-H/)] = A[^/'(a) + -j^/"(a) -|«+i -i»+j ce qui est bien un infiniment petit d'ordre n -+- 1 par rapport à /. De cette remarque si facile à établir va résulter, par le choix convenable d'une nouvelle variable, une conclusion importante. Les équations des courbes étant X= _Y)' d'F ~^ 1.2 r/Y'^-"** Faisons mainlenani X — 'f [ri -h /i) , f = -J^ [a -\- h), X = («-f-/0, Y = W{a-h/i), le premier membre devient ainsi rfla-h A); dans le second, le premier terme F(X, Y) disparaît, l'expression F[0(f), ^{i)] étant identiquement nulle; on a d'ailleurs X — .r = «//"+' + ph"+' + . . . , Y — r = a, //'+'+ S, /i"+^ + . . . , et il s'ensuit immédiatement qu'il est infiniment petit d'ordre n ■+- 1 par rapport à h. Par conséquent, tous les coefficients des diverses puissances de A jusqu'à la n'*"" disparaissent dans le développement de ^(« + h), ce qui donne bien, pour t = a, les relations 3' = o, -— = o, — 7-5-=o,..., — rr=o, qu'il fallait démontrer. Comme l'équation ^it)r= o détermine les points communs aux deux courbes, on voit que la racine ï = a est multiple d'ordre « + i, lorsqu'elles ont en ce point un contact d'ordre n. Mais, sans m'arrêter à celte remarque, je vais appliquer ce qui précède au calcul des coordonnées du cen- tre et du rayon du cercle osculateur (X — a)'+ (Y — P)^ = R' à l'ellipse représentée par les équations x — acost, r = bs\nl. On a alors ^[t) ={acost — a.Y-i-{bsiï\t — ^)'— R^, \§'[t) = — asint[a cost — x) -h h cos t {b sm t — p) = ~ {a^ — b^)s\nl cost -i- ax sint — b^cost, ^0"{t) = — («'— ^»')(cos'/ — sin'/) -+■ a'/.cost -+■ bQsmf, APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. Il 5 et les équations J'(0-o, #"(0 = 0, ne renfermant que a et (3, donnent facilement a = CO^'/, 6 = — 7 — Sin*/. a ^ 0 Nous en déduirons / n'— h^ Y / h^ — n^ \ ' R'=(rtCos/ cos'm -+-l^sin/— — ^ — sin'fj » ce qu'on peut simplifier en observant que l'on a fi^ — h^ cof^t acost cos*/ = {«'sin'/ -f- è'cos'f), , . h* — a'' . . sin/ , , . , ,, , , ysin/ ; — sin'/ = — j— (rt'sm'/ -t-fo'cos'/ , de sorte qu'il vient en définitive „, ( rt* sin' r -H i' cos' t y *^=- ~^^ En considérant le cas général de la courbe on trouverait et, par conséquent, si l'on écrit simplement 9', cp", ... au lieu de 9' (0, ?"(/),..., Lorsque la variable indépendante est l'arc de courbe, ce qui donne la condition 9" -f- tj/" = i , on a B - ' Y? —Y ? 8. Il6 CALCUL DIFFÉRENTIEL. et les quaniilés a el [3 peuvent être mises sous celle forme qui est souvent employée. Contact des courbes dans l'espace. I. Deux lignes quelconques dans l'espace , et telles que tous les points de l'une se déduisent par une construction déterminée des points de l'aulre, sont représentées par ces deux systèmes d'équations, savoir •^-?(0, J=^(0. 2=9(0, et la distance de deux points correspondants sera la fonction suivante de la variable t = ![ y/r/jT^-f- dy'^-\- dz' r dy dz COSp = 1 COS7 — yVZpH- dy ''■ -+- dz' ^dx' -+- dy'' -ir dz^ OU, en employant la différentielle de l'arc s de la courbe, dx r dy dz cosa =^ — -, cosp = -^5 cos7=-r* ds ^ ds ds III. On peut d'une manière élémentaire parvenir à ces ré- sultats, en partant des équations d'une droite qui passe par deux points de la courbe. Si l'on désigne, en effet, par jr, y, z les coordonnées du pre- mier point, par ^ -4- A^, j + Aj, z + A^ celles du second, ces équations sont A ^ A y dx dv et les rapports -r — , -r-^ ayant pour limites -r-) -r- lorsqu'on ^^ àz ù^z "^ ^ dz dz ^ APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 1 I9 rapproche indcfinimenl les deux points, on retrouve sur-le- champ les équations de la tangente. Mais celte méthode plus élémentaire ne met point en évidence que la dislance à la tangente d'un point de la courbe infiniment voisin du point de contact est infiniment petite du second ordre, ce qui résulte comme il suit de la méthode générale. Quelle que soit la dé- pendance entre les points des deux lignes, la distance d d'un point de la courbe infiniment voisin du point de contact à son correspondant de la droite est, par définition même, un infi- niment petit du second ordre; par conséquent, la plus courte distance est-elle, à fortiori, du même ordre. En voici d'ailleurs le calcul. Désignons par les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, et par X -h h, j-h /r, z -{- 1 celles d'un point infiniment voisin qui correspond à la valeur t -h dt de la variable indépendante, de sorte que l'on ail en développant par la série de Taylor h = ^[t + (lt)-^{t)= r^'{t)dt-i-f(t)-^-h..., l=(i[t-\-(U)- Q{t)= Q'{t)di-i- f/it) — -^.... La distance de ce second point à la tangente, en écrivant ses équations sous la forme X-x Y-Y Z—z est, d'après les formules connues, si l'on écrit, pour abréger, 9', ^', 0' au lieu de ^'(0 = A-+-C9-(-D = o, On en conclura que le plan du cercle osculaleur est donné par l'équalion (or--y9"){x-'/- vr)(z-ô) = o, ou plus simplement A(X-'p)-(-B{Y-'j')-f-C(Z- 9) = o, riz fPj dy (fz en posant ^ ^ dt di' dt dt^' ^ ^ dt dt' dt de ^^ ^^ r/^ r/f' r/f dt-" En second lieu, nous formerons les conditions '^.(0 = 0, ;f'.(o = o, f':(/) = o; elles donnent les équations suivantes (y - «)^"-+- (■>!> - ^»)f' -1- (0 - c)h''^ - (/'+ -y* -H 0"), dont les deux dernières contiennent linéairement «p — «, 4" — 6, 0 — c, de sorte qu'en éliminant successivement une de ces trois quantités, on trouvera, si l'on pose, pour abréger, X = B(0-C)-C(^^- ^), -- ijî, -Clî--^)- A(ô — f), © = A{^î.-^)-B(?-«), ces valeurs, où 5' est la dérivée par rapport à t de l'arc de 124 CALCUL DIFFÉRENTIEL. courbe, Di, = {^"-h -Y' -^ ()")-y = - s"-y, G = ( '/' -h -y -h e'^) ô' = - s"o'. Or, de là peut se conclure le rayon R du cercle osculaleur, en employant la relation déjà énoncée Nous avons, en effet, ~ A'-hB' + C et, par conséquent, ^, ^ [(y-a)V(^-^fH-(9-.,-r](A^+B^+C')~rA(y-«) + B(4>-6) + C(e-c)]V A^ + B^+C' Mais, en décomposant le numérateur en trois carrés, et d'à près les expressions de X, Di», Q, on voit immédiatement qu'on peut écrire "" A'-hB'-i-C ' d'où Nous retrouvons ainsi la quantité précédemment obtenue dans la recherche de la distance à la tangente d'un point d'une courbe infiniment voisin du point de contact, et l'on voit que l'expression de cette dislance par la formule — jra la même signification géométrique que pour les courbes planes. Déterminons maintenant les coordonnées a, [3, y, en em- ployant les formules de la page 121, transformées comme on va voir. Considérant, par exemple, la première _ _ A(A« + B/>> + Cr + D) « «-— A'+B^H-C ' nous l'écrirons d'abord ainsi _A[A(«-T)^B(/^-^{^)-^-C(c-9)] ^ "" A'-f-B'-f-C APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 125 d'où A[A(a - ")ô'-(f ' -i-(, ^ — 'P)f -i-{y — 0)0' — o étant identique en A^ertu des valeurs de a, y3, y; car elle se réduit à celle-ci qui devient simplement, en prenant l'arc pour variable indépendante, f''/-i-p'f-i-0'ô"^o. Dans cette hypothèse, les cosinus des angles ^, vj, Ç de sa direction avec les axes seront cosf=R55", cosv7 = R^, cosÇ = R9". APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. I27 semblerait le plus naiurcl de considérer serait rinlerseclion de deux surfaces du second degré F(X,Y, Z) = «X'-h^Y'-i-fZ'-f-... = o, F,{X, Y, Z) = AX' -+- BY' -h CZ' + . . . = o. Chacune de ces équations renfermant neuf coefficients ar- bitraires, au premier abord on pourrait croire possible, en supposant Z ■= 2, de les déterminer par ces dix-huit conditions X=/(.), ?#==/'(3), ^-/"(^),..., '-^-/^'^i rfx ^,, , d'y. f„, . ^/»x d'où résulterait avec la ligne proposée x=zf{z), y ^=f^ [z] un contact du huitième ordre. Mais on peut atteindre seulement au septiènoe, en raison des mêmes circonstances qui ne per- mettent point d'obtenir pour la ligne droite un contact du second ordre, bien qu'elle puisse être représentée par les équations ^/X-f-Z'Y-i-cZ-hrf= o, AX-hBY-4-CZ-+-D = o, renfermant six coefficients indéterminés. Afin de bien éclaircir ce point, représentons encore la courbe par les relations x:= (p(/), j= 4^(0' ^ — ^(0> et en faisant comme plus haut ''^ = F[î(o, -MO. mi '^-F,[?(o, ^(0, 6(0], posons les dix-huit conditions ^ = 0, ,r==o, ,f"=o,..., jw = o, ,f. = o. .f,= o, ^\=o J(«) = o. Je remarque que les neuf équations qui se rapportent à la fonction 'f (2) delermmeront séparément les rapports --, -5-"> et que les neuf autres, ayant absolument les mêmes coefficients 1 . ui. . , B 6 C c pour les mconnues, obligeront de prendre — = -»— = -,•••» ri. Cl Jx et ce qui fera coïncider les équations F(X, Y,Z)=o, F.(X,Y, Z) = o. 128 CALCUL DIFFÉRENTIEL. En conséquence, nous poserons seulement seize conditions, savoir ^, = 0, ^',= 0, ^';=o,..., #^/^=0. Les premières donnant a, h, c,. . . en fonction linéaire ho- mogène de deux indéterminées X, p., on en déduira cette ex- pression F{X,Y, Z) => J = -MO> 2 = 6(0- Or en posant F(X, Y, Z) = AX -^ BY + CZ + D, et ^(0 = A(p-f-B->{> + C9-+-D, on est précisément amené à ces équations §[t]= A^ + B^]> +C6 + D = o, ^"(f)=A'9", B = ç'ô"- e>", C = 4/'«p"- '^'Y, obtenues dans la détermination du plan du cercle osculateur APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l33 (p. 123). Sous ce nouveau point de vue, et en entrant ainsi dans la théorie actuelle, ce plan a été nommé oscillateur, l'ordre du contact étant aussi élevé qu'il est possible, d'après le nombre des coefficients qui entrent dans l'équation gé- nérale. Il s'augmentera toutefois d'une unité, si l'on a B"'{ 0 = A (J.'" -H B^î<"' -f- C ô'" = O, et pour que cette nouvelle condition s'accorde avec les pré- cédentes, il faudra que le déterminant A = soit nul. L'équation A = o permet donc d'obtenir sur la courbe un nombre fini et limité de points, pour lesquels le plan os- culaleura un contact du troisième ordre. Il reçoit alors la dé- nomination particulière de stationnaire, qui lui a été donnée par M. Cayley. En posant enfin A=:o, quel que soit t, on a la condition pour que tous les points de la courbe soient dans un seul et même plan. Supposons en effet, pour plus de simplicité, 0(/) = /, de sorte que, z devenant la variable indépendante, les équations de la courbe soient * Nous trouverons alors ? î ? ^' V ■V" 0' d" 0'" A = 'f' ?" ?'" V V ■Y" I o 0 ?"r~-?"'v, et la condition A = o, en divisant par 4'"S prend cette forme . (^-' d'eu l'on conclut . ff - \ Il ? = «Y , a désignant une constante arbitraire. Il en résulte ensuite bien aisément i34 puis enfin c'esl-à-dire CALCUL DIFFÉRENTIEL. tp = «ij; -\- bz -{- C, X = aj -h bz -i- c, de sorte que la courbe proposée est effeclivemenl tout entière dans un même plan. III. La seconde application concerne la sphère, osciilatrice (X-«)=+(Y-Z')^-*-(Z-c)^ = R=, dont le contact sera généralement du quatrième ordre. Pour obtenir avec plus de simplicité l'expression des coordonnées du centre et du rayon, nous supposerons que la variable in- dépendante soit l'arc s de la courbe, de sorte qu'en écrivant on ait la relation ^'■-•(■v)+-r(^) + 9'n-o = i. Cela posé, soit encore S{s) = \_'^[s)-aYH-m.s)-bY^ms)-cY-^\ ou, plus simplement, §[s) = ('^ — ay+ (-^ - ^)^+ (9 - f )'- R^ on aura li"[s) = (

"+ (•} - 6)^'+ (9 - C) &"+ ^'^+ ^P'^-f- d'-' , et, d'après la supposition faite sur le choix de la variable in- dépendante, Il en résulte pour la dérivée suivante, en remarquant que la condition admise donne par la différentiation ^V'-^-^'-y- 'S"=o, cette valeur ii"\s) ^{9- «)?"'-4- (-i - b)r+{0 - c)6" APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l35 Or des équations (^ _ a)^' H- (.{, _ è)f -(- (0 — c)9' = o, (î-«)?''+(^-*)r+(o-^)e''=-i, (^ _ a) f"-h {^ - A)-r+ (« - 0 0"'= o on tirera, en employant le déterminant A considéré plus haut, (^-rt)A = 9'f"--f9"', (^|/-6)A = (p'e'"— 0'. -I- zcosX, Z — .rcosl — zsinl, ce qui donnera en effet x = s sin^X 6«' s^+.... Y = — 2rt Z = cosXsin — s^-h a a Ces expressions, rapprochées de celles qui viennent d'être données pour une courbe quelconque, savoir montrent qu'en posant f sln'X l'hélice aura à l'origine un contact du second ordre avec la courbe. El si le coefficient B' s'évanouit, ce qui généralement aura lieu en un nombre fini et limité de points d'une ligne donnée, on pourra, pour chacun de ces points, obtenir une hélice osculatrice ayant avec la courbe un contact du troisième ordre. En effet, si l'on détermine a et X par les conditions B = - sin'A cos)^sin''>. les développements en série des trois différences X — x, Y— j, Z — z, suivant les puissances croissantes de la va- riable s, commenceront seulement aux termes du quatrième degré. Or on a vu que ce sont là précisément les conditions du contact du troisième ordre à l'égard de deux lignes dans l'espace. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l3^ Contact des surfaces. I. Une surface élani définie par l'équation ¥{x, y, z) = o, les coordonnées d'un quelconque de ses points seront des fonctions de deux variables différentes, et devront s'exprimer de cette manière Et si nous considérons une seconde surface dont tous les points se déduisent par une construction déterminée de ceux de la première, leurs coordonnées seront représentées pareil- lement par ces expressions où figurent les mêmes variables indépendantes t el ii Cela étant, la théorie du contact repose encore sur la con- sidération de la fonction è=f(t, u), qui donne la distance de deux points correspondants, savoir *=[(x-x)'H-(Y-j)'-H{z-2rr = |[*(^«)- r/"F n d"? n „_, d"? „rf"F 'd^'^~i'^dd^^wîb^---'^~i'" TurdE^-^'" ~dF d'f n d^f n „_, d"f „ d"f = -d^^~i'"d^^=^-^--'^V'~ d^^dU^'^'' ■^' et considérant w dans ce système de relations comme une in- déterminée; il en résulte que le contact du premier ordre exige trois équations ï-/ u^ f, 7^ ^'F df d? df Y(a,b)=fin,b), ^ = ~, j^.=~^, le contact du second ordre six, car aux précédentes il faudra joindre celles-ci ^-^ ^'F _ '^ ^'F d\f da' ~ da' ' da db ~ dlTdb' db' ~ db' ' ' ' . 1 j. j (/i -h i){n -+- 2) , et en gênerai le contact d ordre n, ^ équations. C'est ce nombre qui donne à la théorie dont nous nous occu- pons son caractère propre, et éloigne, sauf le premier cas de n = 1 , toute analogie avec celle du contact de deux courbes, ou d'une courbe et d'une surface, comme on va le voir par les applications suivantes. II. En premier lieu, nous envisagerons le plan Z = aX-hbY -hc, dont l'équation renferme trois coefficients, de sorte que l'on peut, comme pour la ligne droite à l'égard d'une courbe, ob- tenir, en un point quelconque X = ^, Y=^, un contact de premier ordre avec toute surface z=f{xjy). 1^2, Ayant en effet les conditions CALCUL DIFFÉRENTIEL. F(X, Y) = aX ^ bY -i- c, F(.,,)=/(,r,H ^ = g. dy donnent innmédialement by z — ax -^ c, (h dx "~ dy^ et l'on retrouve ainsi l'équation déjà obtenue du plan langent sous la forme ^-' = r^^ Nous remarquerons, avant de faire les applications de ce résultat, qu'en supposant parallèle au plan coordonné des XY le plan tangent en x, y, z bi la surface z =f{x,y), on a né- cessairement dx ^ dy ~ ' Et si le plan des XY est lui-même langent à l'origine des coordonnées, la fonction /(^, y) ainsi que ses dérivées par- tielles du premier ordre s'annuleront pour 57 = 0, j=o, de sorte que le développement par la série de Maclaurin de l'or- donnée z suivant les puissances croissantes de x ei j- com- mencera seulement aux termes du second degré, et sera de la forme z == ax'-+- b xy -h cy'' -h dx^ •+- ex^y -{-.... De là se déduirait que la dislance au plan tangent d'un point d'une surface infiniment voisin d'un point de contact est un infiniment petit du second ordre. Mais d'une manière plus gé- nérale, comme par définition la distance 6 de deux points cor- respondants A et B de deux surfaces, infiniment voisins de leur point de contact, est infiniment petite d'ordre n+i lors- qu'elles ont un contact du n''"" ordre, il en résulte à fortiori que la plus courte distance du point A de la première surface à la seconde, est aussi infiniment petite du même ordre. Observons enfin qu'en supposant z une fonction implicite déterminée par la relation f{x,y,z)=o, APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. ll^i réqualion reprend la forme sous laquelle nous l'avions précédemment obtenue (p. 129). On a en elîet df dz df dz dx dx df dz df dz dy dy d'où l'on tire 4L £ dz dx di~~7(f" dz dy dy~ df dz dz et en substituant il vient Nous en conclurons pour la normale à la surface, c'est-à-dire la perpendiculaire élevée en x, y, z au plan langent, les équa- tions X — J?_Y— j_ 1 — z d£ - df - a ' dx dy dz en supposant que les axes coordonnés soient rectangulaires. m. Soit pour première application les surfaces données par l'équation f[x — oz, y — bz) = o, OU plus simplement /{«, ^) = o, en posant a = x—az, p=y — bz. On tirera de là dx doi dy dp dz dx dp de sorte qu en reuiiissant les termes en ^T-et -j^» lequaiion doc ap du plan tangent devient l44 CALCUL DIFFÉRENTIEL. Ce résultat fait voir que, quelle que soit la fonction /(a, (3), ce plan contient la droite X — x = a{Z — z), Y — r = h{Z-z). Effectivement, l'équation proposée est celle des surfaces cylindriques, et le calcul met en évidence celte propriété du plan tangent, de contenir la génératrice qui passe par le point de contact. Nous considérerons en second lieu les surfaces coniques, qui sont données par l'équation /('^, P) = o, en posant y — ^ On aura alors ^(f I fff il en résulte que cette droite est dans le plan déterminé parle point (^,r) 2) et l'axe des 2, qui est l'axe de révolution de la surface. IV. Une surface reçoit le nom d'osculatrice, lorsqu'on a disposé de toutes les constantes qui fixent sa position et dé- APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l45 lermineni sa nature, de manière à obtenir, avec une surface donnée, le contact de l'ordre le plus élevé possible. C'est là, comme on voit, l'extension naturelle de la notion qui s'est offerte dans la théorie du contact des courbes considérées sur un plan ou dans l'espace, et qui a reçu, dans le cas du cercle, une application d'une grande importance. Mais toute surface ne peut point devenir osculatrice d'une autre, comme toute courbe plane, quelle qu'elle soit, d'une ligne donnée. Il faut en effet que le nombre des constantes à déterminer soit un terme de la série 3, 6, 10, i5, 21,..., ^ ^^ ^1 de sorte qu'il n'y a ni sphère, ni surface du second degré os- culairices, puisque leurs équations générales renferment res- pectivement 4 et 9 coefficients. En général, une surface du ( w -h I ) ( m -h 2 ) ( m H- 3 ) m'""' degro en contient ^ ^ — i, ce qui conduit à poser l'équation ( « -(- I ) ( « -(- 2 ) _ ( /« -+- I ) { /« -H 2 ) ( //i -f- 3 ) dont il y aurait lieu ainsi de rechercher toutes les solutions en nombres entiers et positifs pour m et n. Mais l'Arithmétique supérieure ne donne à cet égard aucune méthode, et je me bornerai à remarquer qu'on y satisfait, par les moindres nom- bres, en prenant m = 5 et « = 9. Il n'y a donc aucune surface algébrique, de degré inférieur à 5, pouvant être osculatrice, de sorte que la théorie actuelle ne semble pas applicable au delà du plan et du contact du premier ordre. La considé- ration suivante permettra cependant d'aller plus loin. En dis- posant des deux coordonnées d'un point d'une surface, on peut en effet ajouter deux constantes à celles qui déterminent une sphère, et par conséquent la rendre en ces points oscu- latrice du second ordre, puisqu'on aura le nombre voulu de six quantités arbitraires. En disposant d'une seule des coor- données, on ajoute une arbitraire aux neuf coefficients d'une surface du second degré, ce qui permettra de la rendre oscu- l'« Partie. lO l46 CALCUL DIFFÉRENTIEL. lalrice du troisième ordre, non plus alors en un certain nombre de points, mais, comme il le semble au premier abord, tout le long d'une ligne déterminée d'une surface quel- conque. Nous allons traiter ces deux questions. V. L'équation de la sphère étant (X -«)=-+- (Y - bf-^[l - cy= R», on obtiendra les dérivées du premier ordre . par les relations et celles du second dY X — n-h?(Z — c) = o, Y -^ + Q(Z-c) = o, R = f/'Z dX' s = d'Z dXdY T = dY' par celles-ci, qui s'en déduisent en différenliant successive- ment par rapport à X et à Y, n-P=-+-R(Z -r)=o, PQ-+-S(Z-r)=o, i + Q'^T(Z-c) = o. Or, les conditions du contact du second ordre avec une surface quelconque z =f{x, f), au point X = ;r, Y=j, sont P = ^ = ^' ^ = dz dx jPz_ dx dy dz d^z dy^ de sorte qu'en faisant dz (h dy' dx' dx dy t = (Pz dy'' nous les obtiendrons en remplaçant dans les relations précé- dentes X, Y, Z, P, Q, R, S, T par x, j, 2, /?, q, r, s, t, ce qui APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l^'] donnera X — a -h p(z — c) — o, jr — b-hf/{z~c) = O, I -4-/>'h- r(z — c) = 0, pq -h s{z — c) = o, I -f- q'-^' t[z — c)= o. Cela étant, les trois dernières conduisent immédiatenneni par réiiminaiion de c ou plutôt de 3 — c aux deux équations de condition cherchées entre x eiy, savoir j_j-jP* __ pn_ _ I -1-7' r s t et, en chassant les dénominateurs, {^l^p*)s- pqr = o, (n-/>*)/ — (1 + 7')r= o. On donne le nom d'ombilics aux points de la surface 2=/(-^, ,r) que déterminent ces relations, et que bientôt nous verrons s'offrir sous un autre point de vue. Je. me bor- nerai en ce moment à les obtenir à l'égard de l'ellipsoïde jr y a' ^ b' = 1, OÙ ils ont un rôle extrêmement important dans l'étude géomé- trique des courbes tracées sur celle surface. En formant à cet effet les valeurs des quantités/;, q, r, s, t, on trouve c'x c'y ' a'z ' b^z 'b'z' et, après quelques réductions, il viendra simplement {«'- c') j:/ = o, b\a^-c')x^— a\b^—c^)x^ - a'b'(n'— b^) = o. Ces relations sont identiques dans le cas où l'ellipsoïde se réduit à une sphère, comme on pouvait le prévoir; mais si les axes sont inégaux, et que l'on suppose a>b>c, to. .48 CALCUL DIFFÉRENTIEL. nous parviendrons irès-aisément à ces solutions, les seules réelles, savoir là' -h' , r = o, z = \/^- On en conclut que les ombilics sont les quatre points où les plans des sections circulaires deviennent tangents à la sur- face. VI. Dans la seconde question, il s'agit de l'équation géné- rale du second degré F(X, Y, Z) = r/X^-f- «'Y^ -4- r/'Z- ^- 2iYZ + 26'ZX -+- 2//XY H- arX -+- 2 c'y H- 2r"Z -f- r/ = o, et des conditions du contact du troisième ordre avec la sur- face quelconque z=f{x,f). Alors il est nécessaire d'intro- duire, en outre des dérivées partielles du premier et du second ordre p, q, r, s, t, celles du troisième que je désignerai ainsi fPz , fPz . (Pz ^ _ 'J_^ ! __^_ _ " d^'' dx'fiy " dxdy' ' dy / = /- — Cela étant, et sans répéter ce qui a été dit tout à l'heure à propos de la sphère, j'écrirai immédiatement ces relations nx'-^a'f'^-i- a"z'-ï- o-byz-h -ib'zx -h ih"xy ^r-'icx-^ "i-c'y -h 2.c"z -{- d =^ o, [b'x -f- hy -H a" z -H c")p -+- ax -+- b"y -t- b' z -1- <;• = o, {b'x 4- /;/ -f- a"z -f- c") q -+- b"x -h a! y -f- ^s H- f' — o ; puis celles-ci, qui contiennent les dérivées du second ordre, et où je fais, pour abréger, I ^F /, / n « W = r- = « .r -t- OJ' -I- (7 Z -(- C , savoir 2 dz wr -\- ,, où $ et 0, sont des polynômes eiilièremenl déterminés. Il s'ensuit qu'en un nombre fini de points de la surface ^=/(^>j)» et non le long d'une ligne comme on l'avait d'abord présumé, nous obtenons un faisceau de surfaces, au lieu d'une surface osculatrice unique du second degré (**). (*) Elles expriment, comme on le vérifie aisément, que le polynôme du troi- sième degré gk* -t- 3 A i*-+- 3 A A -^ / est exactement divisible par rX'-^ 7sX-hC. (**) Il est remarquable qu'on trouve des lignes en appliquant cette théorie aux surfaces du Iroisièmo degré; ces lignes sont les 37 droites situées sur ces sur- faces. l5o CALCUL DIFFÉRENTIEL. DE LA COURBURE. Celle ihéorie, qui se lie nalurellemenl à celle du conlacl géométrique, a une porlée beaucoup plus étendue, et nous nous bornerons ici à en donner les principes les plus simples, sans entrer dans les résultais si importants obtenus depuis Euler sur la courbure des surfaces et des lignes tracées sur la sphère ou sur une surface quelconque. Je renverrai, pour l'élude de ces belles questions, au premier volume du Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral de M. Bertrand, et, en me limitant à un petit nombre de points fondamentaux, je considérerai successivement les courbes planes, les courbes dans l'espace et, en dernier lieu, les surfaces. Courbes planes. I. La courbure que l'on regarde comme une notion géomé- trique première et irréductible s'offre sous son aspect le plus simple en considérant le cercle; on dit en effet que, pour cette ligne, la courbure est uniforme et la même en tous ses points. Mais elle varie d'un cercle à un autre, et si l'on envi- sage, pour fixer les idées, les cercles tangents à une même droite en un point, on observera qu'ils tendent, dans le voisi- nage de leur point de contact, à se rapprocher de cette droite quand le rayon augmente; on dit alors que la courbure di- minue, et c'est ce qui amène à introduire dans le calcul la notion dont il s'agit, en lui donnant pour mesure dans le cercle l'inverse du rayon, c'est-à-dire la plus simple des fonc- tions qui décroissent quand la variable augmente. Or on peut représenter l'inverse du rayon par l'angle de deux tangentes quelconques divisé par l'arc compris entre leurs points de contact, ce qui est une combinaison d'éléments géométriques susceptible d'être considérée à l'égard d'i:ne courbe de na- ture quelconque. Nous nommerons ainsi courbure moyenne APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l5l d'un arc le quotient obtenu en divisant par la longueur de cet arc l'angle des tangentes menées à ses extrémités, et la limite de ce rapport, en supposant l'arc infiniment petit, deviendra en un point donné la courbure dont nous allons chercher l'ex- pression au moyen des coordonnées rectangulaires ^ et j de ce point. Soit l'équation de la courbe proposée j=/(^), s la lon- gueur de l'arc comptée d'une origine quelconque A {fig. 10) Fig. 20. jusqu'au point M, dont les coordonnées sont X et y, et a l'angle que fait en ce point la tangente MT avec l'axe des ab- scisses. En faisant croître x de sa diffé- rentielle, on passe du point M au point infiniment voisin M', l'angle cf.^=y\'ïx deviendra par suite Wï' x =^ a + dcc , l'arc AM = 5 croîtra de MM'=, J = p sino). APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l53 Nous appliquerons la formule en parlant de la relation qui donnera, en prenant les dérivées par rapport à w, J'y changerai ensuite le signe de y — ï» ^^ manière à ob- tenir et je multiplierai membre à membre avec la seconde égalité. En formant alors de part et d'autre les coefficients de v' — ï> il viendra et, par conséquent. La seconde forme du rayon de courbure se rapporte au cas où les coordonnées x et j sont données en fonction de l'arc s. Elle s'obtient en introduisant la condition dans l'expression générale, qui devient d'abord L'a>"— -V'»' On remarque ensuite que l'équation identique donne l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL. à cause de la condition admise et de celle-ci qui s'en tire par la différentiation. Nous avons donc la formule dont je vais faire une application en cherchant l'expression de la différence entre la longueur d'un arc infiniment petit et sa corde. Je considère à cet effet les équations dans le cas où l'origine est au point de la courbe correspon- dant à 5 = 0, l'axe des x étant de plus une tangente et l'axe des/ une normale, ce qui suppose p'(.î) = i et -r- = -\>'{s) = o ds ds pour s = o. Les développements par la série de Maclaurin des fonctions 9(5) et ^[s) seront donc ^ [s) = s -+■ as^ + a' s^ -t- . . . , ^"(.)+-r(-^)-', et la condition c'est-à-dire (i + ins -+- B^S-^-f-. . .y -\- {ihs -h 'ib's^-h. . .)'= 1, donnera, comme à la page 187, a = 0, a' — — fè*, d'où, pour 5 = 0, ?"'(^) + f'M*)=4^' Nous pouvons ainsi poser, en désignant par R le rayon de courbure à l'origine, il en résulte, pour la distance de cette origine à un point de APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l55 la courbe, et, en supposant s infiniment petit, on a ce théorème : La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est un infiniment petit du troisième ordre, à savoir le cube de l'arc divisé par 24 fois le carré de son rayon de courbure. Observons que cette différence, lorsque ^ = 0 (ce qui est le cas d'un point d'inflexion), ne serait plus du troisième, ni même du quatrième ordre, mais du cinquième. Plus généralement, admettons que l'axe des abscisses ait avec la courbe proposée un contact d'ordre n; il faudra, d'après îa théorie connue, que la différence entre l'ordonnée de la droite, c|ui est nulle actuellement, et celle de la courbe, c'est-à-dire précisément cette ordonnée y = ^{s), soit infiniment petite d'ordre n + i, par rapport à s. On doit donc poser ij;(j) = /V+'-+-/V+'' + ..., ?'(.v) = [I - -n-oi^^ I - -^^^tJ]!i',-H_. .., et, par conséquent, 2 ( 2 rt -(- I ) sans ajouter de constante , d'après la condition admise que l'origine des coordonnées correspond à la valeur 5 = 0. 11 en résulte, pour x'' -h 7', l'expression suivante or' -h y = ïs- i^LtlL^L s'"-'' -^- . . .T^ (^•^•"'■' -+■ /v+'-t-. . .)' •^ L a(2«-Hi) J ' h'P %n ■+- 1 et, par suite, /Z3 J "^^ i{7.fi -+- 1) l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL. de sorte que la différence entre l'arc infiniment petit et sa corde est, dans le cas actuel, un infiniment petit d'ordre 2/1 -\- I . III. L'expression du rayon de courbure dont nous venons de faire usage peut encore se tirer directement de la relation I _ (h comme nous allons le montrer. J'observe, à cet effet, que les coordonnées x el x étant ex- primées en fonction de l'arc par les formules on aura cos^ = ^ =9 {s), et ces équations, différenliées par rapport à s, donneront d'x dx — ^^^^^ TÛ- = '/'('O, COSa -f- = •}"(.0, OU bien R 'f[s] lis) R = r(-v; Or, en élevant au carré et ajoutant membre à membre, on ob- tient sur-le-champ J'y joindrai celle-ci, dont il sera fait usage plus tard, savoir J3 = vy- w- Elle se démontre en observant que l'on a par la différentia- tion ^==^-R-^V' ^ R R^ APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l57 Ajoutant ensuite ces relations membre à membre, après avoir multiplié la première par — ^", la seconde par établies p. i56; or on voit que la somme des carrés donne immédiatement d'jr -h ,/^' = r/R^ La géométrie enfin conduit facilement, comme il suit, au même résultat. (*) Le rayon du cercle osculateur devient iniini en un point d'inflexion, parce que 1 on a dans ce cas : -j— j- = o. l'* Partie. 1 1 l62 CALCUL VIFFtKElfTIEL. Considérons, en effet, deux tangentes infiniment voi- sines MT, M' T {fig. 2 1 ) à la courbe^ =/( ^ ), et soient M et M' les points de contact, MN et M'N les normales dont l'intersection en N détermine un point de la développée. L'by- poténuse NT, commune aux triangles rec- tangles NMT, NM'T, est, aux infiniment pe- tits près du second ordre, égale aux côtés NM et NM'; car les angles en N sont infiniment petits. Donc ces lignes ne diffèrent elles- mêmes que d'un infiniment petit du second ordre; par consé- quent, en passant de M à M', l'accroissement de 5IN = R sera précisément la distance du point N de la développée au point infiniment voisin N% distance qui est l'élément ^; on a donc bien ds = dK, quand R augmente avec poser d'une suite d'arcs identiques à celui qui est donné par les valeurs de t comprises de xéro à ir. Elles conduisent aussi à une détermination facile des coordonnées du centre de courbure. Appliquons à cet effet les formules établies p. ii5, savoir En remarquant qu'on tire des expressions des coordonnées les valeurs f'=a(i — cosf), j»* = «sin/, d'où on en conclura sur-le-champ « = M(f -t-sinO« P = «( — I -+-C08/V Je dis maintenant que ces relations représentent la même cydoîde rapportée à d'autres axes. Changeant d'abord t en / +::, ce qui n'altère point la nature de la courbe, il vient s = airH-«(( — Stnfl, p =— «(IH-C08«K et si nous posons ensuite II. l64 CALCUL DIFFÉRENTIEL» on trouvera, par rapport aux nouveaux axes, .V =:: a{t — smt), j = ri{i — cost), c'esl-à-dire précisément les équations de la cycloïde proposée. On a donc ce théorème : La développée de la cycloïde s'obtient en construisant une cfcloïde égale, par rapport à des axes coordonnés parallèles et dirigés dans le même sens, dont l'origine est le point X = an, (3 = — 2«. VI. J'ajouterai encore quelques remarques sur les rayons de courbure de ces deux lignes. En rapprochant d'abord la formule relative à l'ellipse R = — («^ sin'? + /;' cos'^)' ab ^ de l'expression de la normale, savoir ^-A-mh\ m \dt) J [a^Sivrl^ b^cos^t)\ on obtient la relation remarquable />' p' où je fais, suivant l'usage, h ^ p. D'autre part, introduisons, à la place de t, l'angle 0 déterminé par la formule c . tango = j'ixnt, nous aurons ces expressions plus simples N R = cos9 cos'ô En joignant au foyer le point de l'ellipse dont les coordon- APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l65 liées sont x=:acostf y = bs\nt, et considérant la normale au même point, 6 est précisément l'angle de ces deux droites; . . . , .. bs'int . car le coefficient angulaire de la première est ^ > le ° * rtCOS^ — c coefficient angulaire de la normale a pour valeur dr __ fisint df ~ bcost^ et de là résulte bien bsint asint . acost — c bcost ac — c*cost c . ^, tanc9 — j—.— i = sin/ -7 7 : = TSln^ ^ nbsin't ab— bccost b [acx)it — c)bcoit A l'égard de la cycloYde, l'expression de la normale <;onduit à ce résultat très-simple sin- 2 Si l'on calcule ensuite le rayon de courbure d'après les valeurs précédemment trouvées pour a et (3, qui donnent .*• — a ~ — laBxnt, j— ^ ^ 2«(l — COS/)? on obtient t R - 4«sin-) 2 d'où, par conséquent, R = ïN. Nous remarquerons enfin l'expression de la sous-normale ^., dr , , sin^ . ^ SN = y-T- -~ « (i — cos/) = (I sinr. -' dx * ' I — cosf Ayant .r = n{t — sinf), l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL. on peut récrire de celle manière SN ^at — x, el la figure qui a servi à trouver l'équaiion de la courbe monlre que SN = OQ - OP = PQ, de sorle que la normale à la cycloïde s'oblient en joignant le point décrivant du cercle mobile à son point de contact sur l'axe. Pour dernière application, soit X = a[cost ■+- tsmt), y = «(sin; — tcoit], ce qui donnera (p = «fcosf + fsin^), -h — a{%mt — tco^t), (f' = atcost, -y — aisint^ ^"= «(cos^ — ïsin^), ■^"= a{sint -+- tcost), et, par conséquent, ,j,'= + f ' = «*/=, ■!^'<^"-Y y=-^((]. 2 = 9(0, la variable t étant quelconque. Les cosinus des angles que fait avec les axes coordonnés la tangente au point {x, )^, z) sont, comme on sait, dx , dy dz ds ds ds Or, en faisant croître de sa différentielle la variable /, on passe du point considéré de la courbe au point infiniment voisin, et les cosinus des angles de la tangente avec les axes en ce môme point sont évidemment a' = a ■+- dn, b' = b -\- db, c' — c -¥■ de. L'angle de contingence, qui a été nommé w, sera donc déter- miné par la formule cosw = aa! -^ bb' ■+- cc\ OU plutôt par celle-ci qu'il est préférable d'employer \_ sinw = \\^cb' — bc'Y -^ (ac'— ca') -+- [bn' — ab'YY = [{cdb — bdcy -+- [adc - cdaf -^ [bda — adbfY ; et comme le sinus est égal à l'arc aux infiniment petits près du troisième ordre, nous aurons w = [{cdb - bdcy + [adc — cdaY+{bda — adby]\ Or, en différentiant a et 6 par rapport à t, on obtient ces valeurs , d^xds — dxd^s „ d^yds — dyd's da^- ^, , db= ^ ^^J , cl nous en conclurons, après une réduction facile, bdn - adb - dyd^x-dxdy _ W -H ^'^ -H Ô'' ' i68 el, par conséquent, ds = R CALCUL DIFFÉRENTIEL. {(p'^ + 4/'2-t-9")^ [(ô\i"- f 9")^ + (y'ô"- e'■ — ¥ BV-I-. . . = .V — — ^ -H . . . , comme pour les courbes planes. II. L'angle de torsion en un point d'une courbe dans l'es- pace est l'angle e que font entre eux deux plans osculateurs menés aux ovlrémités d'un arc infiniment petit •-•]/(/), 3 = 0(0. Partant à cet effet de l'équation du plan osculateur . A(X-.}.)-HB(Y--^)-f-C(Z-0).= o, OÙ je fais comme précédemment B = ?'ô"-e'-HO'^=G = i, d'où, en différentiant par rapport à s. En second lieu v«-Ky»-K6«=G'=i5, et, en différentiant de nouveau, on obtient fj'-+- ^'4,- H- ©•o-= H = - 1-' - Enfin l'équation donne ç"-H ^«H_ o"-K ç'ç--f- .;,'••.- -I- Q'e-= o, et il en résulte T'T'+fr+»'«"=H'=-^. De là suit la relation que nous voulions obtenir, savoir A» = -i_ - ?!-±i!--i!!! _ ± _ ^ RV» R' R* R«* et qui a d'importantes conséquences. La première, c'est que le rayon de torsion se trouve 172 CALCUL DIFFÉRENTIEL. exprimé au moyen du rayon de courbure et de la somme [)ar la formule J^ = R^ (o)'"^ + Y" -+- 9'"=) - ^ "^5' ■ Nous en conclurons que les coordonnées d'une courbe quel- conque dans l'espace étant, en l'onction de l'arc, on a les trois équations a,"=(,v)^-.y'2(,-) + G"-'(,v) ?""(.v) + f"'(.v) + 9"'-^(.v) R^ RV^ i-f-R" qui déterminent ces coordonnées lorsqu'on donne R et r, ainsi qu'on le verra dans le calcul intégral. J'y joindrai celles-ci, qui s'en tirent par des difîérentialions, savoir Y"-4--v-f"+e'e"'=- R= y'',p>v_^,|,^|^IV^Q«Q,v^_ ' R' R^ 5 (s)' La seconde conséquence concerne le rayon de la sphère osculatrice à cette courbe. En le désignant par p, nous avons obtenu, page i35, l'expression APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. I73 Or, il suffira d'y remplacer A par yt"* ^^ '*^^ quanlités Q,"'î-I.q;«"i+ 0"'2, ©y-f- ^'^'"-\. 0'&" par les valeurs qui vien- nent d'être obtenues, pour en conclure cette relation simple et remarquable, savoir IV. Les expressions du rayon de courbure et du rayon de torsion nous serviront encore à démontrer les théorèmes sui- vants, qui sont dus à M. Bonnet : La distance d'une des extrémités d'un arc infiniment petit au plan osculateur correspondant à l'autre extrémité a pour valeur le cube de cet arc divisé par six fois le produit de ses rayans de courbure et de torsion. La plus courte distance des tangentes aux extrémités d'un arc infiniment petit est égale au cube de l'arc divisé par douze fois le même produit. Effectivement, l'équation du plan osculateur en un point de la courbe .r^^(.v), r--M^-), 2-0(.v) étant A(X-'(.v-h/i)— ^'0'(s-^-/i) ^-BA-f-..., fl//— hn'r^ d'où résulte, pour le dénominateur de ô, en négligeant le carré de A, [(ftr'-c6')'H- [cn'-nc'Y^ (aA'- &«')* ]^ = //( A^-H B^-f- C')* R Pour évaluer ensuite le numérateur, remarquons qu'on a identiquement, d'après les propriétés élémentaires des déter- minants, a a' X — x' h // y -y' c c' z-z' a a — a — — — h -h x — x b b' — b ll->r Y — y' c -h c , r c — c • « -f- z — z et si l'on effectue, dans les deux dernières colonnes, les déve- loppements en série, on trouvera, en employant seulement le premier terme de chaque développement. N = ? «V 77" f 0' hfi" -^Pf)'" IL la ? ? ? y Y y 0' ô" Ô" Nous sommes donc encore ramenés comme tout à l'heure au déterminant A= -jr— : il en résulte N laRV 176 CALCUL DIFFÉRENTIEL. et, par conséquent, ce qui démontre le second théorème (*). V. Voici encore des résultats analogues aux précédents. Soient U, V et W les angles des tangentes, des plans oscula- teurs et des deux normales principales aux extrémités des arcs s Ql s + h; R et > désignant comme tout à l'heure les rayons de courbure et de torsion à l'extrémité de l'arc s, on aura R 24 Rr-' ,/Ry^ W= / ,/.vi/ -^ ------ -V^_, en négligeant les puissances de h supérieures à la troisième. Dans le cas des courbes planes, la première équation devient Js R u = pour toute valeur de //. De même, en considérant la distance p de l'extrémité de l'arc s -h fi h la tangente à l'extrémité de l'arc s, l'expression • TT '^P smU jr") fin identiquement nulle à l'égard des lignes planes, sera, pour les courbes gauches, infiniment petite du troisième ordre par rapport à h, et l'on devra poser alors sinU 77 = — ^-^ an y7.nr^ aux infiniment petits près du quatrième ordre. (*) Voyez, pour la démonstration géométrique, le Trait/' de Calcul diffé- rentiel et de Cqlcul intégral de M. Bertkand, t. I, p. 638. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. I77 VI. Après avoir exposé, en général, ce qui concerne les notions géométriques nouvelles de la courbure et de la tor- sion, nous allons faire une application particulière des for- mules obtenues, en considérant l'hélice. On nomme ainsi la courbe obtenue lorsqu'on enroule le plan d'un angle sur un cylindre quelconque, de manière que l'un des côtés s'applique exactement sur la section droite. Prenant donc le plan de cette section pour plan des xy\ il est clair que l'ordonnée z d'un point quelconque de l'hélice sera proportionnelle à l'arc s de la base du cylindre, compté à partir du sommet de l'angle. Nous obtiendrons ainsi ses équa- tions, en joignant à la relation les expressions, en fonction de l'arc, des coordonnées x et / (le cette base, à savoir L'arc de cette courbe, que je désignerai par c, s'obtiendra z — rns, P P cette conclusion était évidente à priori. Posons en effet, en remplaçant s par ac-hs, J:" = pCOS , J = p Sin , z'=w(a + .y), APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l8l OU trouvera aisémeni ces relations x = .ccos rsin -■ r' = j: sin - -+- r cos - ■> P 9 Elles montrent qu'un changement d'axes ferait coïncider x', X',z' avec x,y,z; par conséquent, les fonctions des coor- données qui conservent leur valeur quand on change les axes, et qui tiennent ainsi à la nature et non à la position de la courbe, sont constantes pour tous les points de l'hélice. Une autre conséquence de la supposition de Si constant, c'est qu'alors le centre du cercle osculateur et le centre de la sphère osculatrice coïncident, leurs coordonnées étant, d'a- près les formules précédentes, 01. ~ — nro cos~i o= — w'psin-? y = ms. ? ^ Le lieu de ces points est donc une hélice semblable à la pro- posée. SURFACES. I. En considérant sur une surface les sections obtenues par les plans qui passent par la normale en un point donné, leurs rayons de courbure en ce point varient suivant des lois simples dont la découverte, due à Euler, a servi de fondement à la théorie qui va nous occuper. Pour les établir, nous rapporte- rons à cette normale comme axe des z, et à des droites rec- tangulaires situées dans le plan tangent au point considéré, l'équation de la surface proposée. De ce choix de coordonnées résulte, comme la remarque en a déjà été faite, que l'ordonnée z développée suivant les puissances de x et de y, par la série de Maclaurin, a cette forme : z = /-/.r' + bxy-^cy^ -+- dx^ -+- ex''jr+fxj^-^gy^-\-. . . . iSa CALCUL DIFFÉRENTIEL. Les théorèmes que nous allons démontrer supposent donc la possibilité d'un tel développement, au moins pour des va- leurs infiniment petites de x et de j, et se trouveraient com- plètement en défaut en considérant, par exemple, la surface donnée par l'équation l'ordonnée z ne pouvant alors s'exprimer de celte manière ( * ). Cette remarque faite, nous procéderons comme il suit. Cou- pons la surface par un plan normal quelconque j=^.rtanga, et rapportons la courbe d'intersection à deux axes situés dans p.. ^3 son plan, l'un étant la trace Oa;, (^g-. 23) du plan sécant sur le plan des xf, et l'autre l'axe des z. On aura évidemment, en nommant ^, l'abscisse OP d'un point quelconque M de cette courbe, OQ -— X = .r, cosa, PQ =:J■ = x^ sinx. Quant à l'ordonnée MP, ce sera précisément le z de la sur- face, de sorte que la section aura pour équation dans son plan z — (rtC0S*a + /;C0Sasina -t- csin^a).rj + dcos^xx^^ -H. . . , les termes non écrits contenant des puissances de x, dont l'exposant est supérieur à 2. Or il est aisé de voir que le rayon de courbure à l'origine a pour valeur j^^ L^ 2(rt COS^a + ^COSasina H-csin*a')' car, en supposant en général r = Ax'^ -f- B^^ + . . . , (*) Serret, Cours de Calcul différentiel et intégral, t. I, p. /172. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l83 la formule donne bien j^dm 9. A pour j; = o; el voici les importantes conséquences qui ré- sultent (le cette expression. Considérons l'équation ax^ -\-bxy-incy^ = i, qui appartient à une courbe du second degré rapportée à son centre; en prenant ce centre pour origine des coordonnées polaires, et faisant ^ = pcosa, r=psina, on aura p*(«cos'a-+-èsinacosa-i-csin'a) = I, et, par conséquent, Les rayons de courbure des sections normales, correspon- dant aux directions du plan sécant déterminées par l'angle a, varient donc proportionnellement aux carrés des rayons vec- teurs de celte courbe, qui a reçu le nom à' indicatrice. Il en résulte qu'en un point d'une surface quelconque, il existe toujours deux plans normaux rectangulaires dirigés suivant les axes de l'indicatrice et donnant des sections dont la cour- bure est la plus grande et la plus petite possible. On les nomme sections principales de la surface au point considéré. Faisant ensuite application des propriétés élémentaires des rayons vecteurs menés du centre à un point d'une courbe du second degré, on a ce théorème : La somme des inverses des rayons de courbure de deux sections rectangulaires quel- conques est constante et égale à la somme des inverses des rayons de courbure des sections principales. La notion de l'indicatrice qui donne si aisément ces résul- l84 CALCUL DIFFÉRENTIEL. tats, découverts par Euler, est due à M. Charles Dupin, et ar été présentée par ce savant illustre de la manière suivante. Considérons la section faite dans la surface par un plan parallèle au plan tangent 2 = A, en supposant li infiniment petit, section qui se projettera en véritable grandeur sur le plan des xy et aura pour équation ]i = ax^ -4- bxY -4- c r ' + dx^ + . . . . En remplaçant les coordonnées x et/ par x \jli, y\Jli, on obtiendra une courbe semblable : h — [ax^ -h bxy -f- c r ^ ) A + [dx^ -t- ex'- y -f- . . . ) A /^ -h . . . , ou bien I = ax^ + bxy -f- cj •' + dx^ \[h + . . . , dont la limite, pour h infiniment petit, donne précisément I = ax"^ -^-bxy-^-cy"^. Je n'exposerai point ici les beaux résultats déduits de la con- sidération de l'indicatrice par M. Charles Dupin, et je remar- querai seulement que si l'on eût opéré de même à l'égard de la section par le plan z = — h, en remplaçant encore x et j par X y/A et js//t, le résultat eût été évidemment — I = ax' 4- hxy-\- cy^. Par conséquent, lorsque l'indicatrice est une ellipse, l'une des deux équations représentant une courbe réelle et l'autre une courbe imaginaire, on a cette conclusion, que la surface est tout entière au-dessus ou au-dessous du plan langent, dans le voisinage du point de contact. Si l'indicatrice est une hy- perbole, les deux courbes sont réelles, et la surface située eïi partie au-dessus et en partie au-dessous du plan tangent le traverse nécessairement. La théorie de la courbure des surfaces comprend encore la détermination de la courbure d'une section oblique, mais je me bornerai à cet égard à énoncer le théorème suivant, dû à Meusnier, que le rayon de courbe d'une section oblique est égal au rayon de courbure de la section normale qui a même APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. l85 tangente, multiplié par le cosinus de l'angle compris entre les plans des deux sections. II. On nomme ligne de courbure d'une surlace le lieu des points tels, que les normales infiniment voisins se rencontrent; condition qui s'exprime par le calcul de la manière suivante. Soit z =/( X, j) l'équation de la surface proposée ; en faisant (/z dz on aura, pour la normale au point {x, y, z), X-x+p{Z-z) = o, Y— j+7(Z — z) = o, , ou, pour abréger, p = o. 0 = 0. Cela étant, la normale infiniment voisine, au point dont les coordonnées sont x -\- dx, y-{- dy\ z-+-dz, aura pour équa- tions P + r/P = o, 0 -^ r/Q = o, dP et dQ désignant, par rapport aux variables indépendantes X et )•, des différentielles totales qui se présentent en cette circonstance pour la première fois. Cela posé, la condition d'intersection s'obtiendra en exprimant que les équations P = o. Q = o, dP = o, dQ^o ont une solution commune en X, Y, Z; mais les deux der- nières, savoir fLc -t- pdz — dp[Z — z) — o, dx-{-qdz — dfj{Z — z) = o^ ne contenant que z, donnent immédiatement, par l'élimina- tion, dx -+- pdz _ dy-h (/dz TiJ? ~ dij Et, si l'on remplace les différentielles totales dz, dp, dq par l86 CALCUL DIFFÉRENTIEL. leurs valeurs dq = -j- dx-^ ~dy= sdx -^ tdy, la condition ne contenant plus que x, y t\ -j-i savoir (Iy dr dx ctx donne l'équation différentielle de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy. Celte équation est du second dv degré par rapport à -t^; il s'ensuit qu'ayant mené une nor- male par un point quelconque d'une surface, on peut tou- jours, dans deux directions différentes, passer de ce point à un autre infiniment voisin, pour lequel la normale soit dans un même plan avec la première. Je vais maintenant prouver que ces directions coïncident avec celles des sections princi- pales au point considéré. Supposons, en effet, que les axes coordonnés, dont la position est restée arbitraire, soient ceux dont il a été fait usage tout à l'heure, à savoir la normale en un point de la surface, et deux droites rectangulaires dans le plan tangent en ce point; le développement en série suivant les puissances de x et j" de l'ordonnée sera z =■ ax'^ + hxy -h cj^ + • • • , de sorte qu'on aura, pour ^ = o et j = o, />• == o, <7 = o, Il en résulte qu'à l'origine des coordonnées, les valeurs de APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. > B-; -j- dépendent de l'équation on bien I ày dx 7.(1 + b (ir br^-IC dy dx 3 + 2(rt - - c -b h[ -^\ +2(rt — cl-j- — b — o. qui a précisément pour racines les tangentes des angles des axes de l'indicatrice <7X' -4- bxY -(- c j' = I avec l'axe des abscisses. Tout point de la surface pouvant de- venir, par un changement d'axes, l'origine des coordonnées, on voit que la conclusion précédente est générale, et que la proposition annoncée est démontrée. Ce qui précède conduit encore à cette importante conclu- fit V sion, que l'équation du second degré en -f- a toujours ses racines réelles et ne peut les avoir égales sans être identique, de sorte qu'alors la direction des lignes de courbure devient indéterminée. Pour le reconnaître directement, posons, en introduisant une inconnue auxiliaire p, dx dx d'où ^ [û(, -+- ,y')_ f ] -H (p^ry _ j) = O, «n, par conséquent, [p (, H- />' ) - r] [p (i -h 7=) - /] - ( p/>7 - sY = o, pour l'équation relative à p. Or le premier membre est néga- tif quand on y fait r t p = 1 et p = ,; l38 CALCUL DIFFÉRENTIEL. d'ailleurs, le coefficient de p^ étant il est positif pour p = ±x , de sorte que les racines de l'é- quation du second degré sont réelles et séparées par les ex- r t pressions j et ^' Elles ne peuvent donc devenir égales entre elles, qu'en prenant pour valeur commune d'où la double égalité I -1- é P' I + q'3 s r t pq 1 -+- P' I -f- 7* qui rend en effet identique l'équation en -J-- Les points do la surface proposée, dont les coordonnées vérifient ces rela- tions, se nomment ombilics, et on les caractérise encore en disant que l'indicatrice qui leur correspond se réduit à un cercle. On a déjà rencontré ces mêmes équations, p. 147, dans la théorie du contact, et nous savons par celte théorie qu'on peut, en chacun de ces points, obtenir une sphère oscu- latrice ayant avec la surface un contact du second ordre. Pour compléter ce rapprochement, revenons un instant aux axes coordonnés par rapport auxquels on a cette expression de z, savoir z = ax'^-h bxy -\- cy'^ -\- dy^ -h ex^j -h. . . . En supposant l'origine un ombilic, la sphère osculatrice tan- gente en ce point au plan des xy, et dont le centre sera, par suite, sur l'axe des z, aura évidemment pour équation d'où, en faisant X=x, Y=j, cette valeur Z = R — v/R'-^'-j', où je prends le radical avec le signe — , afin qu'on ait Z = o, en supposant ^ et j nuls. Cela posé, les conditions du contact du second ordre à l'origine sont que les développements des r APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 189 deux ordonnées Z el 2, suivant les puissances de x et/, aient le même terme constant et les mêmes termes du premier et on Toît qu'elle s'évanouira pour de sorte qu'elle représentera bien la somme des valeurs de la difierentielle — 3a aina. cosxdx, à partir de a = -• Ain$î l'on a résultat qui s'interprète géométriquement; car, d'après l'ex- pression donnée plus haut du segment de tangente MP, on voit qu'on obtient simplement FV. Je me bornerai à quelques mots sur les surfaces en- veloppes. On en distingue deux espèces : dans les unes, la surface enveloppée est définie par une équation /{JT, r, s, fl) = o, renfermant un seul paramètre variable, et la courbe d'inter- section de deux sorfiKes infiniment voisines, correspondant aux valeurs a et a -i- da, est détmninée par les deux équa- tions /(',r. a. «) == o, ■3. 196 CALCUL DIFFÉRENTIEL. OU, en opérant comme plus haut, par celles-ci /(J?, J, z, «) = o, da Or on démontrera, par un calcul tout semblable, qu'en tirant de la seconde équation a^=(s>{x,f,z), la surface enve- loppe représentée par est tangente à toutes les enveloppées. Effectivement, les deux coefficients -r-Gi-r- de l'équation du plan tangent sont donnés par les relations df df dz df 1 d et prend la forme indéterminée pour j = o, ce qui {?) 200 CALCUL DIFFÉRENTIEL. permet de lui appliquer la règle relative aux valeurs finies de la variable. Or on obtient de la sorte ce qui ramené précisément a Il pourrait arriver que cette nouvelle fraction se présentât de nouveau sous la forme -; alors on serait conduit, en ap- o pliquant la même règle, au quotient des dérivées secondes fia) » et, en continuant ainsi de proche en proche, s'il y a lieu, on obtiendra la valeur cherchée par le quotient "^—-r- — -? n étant l'ordre des premières dérivées des fonctions /(^) et cp(;r ) qui ne s'annulent pas à la fois pour a; = a. Considérons maintenant le cas où les deux termes de la f(x) fraction — — - sont infinis lorsqu'on v fait:ri= a; on le ramené cp(x) immédiatement au précédent, en écrivant I .f(^) rf(.x) V) ce qui conduit à l'égalité A = A^ lim APPLICATIONS ANALYTIQUES. 20I d'où l'on conclul, quand A n'est ni nul , ni infini, A-ÛfL). ?'(«) C'est donc encore le rapport des dérivées qui donne la va- leur cherchée, et l'on va voir que la conclusion subsiste, si l'on suppose A = o. Considérant en elïet l'expression /(■r)H-ay(x)^ 00 qui se présente aussi sous la forme - > et a évidemment pour limite la constante a, on trouvera, en appliquant la règle, lim -^ ,, / ' = a, ff{x) et, par conséquent, f(x) En dernier lieu, si ^, — - devient infini pour x = a, la frac- (f{x) tion inverse -^ — ^ a pour limite zéro ; de sorte qu'on a, d'après ce qui précède, et, par conséquent, ?'(«) J'omettrai la considération delà forme indéterminée ox oo , ., ,. * ' ' , . o 00 comme se ramenant d elle-même aux cas précédents de et — •, de la forme oo — co , qu'on peut rattacher à et enfin de celles-ci car en posant on en conclura logr=?(j:)log/(j:), ~ o. 202 CALCUL DIFFÉRENTIEL. de sorte qu'il n'y aurait, dans aucun de ces cas, de question nouvelle. Voici maintenant l'application la plus intéressante à envisager; elle concerne l'expression or" log.r, qui, en supposant n positif, donne, pour^ = o, la forme o Xûo . Or, en récrivant de cette manière : — ^—•) on sera ra- mené aux quotients — » et, en prenant le rapport des dérivées, nous trouverons X ,r" — nx~'^- n ce qui est nul pour a: = o. e '• Considérons encore, pour x=^o, l'expression — —■> qui devient alors -• En posant I d'où t j; = (-logO'', elle se ramène à celle-ci -.= f(-lOg0^- [-tn\0gt) ' (— logO ^ Or on a ^ = o, pour a: = o, ce qui ramène au cas précédent, de sorte que la limite est encore zéro. Je cite cet exemple à cause de la remarque suivante de Cauchy. Formons les dé- rivées successives de la fonction f[x) = e-^\ nous trouverons •j.r -^^ x- I APPLICATIONS ANALYTIQUES. 2o3 d'où il aisé de conclure qu'en général f^^^x) se compose I d'une somme de termes de la forme — —i n étant positif; de sorte que, pour x = o, la fonction proposée s'annule, ainsi que ses dérivées des divers ordres. Il en résulte qu'en appli- «juant à cette fonction la formule de développement en série de Maclaurin , le reste seul paraîtra dans les résultats. En n'ayant donc pas égard au reste, les deux expressions F(x) et F(x)-i-e~^ sont données exactement par la même série; d'où l'on voit combien la condition de convergence est loin d'être suffi- sante, comme le croyait Lagrange, pour que la série F(o) H- ^ F'(o) -+- — F"(o) -4-. . . ^ ' I ^ ' 1.2 ^ ' représente F(^). f(x r) En dernier lieu, nous observerons qu'une fraction —, — *-—■, qui, pour x'=:a,y'=b, se présente sous la forme -> est essentiellement indéterminée ; car la limite, pour li = o,hz= o, de l'expression f(a-i-h,b-i-A) dx (ly (Ix dy lorsque l'on aura remplacé ^ et j par a et 6 dans les coeffi- cients de h et /r, en négligeant les termes d'ordre supérieur au h premier, dépendra essentiellement du rapport j' Il est toute- fois un cas d'exception à celte conséquence; c'est lorsque l'on suppose dx dy .. dx dx •j- =—-,■> ou bien -n' = -7-i d^ ) = o, o{x, jr) = o. En effet, ces courbes sont alors tangentes entre elles au point représenté par le système des valeurs considérées a: = a,jr=b. Maxima et minima. I. On dit qu'une fonction /(x) est maximum ou minimum, pour une valeur de la variable a: = a, lorsque la différence f(a -+- A) — f{a) garde le même signe, h variant entre les li-^ miles — e el-h e, où e est une quantité déterminée, aussi petite d'ailleurs que l'on voudra. Le maximum correspond au cas où celle différence est négative, et le minimum au cas où elle est positive. Cela posé, on a, par la formule de Taylor, Or, on peut prendre h assez petit pour que le terme hf'{x) donne son signe au second membre ; ce terme changeant de signe avec A, il en résulte que, dans le cas du maximum et du minimum, on doit avoir En désignant donc par x =ia l'une des racines de ceti»- équation, il viendra et si l'on suppose encore h suffisamment petit, le signe de la différence considéré sera déterminé par /"(«); ainsi, à la va- leur x = a correspondra un maximum ou un minimum, sui- vant que /»o. Dans le cas où l'on aurait à la fois f'{a) = o el /'{«)= «s la formule de Taylor donnant /(« + A) -/(«)= :| /-(«)+..., on voit qu'il n'existera ni maximum ni minimum, à moins que APPUGATI05S AJSALTTIQCKS. 2o5 la nouvelle condition f'{a) = o ne soit remplie, et alors le signe de la dérivée quatrième servira, comme précédemment relui de la dérivée seconde, à distinguer le cas du maximum de celui du minimum. En continuant ainsi, on arrivera à une conclusion que l'on peut énoncer sous forme géométrique, comme il suit. Les points de la courbej"=/{j:) auxquels cor- respondent des maxima ou minima de l'ordonnée sont ceux où la tangente, étant parallèle à l'axe des abscisses, a un con- tact d'ordre impair avec la courbe. II. U peut arriver que Ton ait à déterminer les maxima et minima d'une fonction /"{x-, x),x étant lié à x par une équa- tion ç(x, r) = o; on posera alors dx djr dx ' dr et l'on tirera -j- de la condition do df dy dx tfy dx Or une conséquence analytique à remarquer, c'est qu'en éliminant -f- par la méthode du multiplicateur, on déduira de la combinaison dx dy dx \dx dydx)~ ' les équations df ^ d9 df^dv d'où l'énoncé suivant : Les valeurs de x eiy propres au maximum et au minimum de /{x, 7"), sous la condition (p(x, r) = o, s'obtiennent en égalant à zéro les dérivées partielles, par rapport à x et^, de la quantité /(x, r) — Xo(x, ^). Supposons, par exemple, qu'il s'agisse du carré de la dis- tance à l'origine des coordonnées d'un point de la courbe du second degré ax*-4- ^bxy-i-cy^= i, 206 CALCUL DIFFÉRENTIEL. on formera les dérivées partielles de x^-\- y"^ — )v(«x^-+- ibxy -+- cy"^ — i), ce qui donnera X — \[ax H- by) —- o, y — 'k[bx -^ cy)=^ o, MulUplianl maintenant la première égalité par x, la seconde par/, et ajoutant, nous trouverons x"^^ y"^ — l[ax''-ir ibxy -\- cy'^) = o. Or on voit, d'après l'équation de la courbe, que l'on a pré- cisément x'' -\- y'^ = 1; et celte quantité s'obtiendra évidem- ment en égalant à zéro le déterminant du système I — «X — b\ — b\ i-cl Si l'on fait X = -» on retrouve ainsi l'équation [s — a) [s — c] — /;-= o, comme par la Géométrie analytique. III. Les maxima et minima d'une fonction de deux varia- bles indépendantes /(^, y) se définissent encore par la con- dition que la différence f{x^h, y-^k)-f[x, y) garde le même signe, quelles que soient les valeurs positives ou négatives des quantités h et k, supposées suffisamment petites. Cela posé, on a, par le théorème de Taylor, f(x-h/i, j+^)-/(^, y) = h dy dx 1 dx^ hh d\f dxdy 1 dy' de sorte que, pour h et h très-petits, le signe du premier mem- bre est donné par l'expression dx dy APPLICATIONS ANALYTIQUES. 207 La différence ne peut donc avoir un signe invariable qu'en posant (Ix ^ dy Mais ce signe alors étant donné par le trinôme homogène du second degré 2\ r/x^ dxdy dj'^ ) 2 \f/x''' h dx dy ti^ ^y^ J^ il sera nécessaire qu'il ne puisse, en faisant varier j-» passer du positif au négatif. Telle est l'origine d'une condition qui n'a point son analogue dans la théorie des maxima et minima des fonctions d'une variable, savoir d\f_ d\f f d\f Y dx'* dy* \dxdy ) En la supposant remplie, la fonction sera un maximum ou un minimum, suivant que le coefficient de A' ou /i% par exemple le premier -j^i sera négatif ou positif. Ces résultats s'énoncent sous forme géométrique, en con- sidérant la surface représentée par l'équation z =:f(jc, y); on peut dire en effet que les maxima et minima de l'ordonnée z correspondent aux points de la surface où le plan langent est parallèle au plan des xy, et pour lesquels l'indicatrice est du genre ellipse. FORMATION DES ÉOUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Équations différentielles ordinaires. I. Des fonctions d'une forme compliquée conduisent sou- vent entre leurs dérivées à des relations simples qu'il est utile d'obtenir dans beaucoup de questions, et surtout s'il s'agit de les développer en série. Sous ce premier point de vue, nous nous occuperons de la formation des équations différentielles 2o8 CALCUL DIFFÉRENTIEL. en considérant d'abord l'expression suivante au sujet de laquelle Lagrange fait cette remarque qu'Mw des principaux avantages des fonctions dérivées est de pouvoir faire disparaître dans les équations les puissances et les radi- caux {*). Effectivement, on trouve, en prenant la dérivée lo- garithmique y ^ ^ d'où et, en différentiant de nouveau, il vient, après avoir supprimé le facteur j', r"[x'^ — i)-^xy' — m^f = o. Cette relation, ne changeant point quand on y remplace m par — m, aura encore lieu si l'on pose y- {x -h y/jr' — I ) "" ={x — ^x^ — i)"', et c'est de là que Lagrange a tiré une démonstration simple et facile des formules célèbres de Jean Bernoulli pour le dé- veloppement de sinmcp et cosm9, suivant les puissances crois- santes ou décroissantes de sincp ou cos)"^* ( 2 cos I}» )"•-' — ...; sinmo , ,_ , m — 2 , .„ , (m — 3Mm — 5), -^ = (2008?)"- j— (2COS?r-'-4- i :^ 1 (2C0S?r- {/w — 4){w-5)f/n-6), i.a.3 ^(acosçp )"•-'+...; 3", m pair, cos/»çp = (—1)» I — — cos'ç H 77-5-1 — ^cos'y 2 ^ 2.3.4 ffl"(/w'— 2')(ffl»— 4») 2.3.4.5.6 4°, m impair, cos*^-t-... ; COS/W? = (— I) > WCOSij) ^— ^r COS^<}» -^ 2.3.4.5 ^^°^'^ 2.3.4.5.6.7 -'cos'?-*-...]; 5°, m pair, »/' . , m}(ni*— 2') . , cosjwip = 1 sin> H ^ — i sm*(j) 2.3.4.5.6 ^ ' 1" Partie. l4 210 CALCUL DIFFÉRENTIEL. 6°, m impair, w(//2'— i) . , /w(/n*— i)(/w'— 3') . , sin/wip = m sin^ ^^ — - — -'sin'y H ^ ' ^ 'sin^y 7°, m pair. sinm^ = cosçp j m SHi ^ — w(/n' — a*) sin'(}) 2.3 2.3.4.5 sin^tp -...} 8°, m impair, cos/w? = cos? I sin'v -+- ^ '-^r—, ■' sm* '» ' "^ 2.3.4 //? — I . 2 -.,.]. II. Je considérerai en second lieu l'expression X daf' OÙ le nombre n est nécessairement entier, et qui représente évidemment un polynôme du n'*"" degré, à l'égard duquel je vais établir la relation y"{x^— i) -I- ixy' — n[n + i)j= o. Soit pour un instant 2 = (JC' — l)", la dérivée logarithmique donnera d'abord l'équation z' _ inx z ou bien z X'—l z'[x^ — i) = inzx. Je prends maintenant les dérivées d'ordre n + 1 des deux membres, en faisant usage de la formule établie page 77, savoir cl"{w>) _ (V^ n cl"-' Il (lv_ n[n — \) d^-^ii rP\> d'y dx" ~~d^^'^'l~d^ dx~^ T:^ lî^^ d^'^'"'^"' daf' APPLICATIONS ANALYTIQUES. 211 On trouve d'abord pour résultai rrf-'-^'z , ,r/''z'l et il suffît de réduire, en posant y = pour obtenir la relation annoncée L'expression de forme semblable rf''-"(,_.r')"~^ r = daf^ traitée de même, conduirait à l'équation différentielle précé- demment obtenue, savoir et M. Liouville {*) a tiré de là une démonstration simple de cette relation découverte par Jacobi, savoir i—iYn d"-'{i -jr')"~î . , — ô-i N , .-, — =sin(«arccosx . 1.3.5. ..(2« — i) ax" ' ^ ' III. La formation des équations différentielles s'offre sous un nouveau point de vue dans la question suivante : Étant donnée une fonction contenant n constantes arbi- traires A, B,..., L, obtenir une équation différentielle à laquelle elle satisfasse, quelles que soient ces constantes. Posons J=:/(X, A, B,..., L), (*) Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. VI, p. 69. •4. 212 CALCUL DIFFÉRENTIEL. puis ^ = /.(^, A, B,..., L), g = /,(^, A, B,...,L), • > g=/„(^, A, B,..., L), rélimination de A, B, ..., L entre ces n + i équations don- nera une condition de la forme suivante Y dy d"r\ xi Ce sera l'équation différentielle cherchée, et nous dirons qu'elle est du w"'"' ordre, pour rappeler l'exposant le plus élevé des diverses dérivées de j qui y figurent. L'étude de ces relations est un des principaux objets du Calcul intégral, et, plus tard, on établira qu'entre certaines limites de la va- riable indépendante toute équation d'ordre n admet une so- lution dont l'expression la plus générale renferme n con- stantes arbitraires. Cette proposition donne ainsi le moyen de f- former à priori des équations différentielles dont on a la solu- tion complète, et en voici un exemple aussi simple qu'impor- tant. ' ^ Soit I j = Ae"' 4- Bc*' + . . . 4- Le'% f OÙ a, 6,..., /sont des quantités déterminées; l'élimination de A, B,..., L entre celte équation et les suivantes dx vÇ = Aa=e'"-*-B6^e*'-f-...-i-L/=<;'', dx^ ^ = A(^(f''-hBb''e'''-h...-i-Ll"e'% dx" ' s'effectue en considérant cette combinaison, où p, ^,..., s APPLICATIONS ANALYTIQUES. 21 3 sont n facteurs indéterminés, savoir -hL{l''-hpl''-'-i-rjl''''-h...-hs)e". En effet, si l'on pose, pour un instant, /( j:) = x"-f- /jj:"-' H- 7 x"-' -(- . . . -h i, le second membre devient A/{«)c«+B/(6)^' + ...+ L/{/)c'', et A, B,..., L disparaîtront en déterminant;?, q,..., s par les conditions /(«)=o, /(i) = o,..., /(/)=o, qui donnent sur-le-champ f{x) = {x-a)(x-b)...{.v-l). IV. Une autre forme analytique conduit à un calcul tout semblable, c'est l'expression y=X(x-a)'"-hB{x-bY'-\-...-hL{x-l)'", d'où l'on tire, si l'on fait, pour abréger, nij = m[ni — i), m^ = m{m — i) [m — a), . . . , — ^ =A{x-a)'"-'-hB(x — br-'-i-...-i-L[x-l)'"-\ m dx ^ ' ^ ' > — ^ = A-fx-a)"-"-!- B(a: - è)'»-''^-. . .H- L(x - /)"•-". m^ dx* \ I \ I En posant, en effet, comme tout à l'heure, /(x) = x"-+-/7x"-'-f-«7x"-*-(-. . .-f-f, ai4 CALCUL DIFFÉRENTIEL. el employant ces ideniilés, savoir /«(arjj j'en déduirai la combinaison w„ t/o:" /»„_, dx"~^ 1.2 /w„_j ^/^-""^^ *" 1.1... n = Af{a){x-a)'"-''-i-Bf{b){x-b)'"-"-i-...-hLf{l){a:-l)'"-". Or on voit que A, B,..., L disparaîtront encore dans le second membre lorsqu'on prendra f{x) = {x — a) {x — b) . . .{x — l), de sorte qu'en multipliant par le facteur m^—m[m — i)...[m — « -+- 1), nous obtenons pour l'équation différentielle cherchée d"y m — « -f- 1 -, d"-^y f{^)^- dx" fV dx" {m — n-hi}(m — n-+-'i) j.„.^ d^y dx'"'' + (_,)» V ii___ i fw{x)y=^o; ou encore, si nous posons, pour plus de simplicité, m — « H- I = — ^, r, ^d'y u. r,, .d^-'y p(u — i) _„, .d^-^y + fi(fiZli)lllifiZ=A±il/(") ^a:)y = o. APPLICATIONS ANALYTIQUES. 2l5 Équations aux différences partielles. I. C'est à l'égard des fondions de plusieurs variables que se présente la question de la formation des équations aux diffé- rences partielles, c'est-à-dire des relations entre une fonc- tion z, les variables ^, /,..., et les dérivées partielles des di- vers ordres -r-1 -ri -1 — ' -, — !-»•••• Considérant d'abord dx dy dx^ dxdy deux variables seulement, le premier point de vue sous le- quel nous l'envisageons est celui qui s'offre dans l'étude des cônes, des cylindres, des surfaces de révolution, etc. C'est en effet la définition géométrique d'une famille de surfaces par un certain mode de génération qui conduit à définir analyti- quement une fonction z de :c et 7 par le système de deux équations j «P(^, J, 2, a, A, B,..., L) = o, 1 ^(J^.r, z, a, A, B,..., L) = o, OÙ entrent un paramètre variable a et un nombre quelconque n de fonctions arbitraires de a, représentées par A, 6, ..., L. Obtenir une équation aux différences partielles, à laquelle sa- tisfasse la fonction z, quels que soient a et ces n fonctions, sera donc la question analogue à celle qui nous a précédemment conduit à la formation d'une équation différentielle ordinaire d'ordre n. A cet effet, j'observe en premier lieu que les relations don- nées permettent de considérer x Qi y comme des fonctions de z dont les dérivées successives , dx _ d^x , dr „ d^Y s'obtiendront, soit directement si l'on peut avoir a: et/ ex- plicitement exprimés en z, goil par les règles relatives aux 2l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL. fonctions implicites. Dans ce dernier cas, nous aurons d'abord puis (3) dx ^ x"-\--^y"-h dx ''^^ "^ dy sr df dy dy dx' d'^ dx dz " d"+^'-")^7p^>" rPz dx'' - d^z ,j , , , d^z , ,. d^z ;J'^=o, dxdy' -^ dy^ les quantités x', x", x'" , y', y" , y"' devant être remplacées par leurs valeurs en fonctions de z, ou éliminées au moyen APPLICATIONS ANALYTIQUES. 21 7 des relations (2), (3), etc. En conlinuant les mêmes calculs jusqu'à la dérivée d'ordre n, on parviendra à un système de n équations où les dérivées partielles de l'ordre le plus élevé seront évidemment (P'Z ffz rP'z djc'^ fix"-'fiy""' 7^'' et, en y joignant les deux relations proposées, il sera possible d'effectuer l'élimination du paramètre a et des n fonctions arbitraires A, B,..., L; c'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux diffé- rences partielles d'ordre n. Dans le cas le plus simple de n = i, lorsqu'il n'existe qu'une seule fonction arbitraire, celte équa- tion aux différences partielles s'obtient immédiatement en ré- solvant par rapport à a et A les équations Ayant en effet ^(j:,7, z, a, A) = o. a = *(x,j, z), il ne restera plus trace du paramètre ni de la fonction arbi- traire dans les relations (2) qui deviennent ilx' ~dy dW dx dy^ dz et le résultat de l'élimination de x' et/' entre ces équations et l'équation (4) est immédiatement donné en égalant à zéro le déterminant A = dz' rf* dW dx dx dx dz r/* dW dy dy dy r/* flW — I dz dz 2l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL. II. Soit, pour premier exemple, les équations X = mz -+- a, / = «z -I- A, qui représentent la génératrice d'un cylindre, nous aurons A = dz_ clx dz dy — I I o o I - m — n dz dz dx dy l'équalion aux différences partielles des surfaces cylindriques est donc La ligne droite dz dz m-f -^ n-, I = o. dx dy x — x^=a.[z — z^], 7-j, = A(z-zJ, est la génératrice d'un cône; on trouve alors: A = dz dx I z-z. o dz o I dy Z-2« • X — x^ J-J. [z-z,f [z-z,Y I \d^ I \d^ I \ et, par conséquent, pour l'équation aux différences partielles des surfaces coniques, Les surfaces de révolution sont engendrées par la circonfé- rence [x — x,Y-^[y — y,Y-\-{z—z,) = a., ax -t by -+- cz = A, APPLICATIONS ANALYTIQUES. ce qui nous donnera dz 219 A = dz , et par conséqnenl l'équalion aux différences partielles = b[x-x^)-a{y-y,). Les conoïdes enfin ont pour génératrice la ligne droite X — mz — p — a [y — nz — q)= o, ax -{- by -h cz= A, qui se meut parallèlement au plan fixe ax -h by -\- cz =:o, et rencontre la droite X = mz-h p, y z= nz -h q. L'équation aux différences partielles se présente donc sous la forme (x - /nz -/?) 1^- (n^» -+- c) ^ -+- «« ^ -H «J -+- (r - « z - 7) ["«^ ^^ - ( "'« -^- ^) ,/j -+- *J = o. qui devient plus simplement dx lorsque le plan fixe est celui des xy, IH. La Géométrie donne encore d'autres exemples qui con- duisent à l'élimination de deux et de trois fonctions arbitraires. Soient, en premier lieu, les équations X — mz — p = k[z — a.), y — «z— <7 = B(z — a), représentant une droite qui rencontre dans toutes les positions 220 CALCDL DIFFÉRENTIEL. la droite fixe X = mz -^ Pi y =: nz -\- q. Nous trouverons d'abord r'=B + /?, ^"=0, j?'= A -+-/«, x"—o^ et, observant ensuite que [y — nz~ q) A. — {x — wz — /?)B = o, nous en conclurons (j' — «)A — (o^'— /w)B = o, ... A et, en éliminant 5-» jj {y — nz—q)x' — [x — mz—p)y'=m{y-q)—n[x — p), ou bien vx — uy' =^ (r, si l'on pose, pour abréger, ,» 11 = X — mz — /?, V=r.y—nz-q, IV z= ,n[y—q) — n[x — p). Ayant d'ailleurs dz , dz , -j-x'-\- -7- r = I, dx dy' ' il en résulte ces valeurs dz dz dz dz ^ dz dz -r-u-h-j-i> -^ M -f- -7- f V dx dy dx dy et l'équation (5) de la page 216 donne l'équation aux diffé- rences partielles dH dx"" d'z f dz \{ dz \ dHi dz y ''7ûTy["-^7ryVV-7Ô^V-^7ôr\'-diV = APPLICATIONS ANALYTIQUES. 221 Elle se simplifie si Ton suppose m = o, p = o, n=zo, q =o, de sorte que la droite fixe soit l'axe des z, et devient (Ijc* dxdy ^ dy'* ~ Les surfaces gauches à plan directeur ayant pour génératrice la droite (IX ■+■ bf-h cz = a, x = Az-f-B, parallèle à un plan fixe ax -h bf H- cz = o, conduisent au calcul suivant. Nous aurons d'abord ax'-h bjr'-i-c = o, x'= A, puis ^"=0, x"=o, de sorte que l'équation (5) devient -—x"-i- 2 j— 7- J^ r -I- -7-5 r= o. dx' dxdy -^ dy^-' Cela étant, les deux relations , , , dz , dz , ax + by'=-c, ^^x^^y=i donnent , dz az b-h c-yc a-h-r-c dr , dx^ ' y = :r, ^' , dz dz , dz dz dx dy dx dy et l'on en conclut, pour l'équation aux différences partielles, dH{, dz \ dPK^-^Ty') - -^(b —c\(a —c\ —la-\- — X=o dxdy\ dy )\ dx J «(t* \ ^^^ / Lorsque le plan directeur est le plan des yz, il faut suppo- d*z ser b = o, c = o, et l'on a simplement ^-^ = o ; résultat évi- 222 CALCUL DIFFÉRENTIEL. dent à priori, l'élimination de a donnant pour z un binôme du premier degré en j. Ce sont enfin les surfaces réglées dont la génératrice a pour équations j^=Az-i-B, j=az-»-C, qui serviront d'exemple d'élimination de trois fonctions arbi- traires. Or, ayant dans ce cas x'=k, x"=o, x"'^o, j'=a, ^"=0, j"'=o, les équations (5) et (6) de la page 216 donnent sur-le-champ dx'^ a? dxdy a dy'^ ~ ' d^^\ ^ d'z A' ^ dH A dH_ dx^ a.' dx^dy a? dxdy^ a dy^ ' de sorte qu'en faisant pour un instant d^ !± // li'z y dH d^z dy Y \dxdyj dx"^ dy^ dx dx' l'équation aux différences partielles du troisième ordre sera d^z 3 „ d^z , d^z d^z _ dx^ dx^dy dxdy^ dy^ IV. La considération des surfaces enveloppes, où s'offre un mode de génération entièrement différent des précédents, conduit en Analyse à définir une fonction z de ^ et / par deux équations contenant un paramètre variable a, et dont l'une est la dérivée de l'autre par rapport à ce paramètre (page 196). En désignant de nouveau par A, B,..., L, n fonc- tions arbitraires de a, ces conditions s'expriment ainsi : (i) /(^, J, z, a, A; B,..., L) = o, df{x,y, z, g, A, B,..., L)_^ et nous nous proposerons encore de former, entre la fonc- tion et les variables indépendantes, une équation aux diiîé- APPLICATIONS ANALYTIQUES. 223 rences partielles qui subsiste quelles que soient ces fonctions. A cet effet, je conçois que x el x soient déterminés par les équations (i) et {2) en fonction de z, de manière à avoir toujours les relations obtenues page 216: flz , riz , dz „ dz „ d^z ,j d^z , , d'z ,. dx dy' dx^ dxdy "^ dy^-' ' mais je procéderai différemment pour calculer les dérivées , dx , dy , /, x'z=-j-i j'=-^,..., en mettant a profit une circonstance importante qui s'offre lorsqu'on veut tirer de ces équa- tions les dérivées partielles j— et jy-" Différentiant pour cela la première par rapport à x, en supposant a fonction de x, y, z, il vient df^ df(lz_ (£(l^_ dx dz dx dx dx ' OU simplement, d'après l'équation {2), df 4fdz_ dx dz dx~ ' et l'on obtiendrait de môme df ^|^_ dy dz dy Or nous n'avons plus dans ces relations les dérivées des fonc- tions arbitraires par rapport au paramètre, et nous en tirerons les quantités cherchées x' , j',... exprimées au moyen seule- dz ment de A, B,..., L, en observant que -t-» par exemple, étant une fonction entièrement déterminée de x et/, que j'appel- lerai pour un moment Q{x, y), on aura rf9 r/9 , d^ , dz dx dy 2^4 GALCCL DirrtlK5TIEL. d'où l'on voit qu'on devra écrire et pareillement £-^ (Pz dxdy y. dH , djcdy dj*^ D'après cela, en représentant les dérivées partielles du premier et du second ordre par p, q, r, *, /, comme page 79, aOn d'a- bréger l'écriture, nous aurons, pour déterminer x' eij''» ces deux équations d\f dx' ^ / d'f ^, ^ \dxdz tlxdz d\f dxdy dy , / d'f ^ \dxdz »r dydz d'f dydz dH r-^^' |(rxV.r')=o, dydz X d'f\ df , , et il est clair qu'en continuant de différenlier par rapport à z, on formera de proche en proche les dérivées de x et y jus- qu'à un ordre quelconque « — i, avec celle circonstance que les dérivées partielles de z jusqu'à l'ordre n seront in- troduites dans leurs expressions. Il en résulte qu'en les sub- stituant dans les relations (4), (5), (6), etc. de la page 216, on sera conduit à un système de n équations entre ces déri- vées partielles et les quantités a, A, B,..., L. Nous pouvons donc, en y joignant celles-ci, f[x, y, z, a, A, B,..., L)=o, df df df df dz' dy dz q = o, effectuer l'élimination du paramètre et des n fonctions arbi- traires; c'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux différences partielles d'ordre n. Nous allons en faire l'appli- cation à deux exemples tirés de la Géométrie, après avoir re- APPLICATIONS ANALYTIQUES. 225 marqué que les équations ci-dessus, en x' et j', jointes à la relation (4) de la page 216, savoir px'-\-qjr'—l= O, donnent, par l'élimination de x' et f' , la condition A = o, A étant le déterminant du système suivant r/Y d^f df ^'' dx' • dxdzP'^ r/z'"' d\f d\f df dxdy dxdz * dz d^f d'f df '^' dxdf ' dydzP'^ dz'' d\f d\f df dy^ dydz ^ dz d^ f d\f '» dxilz ' r/s^^' d\f d\f dydz ' dz^"^ Mais, si l'on ajoute aux termes de la première et de la se- conde ligne horizontale ceux de la troisième, multipliés d'abord par/? et ensuite par q, on aura plus simplement en posant , d'f d'f d'f . df '^=dp-^^7û7rz^'-^dr^f'-^-dz''^ d\f _ d\f d\f d\f df '^'' = d^y^7fyTzP^i:^'J'^-d^l''J-^dz'^ d\f d\f d\f , df ^ ^^ip^^dyd-z'i^Th'i-^tz'' V. Nous considérerons en premier lieu les 5?///rtce5' 4- ( z — a) r, \M\>= prj -^(z-a)5, et le paramètre a s'élimine au moyen des relations X — k-^{z — (x.)p = o^ y—B-i-{z—a.)q — o, qui donnent, en substituant dans l'équation de la sphère, a sj l -\- p'^ -^ q^ On obtient ainsi l'équation aux différences partielles du second ordre a'(^' — rt)— «[(i-f- q'']r— 7.pqs -h [l-h p'')t'\\/i -h p'-+- (f -f-(l -i- p"^ -h q^Y = O. La relation générale dont nous venons de faire usage, à savoir ift> X© = o, peut encore se démontrer très-facilement comme il suit. Je reprends, à cet effet, les deux équations ^{x,y, z, a) = o, ^î/(x, jr, z, a)= 0, pour les différentier successivement par rapport à ^ et j, en supposant que le paramètre variable tiré de l'une d'elles en fonction de x, y, z, ait été substitué dans l'autre. Or on ob- tient ainsi dv^ d'^ d(f dx dx dz ' doL dx ~ ' dy dz ■' r/a dy d-h d-h J\L doL dx dz ' dot. dx d-h d-h d-h dx dy dz ^ dx dy et, en remarquant que le déterminant r/ip dx r/tp dx dx dx dx dy d-^ dx dy^ dx dx dx dx dy APPLICATIONS ANALYTIQUES. s'évanouit, nous en concluons la relation suivante 22- (j^ d^ dx~^ dzP' dra do dy-^iz'i dy dz Cela posé, prenons en particulier ^ df df on en tirera immédiatement d^'*' dz^~ dx''^^ dxdz P dy dif d(x,), et, par suite, f(x)(lx=^{x) — la quantité a étant réelle [x — af X — a ou imaginaire. Employant donc cette proposition, évidente d'elle-même, que l'intégrale d'une somme de fonctions est la somme des intégrales de chacune d'elles, on en conclut que l'intégrale d'une fraction rationnelle quelconque sera com- posée d'un nombre fini de termes, tels que / Xaf dx = « + i r Gdx G . TH^/jr „, , . 238 CALCUL INTÉGRAL. Devant bientôt revenir sur cette question pour l'approfondir davantage, je passe à une dernière observation relative aux intégrales définies considérées en général. IV. Introduisons dans la différentielle /(^) c^^ une nou- velle variable, en posant ^=:F(6); elle prendra la forme Cela posé, si, la quantité ûc croissant ou décroissant d'une manière continue de Xo à Xi, 6 varie toujours aussi dans le même sens, et qu'on ait nous en conclurons Cette nouvelle intégrale représente encore, en effet, l'aire delà courbe j=/(^), considérée comme limite de la somme des rectangles obtenus en prenant pour abscisses des points de division de la base du segment, les quantités :r(, = r{0o}, ^, = r{0o -^ dO), X2=F{Qa-h 2.d9),. . ., au lieu des abscisses équidislantes. Effectivement, il a été permis, sans altérer la limite de la somme, de remplacer dx, devenu variable, par F'{9)d9, qui n'en diffère que par un infiniment petit du se- cond ordre, et d'ailleurs on sait que tous les modes de décom- position donnent la même limite. On voit combien il est nécessaire de supposer la fonction F(0) essentiellement réelle, car ce que nous venons de dire n'aurait plus aucun sens dans l'hypothèse d'une substitution Imaginaire. C'est seulement dans le cours de seconde année que de telles substitutions seront considérées, en traitant une seconde partie du Calcul intégral qui a pour fondement la no- tion, donnée par Cauchy, d'une intégrale prise entre des li- mites imaginaires. En ce moment, il nous suffit de remar- PREMIERS PRINCIPES. 289 quer qu'élanl donnée sous forme finie explicite une fonction ^{0), telle qu'on ait identiquement /[F(0)]F'{0) = i^'{ô), F{9) étant réelle ou imaginaire, il viendra, si l'on pose 7[F(0)]=c'?(O) et qu'on égale les dérivées par rapport à 0, ?'[F{0)]F'{0)=/[F(ô)]F'(0); d'où ?'[F(O)]=/[F(0)L et, par conséquent, Ainsi l'intégrale indéfinie (f{x) sera elle-même obtenue sous forme explicite en substituant, dans rf(0), l'expression de 6 donnée par la résolution de l'équation x = F(0). Nous n'étendrons pas davantage ces remarques, et, en ré- servant pour le cours de seconde année l'élude des cas où la fonction est discontinue en devenant infinie, nous, arrivons immédiatement à l'importante question des procédés et mé- thodes d'intégration. Ces procédés, qui sont en petit nombre, bien que conduisant à des combinaisons analytiques multi- pliées, reposent sur des considérations extrêmement simples. Ainsi, l'un des plus importants consiste dans l'emploi d'un changement de variable, dont l'effet est de ramener l'intégrale proposée à une autre qu'on sait obtenir. Ayant donc une mé- thode d'intégration pour les fonctions rationnelles, nous nous trouvons conduits à énumérer et définir les expressions irra- tionnelles ou transcendantes, dont l'intégrale peut se réduire par une substitution à celle d'une fonction qui est rationnelle par rapport à la nouvelle variable. C'est l'objet des considéra- tions suivantes. 24o CALCUL INTÉGRAI, INTÉGRATION FAR SUBSTITUTION. Notions sur les courbes unicursales. I. Considéranl en premier lieu les fonctions algébriques, je rappellerai d'abord qu'on a trouvé dans l'introduction, p. i5, qu'en faisant dans l'expression où la variable et le radical entrent rationnellement, la substi- tution suivante b-aO' le radical disparaît. On a effectivement A n n (^-«)Q \/{x-a){a:-b)^ ^ _ ^. > de sorte que l'intégrale devenant, par ce changement de variable, r n — a^' {b — a)0\i{b — a)Od^ pourra être obtenue explicitement en 9. Nous en conclurons, si on la représente parr^(0), d'après la remarque faite p. 289, qu'on a identiquement, la relation entre les deux variables étant ou non sous forme réelle, Jf[^, \/[j:- a)(.i--b)]rlx= ^(^^^j. Soit encore l'expression où je suppose les exposants a, b,. . ., l commensurables, et la fonction rationnelle par rapport aux monômes x', x'',. . ., x'. Les irrationnalilés disparaîtront en faisant ar= 0", si l'on prend PREMIERS PRINCIPES. 24' pour m le plus peiil multiple des dénominateurs de «, h,..., /, et l'intégrale Jf{x\a.\...,.7^),lx est encore immédiatement réduite par ce changement de va- riable à celle d'une fonction rationnelle, à savoir if^rr"^ (r\ . . . , O"") wO"*-' r/O, Ceci s'applique en particulier à l'intégrale fqu'on peut ramener à la forme semblable, mais où les expo- sants m et n sont entiers, savoir /""■'" b.r"y(/.r. Elle s'obtiendra donc lorsque/? est un nombre entier positif- ou négatif; mais, s'il n'en est pas ainsi, soit a -f- b.if' = z, d'où ^(V^)"' '^^'=jl{W^Ï '^=' et, par suite. J r>b " J \z-a) « ■'dz. Cette transformée pourra donc être déterminée si l'exposant de 2 — a est entier. Ce cas n est pas le seul ; on a iden- liquemenl, en effet, a:"'[a -h bjf)" = ,xf"^"f [n x-" -f- bf, et, en appliquant la condition qui vient d'être trouvée à l'inté- grale t .r"""i'[ax-"^ by dr, {^'Partie. I<^> a42 CALCUL INTÉGBàL. , „ , . . m -h np -\-i nous voyons qu on pourra 1 obtenir si ^ est en- tier (*). Dans ces exemples, c'est la forme même des expressions placées sous le signe d'intégration qui a conduit aux substi- tutions employées, mais il est aisé de reconnaître que la con- sidération directe des irrationnelles algébriques ne se prête que difficilement à la recherche que nous avons en vue. Ainsi, ce n'est pas en opérant sur l'expression suivante jr= y^x^ -+. ^x^ -+- :r* -f- V J^ — /jr^H- J:^', qu'on trouve la substitution 30 pour la réduire à la forme rationnelle 2 — 6* La considération de l'équation qui sert de définition aux fonctions algébriques, en général, et dont le premier membre est un polynôme entier par rapport à la variable et à la fonction, ouvre, comme on va le voir, une voie plus facile et plus féconde. II. Soit l'équation Aj" -f-Bx/"^' -+-... -hKx^'j-i- Lof = «j"*"' -H ô.r/^-^H- . . . -+- hx'^-'^y -4- kar^\ où A, B,. . ., L, a, b,. . ., k sont des constantes, et qu'on ne C) On doit à M. Tchebycheflf d'avoir démontré que les conditions ainsi ob- tenues, comme suffisantes, sont nécessaires pour que l'intégrale / x^{a -i-bx'y dx soit exprimable sons forme finie explicite par les fonctions algébriques et lo- garithmiques, en supposant m etn entiers. PREMIERS PRI>CIPES. 1i^3 peut, en général, résoudre par rapport à j; rien, néanmoins, n'est plus facile que d'en tirer a? et j en fonction rationnelle d'une variable auxiliaire, car, en faisant jr= dx, nous en con- cluons immédiatement _fl9"-'-t-^>0"'-'-H...-i-X- ^~ AÔ"-HB5"-'^...-t-L ' et, par suite, _ aO'"-H6&"-'-n...-i-/9 ^- Aô"'-+-B()'"-'-^...^L* Si nous supposons, en particulier, j^— ajr'-H 3x)- = o, nous avons, en résolvant cette équation du troisième degré, l'exemple de l'irrationnelle qui vient d'être indiqué. Soit, en second lieu, (A/" -4- Bxj"-' -H ... -H Kx^-'j -+- Lx^Y = (j*-+- «xj-i- vx*){aj"-'-hbxy"'-'-i-...-+- haf-^f; la même substitution j= tx donnera d'abord _ „j -t- i/t -t- . . . -t- /» X = iJr-¥- fit -hv --— — , «f"'-'-f-6/"*-'-r...-H/l/ et, en supposant /'-l-^^-Hv = {/— a)(f — S), il suffira, pour obtenir une transformation entièrement ra- tionnelle, de prendre 6 — a9» Ainsi, dans cet exemple particulier nous aurons d'abord i6. 244 CALCUL INTÉGRAL. puis, en faisant _ I -(- 0* ' ~ I — ô' nous parviendrons à ces expressions ^ = >,i v/~ ' î J = — Tî 'J — l ; ou, si l'on remplace 0 par 0 v'"'» _ 03^9 _ - 9^ -+- 9 Or, il serait beaucoup plus difficile d'y parvenir en partant de l'expression compliquée de y en x. Ces quelques résultats mettent sur la voie d'une recherche plus générale; élant don- née l'équation F(^, /)=o, dont le premier membre est un polynôme entier en x et j, nous nous proposerons de recon- naître s'il est possible d'exprimer or et j en fonction ration- nelle d'une variable auxiliaire. Ce sera ainsi résoudre, à l'é- gard des fonctions algébriques, la question que nous avons en vue, car ayant •^ = (e) I j(^ — . fi — _ _ — j j i ,, r (Q-9o)(Q-y.)^^(&) Au point de vue géométrique, et en considérant la courbe représentée par les équations ces deux déterminations distinctes de Q, qui reproduisent les mêmes valeurs des coordonnées, nous donnent la notion des points doubles, puisque, évidemment, en faisant varier cette quantité de 0o à Q\, nous obtenons une portion de la courbe qui se coupe elle-même. Au point de vue analytique, les équations (i) nous condui- sent, pour notre but, à une conclusion importante. Elles mon- trent qu'en faisant 0 = 0» + f, on aura, en développant suivant les puissances croissantes de t, des expressions de cette forme X — a = mt ■+- ni'Û -h />i"t^ H- , . . , r — b — nt -i- n'Û -h /i"t^ -h. . . , et en posant e = g; -t- u, nous obtiendrons de même x — n = pu -i- p' lû -+- p"iâ + . . . , y — b = qu ■+- q' u? -+- q"iâ -h . . . . Soit donc F (^, j) = o l'équation rationnelle et entière du de- gré n qui résulte de l'élimination de 0. Celte équation devien- dra identique en y remplaçant x et /par leurs valeurs en fonc- PREMIERS PRINCIPES. 247 lion de 6, ou par les développements en série, ordonnés suivant les puissances de / et de u. Or, la formule de Tajior donnant les équations identiques eri < et u seront _., ,. f d¥ d¥\^ [ //F ,r/F , ,rf'F \ . / ,d? ,dV , ,d'F \ , -^[Pd;;-^'Jdb-^'^^iù?^--r-^'-" Elles conduisent à ces conditions ^, ,, r/F d¥ dV d¥ et l'on tire des deux dernières f/F - dY puisqu'en général le déterminant mq — np est différent de zéro. L'origine analytique de notre relation Y{x, /)= o a donc pour conséquence nécessaire que les égalités F(^,j) = o, --.o, -^,^0 sont compatibles, et admettent pour solutions toutes les quan- tités x=:a, y=^h. Ces conditions, auxquelles nous nous trouvons ainsi amené, donnent lieu aux remarques suivantes. cl y d^y IV. Les dérivées -/ 5 -j-^^ de la fonction définie par l'équa- tion F(;r,/)==o s'obtiennent, en général, par les relations rfF d¥dr_ dx dy Ux ' '111. ^^'F tjy^ (P¥^ fjy^ dF (£r _ €tx^ dxdy dx dr^ dx'' dr dx* 248 CALCUL INTÉGRAL. Mais si l'on suppose a:= a el, par suite, j= b, la première devient identique, et -7-^ disparaît de la seconde, qui donne alors pour -^ deux valeurs en général distinctes. En revenant à la considération géométrique du lieu de l'équation F(x,j)=o, on voit ainsi qu'il existe, aux points tels que x = a, j = />, deux tangentes, et par conséquent deux branches de courbe, ce qui leur assigne le caractère que nous leur avons déjà re- connu de points doubles (*). Nous remarquerons surtout celte conséquence, bien digne d'attention au point de vue de l'Algèbre, que, si une autre équation cf (x, j)= o est aussi vé- rifiée \)Our x= a, x= b, on obtient, à l'égard du système une solution double, puisque ces valeurs annulent le déier- , dF di dY d^ ^, minant fonctionnel —r—, -, î- • t, est d ailleurs ce que dx df df dx ^ la Géométrie montre immédiatement. Considérant, en effet, Fig. 26. deux courbes {Jig. 26), l'une ayant un point double en M, et les deux bran- ches MA, MB, l'autre étant quelconque et coupant la première en A et B; on reconnaît bien, en la déplaçant de ma- nière que ces deux points d'intersec- tion se réunissent en M, qu'alors deux solutions distinctes des deux équations viennent à coïncider. ( ) Si 1 équation en -7-; a ses racines égales, ce qui suppose ■^^ \dxdj) ~ dx^ dy-" ' les deux Lranches ont la même tangente, et le point double devient un point de rebroussement; ce cas se présente à l'égard des courbes unicursales lorsque les quantités 6^ et b\ coïncident. PREMIERS PRINCIPES. 249 Kl si cette seconde courbe a elle-même un point double en N [fig. 27) et, par suite, deux bran- ches coupantla première en quatre points A, B, C, D, ces quatre in- tersections, en la déplaçant de manière à faire coïncider M et N, viendront se réunir en une seule. 11 en résulte qu'en éliminant l'une des inconnues, y par exemple, entre les équations des deux ( ourbes F(x,j) = o, ^(.r,j)=o, l'équation finale en x renfermera, dans le premier cas, le fac- teur X — a élevé au carré, et, dans le second cas, le même Cacieur élevé à la quatrième puissance. V. Je reviens aux courbes unicursales, représentées, comme nous l'avons dit, par les relations Fig 57. y x/*^ v\ ' -^.^m/ \ l^ / TY \ 0 \ V yô" X=^{0) = a, a"-' 7„ aO"-+- a,Ô"-' I iilin d'établir cette proposition fondamentale pour notre objet, <)u'elles ont 4(n — i) (/i — 2) points doubles. A cet effet, j'observe que tout système de solutions 6 = 60, 0'=&, des équations en donne un second en permutant 6 et 6' , à savoir : 6—- 6',, 0'= 6„; mais qu'aux deux ne correspond qu'un point double, ayant pour coordonnées Je prendrai, en conséquence, pour inconnues auxiliaires les <|uantiiés 0-|- 0' = — / et 06'= u, que j'introduirai facilement dans les équations proposées, en prenant les fonctions ration- nelles 910) et ^{0) décomposées en fractions simples, sous 25o CALCUL lafo rme ?(ô) Ë a ^ô A B ^(9) __ 7 -+- - OÂ, -j- > e-l y, ^fj — a' Après avoir supprimé le facteur Q' — 9, el observant que [B — a)[B' — a) = a^-i- at -i- II., elles deviennent, en effet, ■V A v^ X = o, .^d a -f- «/ + u A^ à^ -H at -r <^ de sorte que, sous forme entière, elles sont du degré n— i, et, par suite, admettront un nombre de solutions égal à [n — ïf. Mais, en chassant les dénominateurs, on obtient, pour les premiers membres, des combinaisons linéaires des pro- duits n — I à n — I des quantités a^-\- at -^ u., b^-i~ be -i- u,. . ., P-i- It -h u; par conséquent, elles sont satisfaites en annulant à la fois deux quelconques d'entre elles, ce qui donne \n{n — i) solutions telles que t = —{a + b), uz=ab, t=—{a-h-c), u = ac,..., auxquelles correspondent les valeurs Q := a, 9=b,..., qui rendent ^ et j infinis. Or, en supprimant ces solutions, il reste, pour le nombre des valeurs des inconnues, el par con- séquent pour le nombre même des points doubles, la diffé- rence (« — i)=— !«(« — i)= L[n — i){n — 7.), comme nous nous étions proposé de l'établir. VI. La proposition réciproque établie par M. Clebsch {Jour- nal de Crelle, t. 64, p. 44) conduit à la solution complète de la question de calcul intégral que nous nous sommes proposée. M. Chasles a donné ensuite pour le même objet le théorème smyanl {Comptes rendus des séances de r J cadémie des Sciences, l. LXII, p. 584): « Si une courbe C,, d'ordre n a j{n — i)(/i — 2) points dou- bles, on peut déterminer ses points individuellement au moyen PREMIERS PRINCIPES. 25 1 d' un faisceau de courbes d'ordre n — i, qui ont n — 2 points doubles communs avec pareil nombre de points doubles de C„, et ^{n — 2)(«— 3) points simples coïncidant avec les autres points doubles de C„, et qui passent toutes par un autre point fixe de C„. » L'illustre géomètre l'établit comme il suit : a En effet, un faisceau de courbes d'ordre n — \ est déter- 1/ x/ » n'H-n— 4..V A mine par y(n — i)(/ï + 2)— 1= ^points, base du faisceau. Or les n — 1 points doubles équivalent à 3(n — 2) points simples, qui, avec les {{n — 2)(« — 3)+ i points par lesquels passent les courbes d'ordre n — i donnent {[n-\)[n-\-7.)-i. Ainsi le faisceau est déterminé. » Ces courbes, d'ordre n — i, coupent C„enn(n —i) points, dont 4(« — 2) se trouvent aux n — 2 premiers points doubles, (n — 2) (n — 3) aux autres points doubles, et un au point fixe pris sur C„ ce qui fait ^{n — 1) -[-[n — i)[n — 3)-+-i= n[n— 1) — i. Donc les courbes n'ont qu'un point d'intersection variable; ce qui démontre le théorème (*). » Ajoutons seulement ceci, au point de vue du calcul. VII. Etant proposée la relation, de degré n, F(;r, y) = o, on commencera par déterminer tous les systèmes de valeurs de X tiy qui donnent à la fois puis, en les supposant au nombre de y(/i — i)(n— 2), on les C^) M. Chasles emploie encore un faisceau d'ordre n — 2 Jans une seconde proposition, dont voici l'énoncé : Les courbes du faisceau auraient pour base i points doubles coïncidant avec des points doubles de C„, {{n — \){n — a) — S points simples coïncidant avec les autres points doubles de C,,, et n — 3 — a J autres points simples pris sur C„. M. Clebsch avait donné la môme proposition dans le cas particulier de o ^^ 0. 252 CALCUL INTÉGRAL. partagera en deux groupes : l'un qui en comprend n — 2, x = a, j-=b, x^n', j=b',..., el l'autre { ( « — 2 ) ( w — 3 ), ^ = s, r-= f', ■^ = g', y=h\.... Cela fait, nous posons, entre les coefficients d'une équation générale S{x, 7) = o de degré n — \, les trois conditions ^, . di di ^^Kr) = o, — = 0, ^ = 0, pour les n — 9. valeurs x = a, y = b, x=o', yz=b',..., puis l'équation unique ^{x, j) = o, d'une part, pour ^^g, y = h, x = g', j = //,..., et, en dernier lieu, pour le système ^ = ^o,j=jo, remplis- sant la condition F(^o, J'o)=o, et qui conlient, par suite, une quantité arbitraire. Les coefficients de l'équation du faisceau étant déterminés par ces diverses équations du premier degré en fonction linéaire d'une variable Q, j'obtiendrai les quan- tités x= cp(0), j= (^(0) en calculant, d'une part, la somme des valeurs de x, et, de l'autre, la somme des valeurs de j, qui satisfont à la fois aux deux équations La première, en ayant égard à l'ordre de multiplicité des so- lutions x=:a, X = a',..., eix = g, x=: g',..., sera et la seconde Y-h 4{b -h- b'-i-. . .]-t-2{h -i- h' -h. ..)-+- Ju! or je dis qu'elles sont représentées par des fractions ration- nelles de même dénominateur, dont les termes sont des po- lynômes de degré n en 6. Considérons d'abord l'équation finale en x, qui est, en dé- I PREMIERS PRINCIPES. 253 signant par j„/j,...,jjes racines de l'équation F(:ir, ;'-) = o, ^{•^,7.)x^(ar,7,)x...x^(x, j„)=o. Voici succinctement la méthode employée par M. Liouvilledans son beau Mémoire sur l'élimination {Journal de Mathéma- tiques, année i84i, p. 345). Elle consiste à développer les di- vers fadeurs ^(^,7,), J'(j;, j,),... suivant les puissances des- cendantes de^, en limitant chaque développement à ses deux termes les plus élevés qui seront seuls nécessaires. J'emploie à cet effet les développements des racines j,, yi,..., x„ bornés à leur partie entière, que donne la théorie des asymptotes. Si l'on fait (f{x), 9, (a:),... étant des polynômes de degrés n, n — i,..., et qu'on désigne par a, p,..., X les racines de l'équation ç)(a:)=;o, on aura ainsi Or, en posant, comme tout à l'heure, #,x,v)=x--,i(i) + x-.;,(-r)^.,., un calcul facile donne ) nous en conclurons, en multipliant membre à membre, divi- sant par vj^(a) 4'((3)---^(X)> et posant, pour abréger, rfi-r. r, ) -f ( .r, v.^^ . . . '^ ( .r. r„ ) = X"'-"— A-"'-"-' [0 (7.) -+- 0(p)-4_. . .H- 0(>)]-H. . . . 254 CALCUL INTÉGRAL. Ce résultat obtenu, nous en déduirons ce qui concerne l'é- quation finale en j, en observant que, si l'on fait, pour un instant, il suffira d'y remplacer à la fois 9(^), 9i(^), '■\'{^), 4''('^) P^'' $(^), <î>,(^), ^F(^), Wi{x), et les racines a, (3,..., X par celles de l'équation $(^)^ o qui sont leurs inverses, car on a évi- demment *(^)=-^"?(_^)' *.(^)=-^"-'?,(^)>, Cela étant, le calcul le plus facile donne, pour l'équation cherchée, /"'-"-/"'—'[(^ -0 7 + ^0(^) + P0(P) + - •• + >©(>)]+. .. = 0, où £ et e, désignent les coefficients de x" et x"-' dans les po- lynômes 9(^) et cp,(:r). En employant, pour abréger, le signe'V^ nous aurons donc ces relations qui déterminent ^ et j en fonction de 9, savoir : j-h i{b-h b'-i-.. .)+ i{h-+- h'-h.. .)-f-j„ = (« — ij^-f-V a0(a). Les quantités a qui y figurent sont indépendantes de 9, et la fonction Q{x)=^ ^ '^ \/ , ,T \ contient cette va- c^'(x)^ix) riable au premier degré dans ^'f-^) et ^i{x), de sorte que les seconds membres se réduiront à deux fractions de même dénominateur, et dont les numérateurs, ainsi que ce dénomi- nateur commun, seront des polynômes du n'*'"* degré en 9 ; il en sera de même, par conséquent, pour x et j. Tels sont PREMIERS PRINCIPES. 255 les résultais analytiques auxquels conduit le théorème de M. Clebsch pour remplacer, toutes les fois qu'il est possible, l'équation F(x,j)=o par le système x = f f f u' u x^'clx = — hx-" ctx II - 1 ùv] bv Nous pourrions encore citer, en désignant toujours par « et b des constantes, cette intégrale /i adx tana;x [rt + {ux -t- b) lang.r]'' a -\- [ax -+- b) tangx dont on ne peut vérifier la valeur que par la différeniialion. Ce n'est pas toutefois aux seules fonctions algébriques et transcendantes précédemment considérées que se limite le calcul intégral, et bientôt nous allons voir le champ s'agrandir, en même temps que nous approfondirons les méthodes de calcul dont nous avons donné seulement une première es- quisse. A cet égard, nous commencerons par le cas le plus simple, celui des fonctions rationnelles, que nous traiterons avec quelque étendue, en y rattachant plusieurs notions im- portantes d'Analyse. PREMIERS PRINCIPES. a6l INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. Soient F(a:) et ¥>{x) deux polynômes entiers; en posant, pour mettre en évidence l'ordre de multiplicité des divers fscteurs F (.r) = (.r - «)«+' (.r - ^')?+' . . . (^ - if^', et admettant pour simplifier que le degré du numérateur soit moindre que le degré de ¥{x), la décomposition en fractions simples donne la formule générale F.(-^)_ A . A. , . A, . F(x) ~x — « (X — rt)» •■■ (X -«)«+' B B, B^ L ou, pour abréger l'écriture (*), F(x) ~^ X- a À^ (X - a)' ' ^ {X - «/" ' On en déduit immédiatement cette expression de l'intégrale de toute fonction rationnelle / F^x) ^ "^ ' ^x — a n ^L (X — «)" OÙ l'on voit figurer une partie transcendante et une partie al- gébrique qui donnent lieu aux remarques suivantes. I. Nous observerons d'abord qu'en supposant réels les po- lynômes F (a:) et F,(x), les racines du dénominateur peuvent être imaginaires, de sorte qu'il est nécessaire de mettre le résultat obtenu sous une forme explicitement réelle. Or on (*) On supposera que n soit le plus grand des nombres «, /3,..., ^, et qu'on attribue des valeurs nulles à ceux des numérateurs A„, B„,..., L,, dont les in- dices surpa88«raient respectivement a, /3,..., i. 262 CALCUL INTÉGRAL. sait que les racines imaginaires seront conjuguées deux à deux ; de plus, qu'elles seront de même ordre de multiplicité, et qu'en les désignant par a et b les numérateurs des fractions simples correspondantes B. [x — a] [x — bf seront respectivement exprimés de la même manière en fonc- tion rationnelle de a et b. Ce seront donc aussi des quantités imaginaires conjuguées, et les termes qui en résultent dans la partie algébrique de l'intégrale, à savoir i [x-bf i (X — a , donnent, par les réductions ordinaires, une somme réelle. Mais, dans la partie transcendante, il sera nécessaire, pour ef- fectuer celte réduction, d'employer l'expression des loga- rithmes des quantités imaginaires log(.r — a — Pv^^) = ilog[(a; — a)^-i- p']-4- arc tang - "7 °^v/~^; et, en faisant a = a -^ P v/I~r, A == P + Q v^^, on trouvera facilement Alog(.r— <7)-f-Blog(^ — b)= Plog[(^ — a)^ + ^=]—2Q arc tang' Ce résultat peut également s'obtenir par l'intégration directe de la somme des fractions imaginaires conjuguées P-t-Qy/^ P-Qy/— I _aP(^ — g)— 2QP ; — a — p\J—i X — a-i-[By/— I Ecrivant, en effet, PREMIERS PRINCIPES. a63 on a d'abord faisant ensuite x — ix = (32, il viendra I ; ^-Tï — ^î = / -: = arctangz, et, par suite, h bfLv , jr — a î— r^ — T-; = arc tang —7— > de sorte que nous aurons, comme précédemment, —Ç^zr^r:^^ '^ "" ^ ^^^ 1^ ^•'' - ^ )' + ^'] - 2 Q arc tang — ^— • II. La formule |L!£l..=2Alog(x-„,-2,-^„-...-i2^. montre que le second membre sera simplement algébrique, lorsque les constantes A, B,..., L seront toutes nulles. Ces conditions, qui sont suffisantes, sont évidemment nécessaires; car, si l'on égale pour un instant à une fraction rationnelle la quantité 1k log{^ — a) = / \ dx, et qu'on prenne la dérivée de cette fonction rationnelle après l'avoir décom- posée en fractions simples, on fera ainsi disparaître toutes les fractions partielles dont les dénominateurs sont du premier degré. On ne pourra donc reproduire l'expression \ -, la décomposition en fractions simples n'étant possible que d'une seule manière. Remarquons aussi que la partie algébrique de rintégrale est de la forme , .,. ' ^"^ , , j^-, i{x) étant un po- lynôme entier qu'on peut facilement obtenir, comme on va voir, à l'aide des développements en série suivant les puis- sances décroissantes de la variable, de l'intégrale et de la partie 264 CALCUL INTÉGRAL. iranscendanle. On forme le premier en supposant qu'on ait, parla division algébrique, F(.r) X x' x' ■"' de là, nous tirons, en effet, en intégrant les deux membres, /- dx = M losx - F(x) *= X -ix^ Quant au second, il suffit d'employer la série élémentaire a a X — a X x- X" pour en conclure ■v^ A 2A 2A<7 2A<7' Jmâ X — a X x' X puis, en intégrant, lk\og{x-a)= 2Alog.r ^i;^""" Nous obtenons ainsi la relation ^ ' = (2A— w)log,rH [x — nY[x — b)^...{x-l Wj — 3 Art où le terme logarithmique, dans le second membre, doit né- cessairement disparaître, un tel lerme ne pouvant provenir du développement d'une fonction rationnelle suivant les puis- sances descendantes de la variable. Nous avons donc la condi- tion 2A = w, dont il est souvent fait usage, surtout dans le cas où le degré de F,(.r) étant inférieur de deux unités à celui de F(^), on a 03^0 r). F (x) (*) Les quantités A, B,..., L étant les résidus de la fonction -i- — - corres- pondant aux diverses racines du dénominateur, la somme 2- A a reçu de Cau- chy la dénomination de résidu intégral de cette fonction. PREMIERS PRINCIPES. 265 Soil mainlenanl, pour abréger, — ;^— = "-' le polynôme ^{x), que nous nous proposons de déterminer, sera donné par celle expression ^(x) = (u:-^)«(^-^')^..(.r-/)^(5 + 5 + 5-^...)' où il est nécessaire que les lermes en nombre infini conlenant x en dénominateur se détruisent, de sorte qu'il suffira d'en extraire la partie entière. Soit, à cet effet, {.r— aV{x — b)K..(x— lf= x'" -¥ p^x'"-' -\- p^x'"-''-^ . . .-\- p,„; on trouve sur-le-champ ,f (.r)= TT, (.r'«-' +/.. x'»+'+ ... + p„.,) + TT, ( j:"-» + /?, x'"-^ -r- . . . -f- p„,_;) -h . . . + 7r„,_, (x H- /^, ) -+ 7r„, , et nous voyons qu'on pourra s'arrêter dans les développements' de l'intégrale cl de la partie transcendante aux termes en — ^• Mais nous allons reprendre, par une méthode plus appro- fondie, celte recherche importante de la partie algébrique de /F ix) ^.' dx. Nous nous proposons, en effet, de la déterminer de manière à obtenir la somme effectuée des fractions simples données par la formule générale, de sorte que la connaissance des racines de l'équation F(^)=o ne sera plus nécessaire que pour former la partie transcendante \ AIog{x — a). III. Dans ce but, on commencera par mettre le dénomina- teur au moyen de la théorie des racines égales, sous la forme F(.r)=N''+'P'"-'Q'+'...S'+', N, P, Q, S élant des polynômes tels, que l'équalion NrQ...S = o 206 CALCUL INTÉGRAL. n'ait que des racines simples. Nous remplaçons ensuite la dé- composition en fractions simples par celle-ci i+i où 3^, $, ^,..., S sont des fonctions entières qu'on obtient par la méthode suivante. Je me fonderai sur le procédé algébrique que je vais rap- peler, et par lequel, étant donnés deux polynômes premiers entre eux U et V, on peut en déterminer deux autres A et B, tels qu'on ait AV+BU = i, et, par conséquent, A B__i_ Effectuons sur U et V la recherche du plus grand commun di- viseur de manière à obtenir ces relations, où Q, Q,, Q2,... sont les quotients, et R, R,, R2, ... les restes successifs, savoir U= VO -t-R, V=RQ. +R,, Ces valeurs qu'on en lire, savoir R =u-VQ, R,-V(i + QO.)-UQ., montrent qu'un reste de rang quelconque s'exprime au moyen des polynômes U et V par une combinaison de la forme AV + BU, où A et B sont des fonctions entières. Or le dernier de ces restes est, dans l'hypothèse admise, une simple constante, ce qui démontre et donne le moyen de former la relation an- noncée. Cela posé, soit PREMIERS PRINCIPES. 267 nous pouvons écrire I I A B -f- puis, en mulliplianl par F,(;r), el faisant Sf^ = AFi{x), F.(^) _ .X. BF.(.r) F{^) N"+' P''^'Q'+'...S'+' Maintenant il est clair qu'en opérant sur la fraction BF.(.r) pp+l Qr,„_,-NK„_„ puis, en second lieu, X. = B ^-N'K -V'o, dL.^=B 3(^, -N'K, —V',, 3î;„-b%„_.-n'k„_,-v:_.. Je vais maintenant prouver qu'en faisant V = V„ + NV, + N'Y, -4- ... + N"-' V„_, , on a identiquement d'où de sorte que rr; est la partie algébrique de l'intégrale, et / ^dx la partie transcendante. Éliminons, à cet effet, A et B entre les trois égalités («-OV~Ac)t;,,.-nk,., X,^, = BX,-N'K-V;, I = BN - N'A, ce qui donne Nous mettrons cette relation sous la forme suivante PREMIERS PRINCIPES. 269 el, supposant ensuite 1=0, i , ?.,..., n — i, nous en conclu- rons, en ajoutant membre à membre, N-+' N ~ f/x VN" N"-' "^ • • • "^ N y ce qui fait bien voir qu'on satisfait à la condition proposée N"^' "N'^r/xVNV par les expressions U=X„, V = V,-H NV, ^ N, V -H . . . H- N"-' V,_„ comme il s'agissait de le démontrer. J'ai dit que les polynômes K, K,, K„_, étaient arbitraires; on pourra donc en disposer de manière que les degrés de V„ V,, .., V„_, soient moindres que le degré de N; on pourra aussi les supposer tous nuls, ce qui donne, par exemple, «(« - i)V, ^ 3Î,A{«B - A') - X'AS Ces deux suppositions se concilient dans le cas de l'intégrale 7~l — vi+i ' Q^^ j<î choisis comme application de la méthode. Nous aurons alors N = x'— I, N'= IX, A = --, B=-i, a puis successivement .T • 1 //— 1 V, .r H , in -x , .,j (2/1 — l)(2// — 3) X [n — 2)V, — — i — î-i -, in[in — 2) 2 in -KW - , [-i-n -- \){in - 3)(2// - .')) X 270 X.--- CALCUL INTÉGRAL. 'xn — I in •* 'xn['in — 2) X,= - [in — \){'i.n — 3) {"in — 5) in [in — i)[in — 4) d'où ces valeurs, qu'on retrouvera bienlôt par une autre voie, " ^ ' in[in—'x)...^.i V = V„ -+- NV. + N'Y, -f- . . . -f- N"-' V„_, ^ f" I in — ïx^—i [in — i){in — "i) [x"^ — i)* in n — 1 in[in — 1) n — 1 ^(_,)„(a/^- 0(^/^-3).. .3 1 ^ ' in[in — 2). . .4 J ^ r I i^n De l'intégrale r dx I. Des notions importantes d'Analyse se rattachent à celle expression, qui va nous servir d'exemple pour l'application des méthodes générales d'intégration des fonctions ration- nelles. J'observe d'abord qu'on aura pour la partie transcen- dante et la partie algébrique ces expressions Aiog(a:-«) + Blog(^-4-«), J—TZT^' et que, dans la série - -t- 4 -h -| + . . . , t. X X^ X^ les coefficients w, m,,..., w,„ s'évanouissent. En écrivant, en effet, la formule de binôme donne I [n-\-\)à* (x^^ -«')"+' x' PREMIERS PRINCIPES. 27 I d'où clx I («-t-lW h La première conséquence à tirer de là, c'est qu'ayant A -+- B = G, la partie transcendante est simplement Alog^ et la seconde, c'est que le produit du développement en série de l'intégrale par le facteur {x^— a')", ne contenant aucune puissance positive de la variable, le polynôme i{x) se réduit à la partie entière de l'expression — A log {x^— a')". Maintenant A est donné par le coefficient de - dans le dé- veloppement suivant les puissances croissantes de cette quan- tité, de la Or ayant tité, de la fraction — > lorsque l'on y a fait x = a-h z. nous sommes amené à chercher le coefficient de 2" dans le développement de ( 2a 4- 3)~"~'. Partant, à cet effet, de la for- mule du binôme Nm ™ 'n ,„ i m { m — i) . . .{ m — n -i- i) _^ a -H 3)"* = a" H x'"-' z -H ... H ^ '■ ^ '- z" -i- . . . , ^ 1 1.1. . ./i il suffira de supposer, dans le terme général, a — ia, m ~ — n — i , pour obtenir la valeur . _ (— 1)" {n -f- \)(n ■+■ 1). . .in [la)"'*' 1.1... n ' ... , . (/l-t-l)(/l-f-2)...2« ou je remarquerai que le facteur numérique est aussi le coefficient du terme moyen dans le développe- ment de la puissance 2/1 de binôme. On peut donc, d'après la remarque faite (p. 63), lui substituer la quantité 2^a„ en po- 2'J2 sant ce qui donnera CALCCL INTÉGRAL. _ 1 . 3 . 5 . . . 2 /? — I " 2.4.6. ..2« Ceci posé, il ne nous reste plus qu'à déterminer la partie rationnelle de l'intégrale, en formant le polynôme ^{x) au moyen des termes entiers en x du produit X- — a Mais le calcul et le résultat sont plus simples, en employant, à la place de la série a T «•' i fr celle-ci, 2 ^\x — nj ta 2 n^ 2.4 «' 2.4-6 «' "1 qu'on démontre facilement en prenant les dérivées des deux membres, et employant cette identité : d V -r 1 I — 9 /? '>na^ "dx Ux'-" 1-3. 5.. .(2//— l) art*'+' a.4.6...2/i et renversant l'ordre des termes, j. xf I aw — !*''—«' (a/i — i)(2/î — 3) (.r*— rt')' 1 ^ a|_«a' a//«' « — i 2/i(a/j — a)fl* « — a ""J' c'est précisément le résultat trouvé précédemment, dans le cas de a = i. r dx II. L'intégrale i 7~r_ 2 yi-^. peut encore s'obtenir au moyen d'un changement de variables en posant X — a X -h a '' Cette substitution donne en effet I H- r , indy X ~ a —■) dx = } d'où, par conséquent, J [x'-a'y-'~{ia)'"-'J et l'intégration relative à la nouvelle variable s'effectue aisé- ment comme il suit. Soit en désignant, pour abréger, les coeffi- cients numériques par N,, N„ N3, . . . , nous écrirons, en rapprochant les termes équidistants des extrêmes et isolant le terme du milieu y", (j - 1)'" - ( J*' + 1) -H N, ( j"-' +/) -T- N, ( j"'-».4- j') -f- . . . + N„ J", de sorte qu'il viendra ^^■(r-'-^)^N,(,.-^^) ,..(,.-.._i,).....N. !'• Parti: l8 2n4 CALCUL INTÉGRAL et, par suite, nj-irr/r^i/ r \ N. / I \ j yn-i nY r) n-iY 7"-' y ^ -^^(r"-'-3^)+---+N„iogj. ^ fi Cette formule doit coïncider, en y remplaçant j par s avec celle que donne la première méthode, et, en effet, la par- tie logarithmique est la même, car le coefficient moyen N„ de la puissance (j — i)^" a précisément pour valeur [n -t-i)(w-f- a)., .-yrt ^ ' 1.1. . .n Quant à l'égalité des parties rationnelles, elle conduit, en posant X = a \J — isinf, d'où y — cosf -t-y/— isincp, à l'identité suivante : sin«cp „ sin(/z — il» sin(« — 29) , ' ~+- W , 1— JN- p . • • n ' n — 1 n — 2 = — i)"-' '-^ coti» / . ,, 1 . ,, 2.4 • c. i./i...{in — 1] . ,„ , \ mais, sans m'y arrêter, voici un troisième procédé entièrement différent des précédents, et qui servira de transition pour arri- ver aux méthodes propres essentiellement à l'intégration des fonctions algébriques. Soit u = {x''— a^Y, l'exposant m étant quelconque, on aura, en différentiant deux fois de suite, — -j-^=x[x — a) , im dx PnEMIERS PRINCIPES. 2^5 Or on peut écrire J_ ^' = (x»-«M'"-'-^(2m--2)(.r»-«»-t-«»)(x'-rt*)"'-» lin djc' = [im - i)(.r»- «')"•-'-+- fl'( 2 /« — 2) (jc^- «')'"-', de sorte qu'il vient, en multipliant les deux membres par dx et intégrant, %m dx — [im — 0 / (•^'— a'')'"-' dx -h n^{im — 1) j {x^— d]""--dx. Faisons maintenant m = I — «, et l'on obtiendra [X^'- ou bien — = — (2« — I) / — jj — — 2/îfl' / 7--; j- et, par conséquent, pour n == i , 2, 3, . . . , ^ Ç dx Ç d.r T ^" J [x''-à'y'^~ J [x'-d') ~ x'-a^^ A » C '^^ — — ^ C^-^ -^ fi » r et d'une fonction rationnelle X' — à' de a;; un calcul facile donne en effet pour résultat 18. en posant CALCUL INTÉGRAL. f{^)~^\^^2_^^. 3(.r^-,,^]^ a . 4 -««* ■ 3~5 (^^-^7^^ El, si l'on veut le démontrer, on observera qu'en chan- geant n en n — i , il vient (l.r ^'"-i\ [x^ .„_, i.3...(a«-3)r r dx . . n de sorte qu'en substituant dans la relation générale , /' dx , . f dx X ''"" J [x^--a'r^'--^^"~'^J{x^=^--{x^7?y'' nous obtenons la condition qui est satisfaite d'elle-même. La fonction /„(^) donne ainsi pour la partie rationnelle de l'intégrale proposée l'expression i)" 1 .3.5. . .(2« — I) 2. 4- 6... a// (x'^ — a')" X [(.r'- -■^a-[x 2j 3.5 rt'(x'_«')"-3_.. T qui, d'après l'expression du coefficient A, coïncide bien avec celle quia été obtenue précédemment sous la forme ^^ — - — y [x'^ — a')" et quant à la partie transceridante, l'identité art x'- — à^ donne sur-le-champ h dx a X -h a I , X — a -- log x' — a 2(7 X -i- a III. La détermination du polynôme ^{x), dans l'équation / dx (x'-a'')" X — a = A log + ^(^) X -r- a [x — a l'REMiERS pnI^ClPES. 277 a été obtenue par celle remarque irès-simple qu'en récrivant ainsi : le développement suivant les puissances descendantes de la /dx ■ — ; ,"- est de la au . ... forme — h ■'-i -f- • • , sans contenir aucune partie entière en x. X x^ Or il résulte encore de cette remarque une conséquence im- portante que voici. Faisons, pour plus de simplicité, a = », et prenons les dérivées d'ordre n des deux membres dans la relation X — ♦— I A l'égard du produit (x' — i)''log"— — ? il faudra, en posant U=:{X'-I)", V^lOg-— , ' X — 1 appliquer la formule v- rf'UV _ '^ y n d'-'Vi rTV n{n-i) r/"-''U d^W daf ~ dx^ i Ib^ Ihô'^ 1.2 dx''-' dx' "' ' ^n yx^ — I )" X -^ \ dont le premier terme — -r—^^ log — - sera seul à dé- pendre du logarithme, les autres étant tous rationnels et même entiers. On a effectivement !.. I X -f- I d' log ^— _- (-.r-i....>-.)[^^, -—_;--], et comme — ' ^_^ contient en facteur {x"^ — i)", le pro- duit est entier en x. Réunissant ces termes au polynôme d'^^[x) —7—;^—» en les faisant passer dans le premier membre, que je 278 CALCUL INTÉGRAL. désignerai alors par F„(.r), nous parviendrons à cette relation ^ ^ L.r"+' H-I.2...7?l— iri -rr-, — ^,.., -f- ^ (^ + i)(3 , -| î à laquelle je m'arrêterai un moment. Elle montre qu'en mul- lipliant par le polynôme du n'''"' degré — —rr, — '^ série infinie , .r -\-i / 1 I I lOg - - = 2 - + —-;+-—+ . le produit manque des puissances -5 ~i'~''"'~' et il en d"( x^ ■ 1 )" resuite qu'en divisant F„(.r) par — -^~„ — -^ le quotient, or- donné par rapport aux puissances décroissantes de la variable, coïncide avec cette série, aux termes près de l'ordre - — • ^■'""'"' Cet exemple de l'approximation d'une transcendante par une fonction rationnelle, qui est intéressant en lui-même, rece- vra plus tard une application importante. Il met en évidence une propriété entièrement caractéristique des expressions j-;^ -auxquelles on donne le nom de polynômes de Le- gendre, et qu'on désigne par X„ en posant _ i_ d"{x^ — \Y " i.^.<6. . .in dx" Ces fonctions, introduites en Analyse par l'illustre géomètre à l'occasion de ses recherches sur l'attraction des sphéroïdes et la figure des planètes, sont d'une grande importance, et donnent lieu à plusieurs théorèmes remarquables, dont l'un nous servira de nouvelle application du procédé de l'intégra- tion par parties, fondé sur la formule ;* PREMIERS PRINCIPES. 279 OU Soil, en effet, V = (^'— 1)"+', en supposant que U soit un polynôme arbitraire de degré n, l'intégrale du second membre disparaîtra, et nous obtiendrons d'abord ^ J'observe ensuite que, les dérivées successives de [x- — 1)"+' jusqu'à celle d'ordre n, contenant en facteur ^^ — i, 0 s'éva- nouit pour x = j et a; = — I , et il en résulte que l'intégrale définie .r/"+' (.r'— 1)"+' (ljf-> cIjc, différence des valeurs de 0 pour a; = i et a; = — i est nulle. Le théorème exprimé par l'équation /_: UX_r/x=o appartient exclusivement aux polynômes de Legendre; car, en désignant un moment par F [x] une autre fonction entière de degré « + i, telle que l'on ait aussi f \JF(x)flx = o, on en conclurait, quelle que soit la constante k, X-t-i /'-t-i \JF{x)dx — A- UX„^,rfx=o J^\[¥{x)-kX„,,]dx=^o. OU bien Or, en prenant /r, de manière que F(:r) — A-X„+, s'abaisse au n''"" degré, et posant alors U--.F(x)-X-X,,„ aSo CALCUL INTÉGRAL. nous trouverons la condition suivante : L U' cLv ^ o. Elle exige évidemment que U s'évanouisse identiquement; car, autrement, l'intégrale ne serait jamais nulle, tous les éléments étant positifs, et il en résulte F(x) = /5-X„^.. Des intégrales définies / ==7 / r. c'x„ a: — a--b\/—i J -i i-2J:cosa + x^ ./■ Hx kx' -r- I^X -t- C I. En employant précédemment, p. 287, l'égalité d\o%{x — n — b\/--\) t dx ~ a — b\/- qui a été déduite de la définition même des logarithmes des quantités imaginaires, p. 36, à savoir log(^ — a~~b\/—i) = -log[(.r — a)'-f b^'\ -\- (arctang — -r 1- imv:\\J —i, nous avons introduit dans l'intégration des fonctions ra- tionnelles une expression susceptible d'une infinité de dé- terminations distinctes, bien qu'ayant une seule et unique dé- rivée. Il en résulte qu'en passant des intégrales indéfinies aux intégrales définies, et écrivant Jx. dx b>J-l = log(x,— rt— b\^~i)— \o%[x^—a — b\/-i) , X,— a — b\J~i x^— a — b \/ — i il reste encore à préciser celle des diverses valeurs du loga- PREMIERS PRINCIPES. sSl rilhme dont il faut faire usage dans le second membre. La même queslion s'offre encore dans d'autres circonslances; ainsi, en posant h d.T i= arctanga:, puis C'x dx / -, = arc tangx, — arc tangr,, il sera nécessaire, pour lever toute ambiguïté, de donner un seul et unique sens aux quantités arctang^, et arctangar,. Or on y parvient, dans ce cas, par cette remarque très-sim- ple, mais importante, que l'intégrale I 55 prise à partir de zéro, représente le plus petit arc, compris entre et H — » parmi tous ceux en nombre infini qui ont x pour tan- gente. En effet, cet arc, d'après sa définition trigonométrique, croît d'une manière continue, de h -\ — > lorsque la tan- gente augmente de — oo à -h 00 . D'autre part, l'intégrale X"^ dx V ^"^ '^'^" P^^^ différer que par une constante, est aussi, par son origine géométrique, une fonction continue dans toute l'étendue des valeurs réelles de la variable (*); l'égalité annoncée résulte donc, quel que soit x, de ce qu'elle a lieu pour la valeur particulière :r = o. Convenant désormais de désigner exclusivement parla notation arctang^le plus petit arc dont la tangente est x, nous poserons ainsi £ d.r __ arctanga,-, 1 -t- JT" et il suffira d'observer qu'on peut faire, en général, / f{x]dx=. f{x)dx-\ f{x]dx, ♦^ X, • t/ O t/ O (') On a établi, dans les préliminaires du Calcul intégral, qu'il en serait ainsi lors même que la fonction placée sous le signe d'intégration changerait brusquement de valeur, pourvu qu'elle reste toujours finie. 282 CALCUL INTÉGRAL. pour en conclure, avec un sens unique et entièrement déter- miné, comme nous nous sommes proposé de l'obtenir, l'éga- lité "i dx arc tangor, — arc tang j:^. C'est ce résultat qui va nous donner la détermination précise de l'intégrale r-^i dx J x„ x — a — b\J—\ et par conséquent celle de l'intégrale définie d'une fonction rationnelle quelconque. Soit, à cet effet, en reprenant l'égalité dont nous avons déjà fait usage, ' Ç dx _ r {x — a)dx , r bdx . J a;~a-bs/-^i~J î^^"«)'+^''^^~'j [x-a)'-+-b'' on aura, à l'égard de la partie réelle, r^i [x~a]dx ^ I ^^^ y_^ ^,-| _ £ log [(.^r _ aY-i-b'-] I , (x, — aV-^ b^ = — loe -^ — — — ^ • Or les limites Xo, x^ étant supposées essentiellement réelles, nous devons évidemment rejeter toute détermination imagi- naire du logarithme, qui sera pris par conséquent dans son acception arithmétique. Quant à la seconde intégrale, la sub- stitution X — a^bz donnant r^' ^^^^ - r '^ L [X — ay -^b'~ J^„-a 1 X, - a dz 7", 2' elle se trouve complètement déterminée, ainsi qu'on vient de le voir; nous avons donc x: bdx ^ X, — a . X. — a i u , Li = ^^^ tsng -^. — - — arc tang -^. — , [x — «)■'■+- b^ b b d'où, par suite. PREMIERS PRINCIPES. (x,-ay-\-b- 283 J,,^ .r_«_6v/-i a *'(.r,-fl)^-H6' I arc tang -!-t arc tang -^ -)v'^. le logarithme et les deux arc tang étant définis comme il a été dit précédemment. II. Soit proposé, comme application de celle formule, d'ob- tenir la valeur de l'intégrale /_: (Ix X — cosa — y' — isina Le terme réel, à savoir 1 , (l — COSa)'-<- sin*a 2 ° (i H- COSx )•'-+- Sin^'a se réduit immédiatement à -logtang'-. et ne donne lieu à aucune remarque. Quant au coefficient de \ — I, nous partirons de ces égalités x^ — a I — cos a b sina x, — n — I— cosa Sina tang - 1 ~ tang en distinguant les deux cas suivants. Soit d'abord a-^^inr: -\- ot.\n étant un nombre entier, et a! compris entre zéro et t:; on aura immédiatement X. — a a' arc tang -^ — = - : o 2 mais, pour le second terme, il faudra retrancher tt de l'arc f de manière a comprendre le reste entre et H — » 2 '^ a a 284 ce qui donnera CALCUL INTÉGRAL. arc tang -^y- x^— n a. — TT el, par conséquent, arc tang — -. arc tang - — -, — — ■r^ — a TT 1 Soit, en secondlieu, a = saitt — a! ,a.' étant toujours compris entre zéro et ?:; nous trouverons alors arc tane; œ, — a Tz d'où arc tang -^ — = arc tang -^, arc tang -^^ — ~ Ce résultat donne lieu aux remarques suivantes. m. Le coefficient de >J—i dans l'intégrale proposée J — 1 a: — cosa étant r'r^ \/— 1 sina sin a dr 20; cosa -t- a; il en résulte que, si l'on suppose a compris entre zéro et tt, celle intégrale a la valeur constante -^ mais, en faisant croître ce de 71 à 2 7:, elle devient dans ce second intervalle égale à TT ) puis reprend sa valeur primitive entre les limites stt et Stt, — Soit donc f. . /'~^' sin a r/.r J_, 1 — 2a;C0Sa -i- x^' f{x) est une fonction discontinue, périodique, égale a -\ — 7T OU à î suivant que la variable est renfermée entre 2/17: et 2 (2/1 -f- 1)7:, ou entre (2« — 1)71 et 2/171, n étant un nombre en- PREMIERS PRINCIPES. 285 lier. L'expression d'une telle fonction, que nous rencontrons ainsi sous forme d'intégrale définie, nous fournit le premier exemple d'un fait d'une grande importance, et qui montre comment l'opération nouvelle d'intégration dépasse les li- mites des opérations de l'Algèbre, en donnant naissance à des combinaisons analytiques que celles-ci ne pourraient obtenir. Afin de compléter ce qui concerne/(a), et pour avoir occa- sion d'indiquer quelques considérations d'un usage continuel, je vais donner son expression en série sous la forme I y, , . sin3a sin5x sin7a -/(a)= s.na + -^ -f- -^- + -^ +.... Je partirai à cet effet du développement suivanlles puissances croissantes de la variable de la fraction P= > X — cosa — V — isina en employant, afin d'avoir une série limitée, la relation ti — X H a' a^ (t «"(« — x) Si nous posons _ a -— cosa -^}J — isina, on obtiendra facilement, en égalant dans les deux membres les coefficients de V — '» sinat . _. ^i. :_->.. . , -«-le,-. - = sina -t- xsinaa -+-x*sin3a -f-. . .-t- x" 'sm«a 1 — axcosa -t- x^ j:"|"sin{« -I- i)3c — .rsin«a] i — ix cosa -H X* Multiplions maintenant par rf;c, et intégrons entre les li mites — I et H- i; en écrivant, pour abréger, Z' ^-' x" [sin (/i -f- 1) x — j: sin«a] Wlr " ^/_., 1 — 2J:C0Sa -H X-" et remarquant qu'on a / x"-'r/x = — > ï86 CALCUL INTÉGRAL. lorsque l'exposant m est pair, tandis que l'intégrale s'évanouit si m est impair, nous en conclurons /"^ ' SI n a (7.r 5 := 2 sint R... Il reste maintenant à prouver que R„ devient nul pour n infini. Dans ce but, je remarque qu'on a généralement /+ J /^ O /• I f{x)dx= j f{x)dx-h f{x)dx, et qu'en faisant x =^ — x', il vient jy{x)dx=^-jy{-x')dx\ ou, après avoir renversé les limites et écrit x au lieu de x' , j f[x)dx^^j f[—x)dx, ce qui donne jyy[x)dx = j\f[x]-^f[- x)-\dx. Appliquons cette formule à l'intégrale R„, en nous bornant, pour abréger, ce qui suffiL d'ailleurs, au seul cas de n pair. On fera alors .r"fsinf/? -f- lia — .r sinwai f{^) = 1 — a^cosa -^ x'- et, en employant l'identité (l — aarcosa -{- x'^)[l -+■ 2XC0Sa + ar^)= i— 2^^C0S2a -+- x* , il viendra, après une réduction facile, -.,.-, , Qt.r" sin (/?-+- i) a 2.r"+^sin(« — i)« / (•^H-/(— ^]— " i 'i 2 4* ^^ ' '' ^ ' I— aar^'cûsax + ^ i — 'i.x'cosix -h x' Cela posé, si l'on augmente tous les éléments des deux in- PREMIERS PRINCIPES. 287 légrales /_ 1 — îx'cosaa -+- X* ' Jo i — .r"+V.r 2X'C0S2a en remplaçant le dénominateur I— ajr'cosaa -+- x*='(x*— C0S2«)'-+- 8in*aa par son minimum sin'aa, nous pourrons poser (* ' afdr _ ^ r^ x^dT _ Q ^'o 1 — ax'cosaa -+- X* ~ J,, sin'aa ~ (/i-f- 1) sin'aa r ' ■r"+V/.r _ ô' r ' -y"^'^-^ _ 9' jo I — 2x'cos2a-t- X* ~ Jo sin'2« ~ («-H3)sin'2a' les facteurs 6 et 0' étant moindres que l'unité. Or il en résulte cette expression 1 _0sin(/n-i)a 9'sin(« — \)x 2 "~ («-+- i)sm'2a (« -^ 3)sin"2a' qui s'annule en effet pour n infiniment grand. La série ainsi obtenue TT sin3a sinSa i .. ±: - = sina H i j h ... -H - R_ 4 3 5 2 " donne, dans l'hypothèse de a = -> la célèbre formule de Leibnitz, que j'indique aussi comme un nouvel exemple des suites semi-convergentes deDirichlet, dont il a été question dans le Calcul différentiel, à propos de la série de Maclaurin. Le nombre n ayant ete suppose pair, on a, pour a= -> si l'on observe que le trinôme i — a^'cosaa + x* devient alors (i-+-x*)' et a l'unité pour minimum. La formule rigou- 288 CALCUL INTÉGRAL. reuse est donc TT III et c'est par conséquent en prenant un égal nombre de termes positifs et de termes négatifs que la limite de la série de Leib- nitz est -r- 4 IV. Comme dernier exemple, nous nous proposerons l'in- tégrale / — -^- — - — — -, et, en supposant d'abord les ^/ QQ AX — j— 2 xi Jf -f- Kj coefficients A, B, G réels, nous l'obtiendrons comme il suit. Observant qu'on peut écrire /_ dx /'+«^ Adx =./ Aa:'^'iBx-^C J_^ [Au: -^B)' -i- AC - B' et qu'il est nécessaire de supposer AC — B^ positif, pour que la fonction placée sous le signe d'intégration soit toujours finie, je ferai A^-f-B = z^AC—B\ Cela étant, aux limites — oo et + co de a;, correspondront, pour z, — co et + 00 , si A est positif, en prenant le radical en valeur absolue. Nous aurons, par conséquent, /♦-^^ dr i^ /•-+-°° dz __ 7Z J_oo Ax-^ -J-Bx ^ C ~ ^AC - B' J-«, i-r-z'^ ^AC - B^ Mais, si le coefficient A est négatif, les limites par rapport à z seront + co et — co , de sorte qu'il viendra dans ce cas /'-*-=° dx T /^-°° ^g _ ^ J_oo A^'^ iBx ^ G ~ ^AC - B^ J+oo i^^~~v/AC-B^' Ce procédé n'est pas applicable lorsque A, B, C sont des quantités imaginaires quelconques; soit alors Aa:'-+- iBx -h C = A{x ~ a){x — b), PREMIERS PRINCIPES. 289 nous ferons, en suivant la méthode générale, _ i ( ^ L_\ Aj:''-r-aBjr-+-G X{a—b)\x—a x~b)^ ce qui conduit à chercher les valeurs de chacune des in- tégrales / et / r- Or une observation J_^ x-a J_^ x-b importante se présente ici ; en faisant a — a -}- (3 v — ' , et em- ployant la relation générale on voit qu'à cause des limites — oo et -+- oo la partie réelle se présentera sous la forme indéterminée de la différence de deux infinis. Ce point s'éclaircira en partant de l'équation sui- vante -+- f arctang ^^-^ - arc tang ~^~ ^\ \/—i, où nous ferons croître indéfiniment e et yî. On reconnaît alors que le terme logarithmique tend vers la limite - log — -, et, quant au coefficient de \J—i, il sera évidemment -^ t: ou — TT, suivant que (3 sera positif ou négatif. En désignant donc un instant par ((3) une quantité égale à l'unité en valeur ab- solue et du signe de [3, nous pourrons écrire X dx ' I "' irj\ I Cela posé, on aura de même, si l'on fait 6 = a' 4- (3' y —7, J—sx — a — pY — I 2 s et l'on voit qu'en retranchant membre à membre, les termes réels dépendant du rapport arbitraire - se détruisent; d'où l" Partie. ig ago CALCUL intégral. celte valeur entièrement déterminée £7 (:i^":r-b)* = ''['P'-iP'']^-'- Ce résultat offre un nouvel exemple de l'expression, par une intégrale définie, d'une fonction discontinue qui ne saurait évidemment s'obtenir au moyen des opérations de l'Algèbre. Si l'on fait, en effet, /(p, ?') - r^ p— V7= — ^^"Vt^i <'— 30 |_.r — a — pv/ — I or — ^ — P V~'J flx , on aura /{P,P')-o quand les variables seront de mêmes signes, et quand elles seront de signes contraires. Plaçons-nous dans ce dernier cas, pour achever la détermination de l'intégrale proposée, et supposons qu'on ail désigné par a celle des deux racines où le coeflicient de \/ — i est positif. Nous aurons alors £ dx 1Tt\/~l iry- Aa:'-+- iBx-i-C A(a — b) ^B' — AG et l'on voit que le signe du radical y/B' — AC devra être choisi de telle manière que, dans le rapport - — — -(« — b), le coefficient de y/— i ait le signe 4-. Celte règle s'accorde bien, comme on le reconnaît sur-le-champ, avec le résultat obtenu dans le cas où les coefficients A, B, C ont été supposés réels. Intégration des fonctions algébriques qui dépendent de la racine carrée d'un polynôme. Nous savons qu'en désignant par F(^) un polynôme entier, 'expression la plus générale d'une fonction rationnelle du PREMIERS PRINCIPES. 29 1 n radical jYTxÏ et de la variable est de la forme G h — ? * ' \F{x) G et H représenlanl des fonctions rationnelles. Par consé- quent, l'intégrale de cette espèce de fonctions algébriques dépend essentiellement de la quantité /; Hr/r et notre objet est maintenant de donner le moyen d'obtenir celte intégrale dans les cas où elle est exprimable algébrique- ment, sinon de reconnaître qu'elle est impossible sous cette forme. ■a I. En partant de la remarque faite que . . se décompose \/¥{x) . , X" I en termes de ces deux espèces : •> ; jOu V^F{^j {x — aYslF{x) les exposants sont entiers et positifs, j'établirai d'abord qu'on a' P étant un polynôme entier dont le degré est de deux unités inférieur à celui de F{x), et Q également un polynôme en- tier. Posons à cet effet F(ar)= Ax*-^ x\,x*-' H- . . . H- A», et considérons l'identité suivante r/ ï T' K/FJT)^ „ , ,-- „ V'{x) .r»-'r2//F(x)-4-xF'f.r)1 = nx"-' VFIx) -(- x" — ,-^ — — 7===~ ^'• <^ ^^/F(x) is/¥(x) Comme on a 2/ïF(x)-H xF'{x) = {2n-+- A-)Xx*H-{in -f- /■ — i)A,j:*-' -+-. . .-^(2« -f- 1) Aj_, X -f- a«Aj, •9- 292 CALCUL INTÉGRAL. il en résulte, en intégrant, la relation générale aj:"v/i"'(x'j = (2/2 -+- X-) A / — -t-fo./? h- /- — i)A, / ' dx ] dx J VH^) J v^{^ dont voici les conséquences. Soit en premier lieu /z = o, on remarquera que l'intégrale /x~^ dx r x''~^ dx , disparaît, ce qui permet de réduire / , à la sJYix) ' ^ «^ J ^Y{x) forme annoncée. Faisant ensuite ?i = i, on obtiendra à l'aide /OC dx i et il est clair qu'en continuant de proche en proche les mêmes opéra- lions on parviendra à l'équation r x"d.r ^ rvdx ^ Q /pT-T J v/fV)"~Jv/F>)^ où les polynômes entiers P et Q sont respectivement du degré ïf — 2 et n — k + 1. Je pars maintenant de l'identité obtenue en difFérentiant j/F(^)^ savoir [x — af d r \/V[x) 1 _ [x - n)Y'[x)— 'î.nY{x) '^dx\_{x — aY\~' [x — a)"*' y/Vîx) et j'observe qu'en faisant un moment <^[x) = {x — a]Y'[x)-i.n?[x), nous aurons, pour une dérivée d'ordre quelconque cp'^x), cette expression d'où ^'(«) = (/-2//)F'(«), PREMIERS PRINCIPES. 2g3 ce qui permettra d'écrire ?(J^) = ?{«)-+- —7—? («) H p— -^(fl)-^...-^'^^^ '^y*(fl) 1.2.../-^ ' ^ ' En remplaçant le polynôme (Sf{x) par ce développement, l'intégration donne donc la relation générale que voici : {x — ay J [x — af^' ^Y [x] -t-(l — 2«) 1 ^ , 2 -2/? r F''(^)rfa "^ 1.2 J (X -«)."- VF (X) -*- Or on en lire, pour n = i, l'intégrale k dx [x— ay\/V\x) exprimée par un terme algébrique, et celles-ci r cix r Vrh j{x-«)v/FVj' J s/VÏ^ où le polynôme P est de degré k — ?.. Faisant ensuite n — 2, et employant le résultat précédent, nous ramènerons à la même forme rix h [x-aY^?{x) et il est visible' qu'en continuant ainsi de proche en proche, on parviendra à l'équation générale r dx _ r xdx r Pdr Oy/FTi?) J {x-a)"^' y/FV) ~J (x -a) /!>)" "^ J y/PV) "" i-*^ " ")" ' 2g4 CALCUL INTÉGRAL. A étant une constante, P un polynôme entier de degré h — 2, et Q un polynôme entier de degré n — i. Une exception re- marquable s'offre toutefois si l'on suppose F(a)=:o, et les mêmes raisonnements, appliqués à la relation [x — aY J {Jc — a)"\/F •i^-^n r ¥"{n)d 1-2 J (.r — «)"-'v/FTjf [a:) n] dx / — 2// r F''{a)dx J (.r — rt)"-*^VîT^ montrent que l'intégrale J {x-a)"^'FY^ se réduit alors à r vdx J v/fV) y/F[x] et à un terme algébrique. Ces résultais établis, voici mainte- nant les conséquences à en tirer pour la question que nous avons en vue. II. Une substitution simple, donnée p. i5, permet de rame- ner les quantités de la forme /(^, v'X), où X est un polynôme de degré pair, à une expression semblable, mais dans laquelle le degré du polynôme placé sous le radical est diminué d'une unité, et par suite impair. Nous admettrons qu'on ait effectué cette substitution dans l'intégrale proposée, de sorte que le nombre k, resté quelconque jusqu'ici, sera dorénavant sup- posé impair. Cela posé, l'intégrale d'une fonction rationnelle de la variable et du radical V^F(^), mise en premier lieu sous la forme puis réduite à sa partie essentielle Edx v/F>j' /; PREMIERS PRINCIPES. îqS a été représentée par une combinaison linéaire des éléments dx /x'dx r rîx m^] Enfin ces éléments ont été ramenés eux-mêmes aux sui- vants : r dx Cj^^-^ Çx^-^dx r dx de sorte qu'on a cette expression générale, savoir dans laquelle P est un polynôme de degré h — 2, f{x) une fonction rationnelle, et le signe 2 comprend un nombre fini de termes relatifs à diverses valeurs des constantes A et a, ces dernières se trouvant toutes parmi les racines de l'équa- tion u — o. Or on voit que | — — == sera la quantité alge- brique f(x) ^F{x) lorsque les termes . r kdx et / - {x — a) v/F(x) disparaîtront tous de l'équation; et cette condition, qui est suffisante, est de plus nécessaire, comme M. Liouville l'a démontré le premier (*). La détermination sous forme algé- brique de l'intégrale proposée, ou la démonstration de l'im- possibilité de l'obtenir sous une telle forme, dépend donc uniquement du calcul de réduction à ces éléments simples, à savoir rx"dx (•) Voyez trois Mémoires de M. Liouville sur celle question dans le XXIU* et le XXIV* Cahier du Journal de l'École Polytechnique, et dans le Journal de Mathématiques de M. Liouville, un travail de M. Tchebychef, intitulé : Sur l'intégration des différentielles irrationnelles, t. XVIII, p. 87. 296 CALCUL INTÉGRAL. l'exposant n ayant pour limite supérieure h— 1, et r dx J [x-a)^/VÎ^) On ïïomxùQ fonctions de première espèce les intégrales ' k~ 3 X * (Ix /' (Ix r xdx e\. fondions de seconde espèce celles-ci : X '* dx I X ' dx /^x'^'^dx v/F(T) ' J v/t>] ' " " ' J v/ïT^) ' /f — I qui sont en même nombre que les précédentes. Les dé- veloppements suivant les puissances descendantes de la va- riable des fonctions de première espèce ont pour premier terme une puissance négative, et ceux des fonctions de se- conde espèce commencent par une puissance positive. Les constantes représentant les racines de l'équation F(x)^= o ont reçu la dénomination de modules; enfin l'intégrale dx II «)V/F(.r) a été nommée fonction de troisième espèce, et la constante a le paramètre. Aucune combinaison linéaire des fonctions de première et de seconde espèce ne peut s'exprimer explicite- ment par des quantités algébriques, logarithmiques ou expo- nentielles, en nombre fini. Au contraire, à l'égard des fonc- tions de troisième espèce, il existe de telles combinaisons dont la valeur est le logarithme d'une fonction rationnelle de x et \/F{a:). L'élude de ces intégrales, sur lesquelles nous ve- nonsde donnerquelques notions succinctes, a une importance considérable dans la science de notre époque. Dans le cas où F{^) est du troisième ou du quatrième degré, Euler et Le- gendre y ont trouvé l'origine de la théorie des transcendantes elliptiques, qui constitue maintenant une des parties essen- tielles de l'Analyse générale. Lorsque le degré surpasse cette PREMIERS PRINCIPES. 297 limite, on entre dans le champ bien plus vaste de la théorie des fonctions abéliennes, dont Abel et Jacobi sont les fonda- teurs, et qui a produit les grandes et belles découvertes de Gôpel, de MM. Rosenhain et Weierstrass, et surtout de Rie- mann, qu'une mort prématurée, comme celle d'Abel et d'Ei- sonslein, a malheureusemenil enlevé à la science dans tout l'éclat de son talent. C'est dans le Calcul intégral que se trouve donc l'origine de tant de notions analytiques nouvelles et fé- condes acquises de nos jours, et l'on y est amené par celte voie si naturelle, et cette idée si simple, d'étudier après les intégrales des fonctions rationnelles celles qui dépendent de la racine carrée d'un polynôme. Le cas où un binôme du se- cond degré seulement figure sous le radical sert de liaison à ces deux catégories d'expressions, puisqu'il suffit d'un chan- gement de variable pour faire disparaître l'irralionnalité. Mais cette réduction demande à être exposée en détail, en raison des nombreuses applications qu'elle reçoit; c'est l'objet des considérations qui vont suivre. De 1 intégrale / _ • J v/Ax'-t-aBx -t- C 1. Je dis que, F(x) étant un polynôme entier du degré m, on a, en général, r F(.r)r/x r zrlv ^, . ,-— ; -, J V^AxVaBx-t-C J v/Ax^-^2Bx-i-C e désigne, dans celte relation, une constante, et$(^) un po- lynôme du degré m— i. Effectivement, la distinction entre les fonctions de première et de seconde espèce disparaît dans le cas actuel, car la formule de réduction, à savoir Ax"*'rZr , r Bx'V/x ^ i^n-^l) /7T-7 — û J v'Aor'-t- 2B. -f- « / - x-hC Bx'VAr^ XH-C y/Ax'-i- 'JlBx -hC 298 CALCUL INTÉGRAL. donnera, de proche en proche, en y faisant 71 = 0, i , 2, . . . , la C x" dx valeur de l'intégrale | , exprimée par celle- / rrr et utt icmie algébrioue cp(^) v/A^'+2B^+C, sJkx'+i^x + C b 4 Yv ;v où ^{x) est un polynôme de degré w— i. Delà se conclut im- médiatement la relation annoncée, où le facteur s, qui figure dans la partie transcendante, se détermine comme il suit. Nous développerons les deux membres suivant les puis- sances descendantes de la variable, et considérant le premier d'abord, nous ferons dans ce but Sjkx^ -\- ibx H-C puis nous ordonnerons par rapport aux puissances décrois- santes de X le produit qui se composera ainsi d'une partie entière et d'une série infinie a a' a" - -f- — j + -3 -f- X x' x^ On aura donc pour l'intégrale ¥{x]dx II \/Ax'' -h Q.Bx -+- C un développement dont tous les termes seront algébriques, /adx = «log^. Or l'intégrale r dx C i l- ~ — \ donnera aussi, dans le second membre, un terme de même nature, alog^, tandis que la partie ^[x)\/Ax'' -T- aBx -1- C conduira évidemment à une série entièrement algébrique. On PREMIERS PRINCIPES. 299 aura par conséquent d'où a * = â' a étant, d'après ce qu'on a vu, le coefficient du terme en - dans la quantité Y[x) „, , /a a' a" , ^ ' = F -r) - -t- — , -i- -, -H . Dans le cas où le trinôme Aar'+aB^c + C se réduit à la forme i — x^, qui mérite une alienlion particulière, j'ob- serve qu'on aura [x'-i) ' \/i — x' /— I I.3.5../2W — i) I _ I /i II 1.3 I ^_, \j: '2 0:^ 1.4^^ 2.4.6...2/Î .r' et, par conséquent, a = ... • Il en résulte ensuite v/-i y'i — X' V^— I \^ 2 -«^ 2.4 J:' i.3.5...(2« — i) I ,2n+l 2 . 4 . 6 . > . 2 « .r^ ainsi la constante désignée par a contient le même facteur - • La formule e = - montre donc que e est le coefficient de — dans a ^ X le produit o/ \ / ■ '1 1.3 I \ Mais voici une nouvelle expression de cette constante. Prenant l'intégrale du premier membre entre les limites x — —.\, ;r = + I , la partie algébrique disparaîtra à cause du 300 CALCUL INTÉGRAL. facteur \/i — .r% et nous obtiendrons Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que l'in- tégrale proposée soit simplement algébrique, c'est qu'elle s'évanouisse étant prise entre les limites — i et h- i. Suppo- sant, par exemple, que F(^) contienne seulement des puis- sances impaires de la variable, de sorte que, si l'on fait un moment on ait La relation j^^ 'f{x)dx =j' ' lf{x) +/(- x)]dx, dont nous nous sommes déjà servi, donne sur-le-champ f[x)dx = o, £ de sorte que sous la condition admise l'intégrale proposée est algébrique. II. Celte conclusion résulterait encore de l'équation à laquelle conduit la relation générale du § II, car, en y faisant successivement /i = o, 2, 4, 6, . . . , elle donne xdx = - VI /.T?dx _i r xdx I j ^ ^ /x'dx 4 r ^^dx I ^ , J- PREMIERS PRINCIPES. 3oi ei l'on en lire, par des subsliluUons successives, ^/,_X' 3. 5... (2/1 -H I) \ 1 2.4 2.4*-.2/2 y' de sorte qu'en altribuanl diverses valeurs à l'exposant impair, multipliant par des constantes et ajoutant, on aura, pour l'intégrale ainsi formée, une expression algébrique. Nous re- marqueronsdanscette relation que le coefficient de ^i — x'' est formé des^n-hi premiers termes du développement déjà t employé de(i — :c') S et j'ajoute encore qu'on obtient, en faisant x=zo, x = i, cette intégrale définie : JÇ^ x'^^'dx _ 2. 4. 6. ..2// 0 v/r^^x^~3.5.7...(2/?-t-i)* Si nous posons, en second lieu, dans la même équation, w = I, 3, 5, . . . , nous serons conduits aux égalités /x^dx \ (* dx I 1 -7 — - / . X\J\. — X^^ /i — j;' '^ J \/\ — x^ * /x^dx 3 C ■ï^'rt'.r I , I -, — 7 /-—== — -jrVi —^, /T^^T? ^ J yjx-x-" 4 /a^dx 5 /* x^dx i ^ , ,- ) et un calcul tout semblable donnera pour résultat /T^'x' ~ j /r=^ / a , 2.4 . 2. 4. .•(2/7 — 2'» ,„ A /— — r \ 3 3.5 3.0. ..(2/i — 1) y Ici le polynôme facteur de ^i — x^ représente les 2/1 pre- miers termes du développement, suivant les puissances crois- 3o2 CALCUL INTÉGRAL. santés de x, de l'expression _2 f"" dx Effectivement, si l'on prend les intégrales depuis x = q dans la relation considérée, on peut écrire, sans constante arbitraire, _i r-^ dx T^x' Jo \/i — x' 3 3.5 3.5. . .{%/i — i) I r^ x''"dx sy/i — x^ Jq {/i — x'' Or, ayant = x^"l I -h - x' H ^ or' -)- . \/'i — a:= \ 2 2.4 nous en conclurons p-^ x'^"dx _ .r'"+' x^"+^ Jo v/i-^-^ ~ 2«^-l "^2(2«+ 3) et, par conséquent, v/r^T? Jo v/i - .r^ ~ \ "^2"^ +--.J \^2/ZH-i ^'2(2«-h3)'^ ■■■/ {2« + I^X^' 2«-t-I (2/Z H- l)(2« -f- 3] Ainsi le polynôme 2 , 2.4 t 2.4. . .(^/z — 2) o 3.5 4-5. . .(2/i — I) représente bien, aux termes près de l'ordre 2/1 + 1, l'expres- sion I Ç^ dx > qui vient de se présenter, peut PREMIERS PRINCIPES. 3o3 être considérée comme immédiatement connue; la relation d arc siu x _ i donnant en eiïet S: (Ix - — arcsino: Je m'y arrêterai un moment toutefois pour observer qu'en prenant zéro pour limite inférieure, c'est, parmi les détermi- nations en nombre infini de la fonction arc sinx, celle qui s'é- vanouit et change de signe avec la variable qu'on doit choisir. Ainsi, en réservant la notation arcsino: pour désigner le plus petit arc compris entre et H- - dont le sinus est ^, nous TT , TT - et H- - 2 2 écrirons " d.v f. = arcsin.r. \j\-x^ ' o On en conclura donc, sans aucune ambiguïté, •6 ,/. /»* /•* dx C^ dx C"" ''"^ • u • I ■ — 1 — r = arcsino — arcsm», et en particulier, par exemple C'est à cette intégrale qu'il convient le plus souvent de ra- mener la suivante dx /; ^Xx'-t- 'iBx -t- C lorsque, les racines du trinôme étant réelles, le coefficient A est négatif. Faisant, en effet, Ax«-T-2Bx-hC = A{j: — a)(x — P), nous poserons at _^ 6 a — S X = i t. 3o4 CALCUL INTÉGRAL. et il viendra r dx _ I ç dt J ^Xjc'-ha.Bx-h C ~ v''^^ J /i^^^^' ' Au reste, et dans tous les cas, elle s'obtient sous forme finie explicite par la substitution •r — s A i: — P =. 9', X X qui donne en différentiant, après avoir chassé le dénomina- teur, {A — 0')dx = i{x~oc)0d9. Or on a A{x ~oi]{x — p) = {x- xY(i\ d'où \/Ax''-r- iBx -t- C = (x — a)6 ; on en conclut donc l'égalité suivante dx _ id^ et, par conséquent. /, dx I , ô 4- v/A I , \/x — B-\-\/x — a — —HZ log ■ -— = -— log r V v/Ax^-t- 2B^ - C v/A e - /A /A /^ - p - v/^ — a pour le cas de A >> o. Le cas de A <; o donne lieu ensuite à ces transformations successives /; r arc tang --=: = -—r:^ arc sin v/Aa--^-+-2Ba; + C /- v/— A \/~A A- 9' I .Qi.r — a— B I .A^-l-B = , arc sin — ^ ■- _ arcsin , • v/-A ?-'^ v/— A v/B-AG La même substitution s'obtient en considérant la courbe du second degré j= y/Ao;' + 2B;c + G comme unicursale, et dé- terminant ses points individuellement au moyen d'un faisceau de droites issues d'un point quelconque ayant pour coor- données ^ = «, j = v^A«'H- 2Ba +C. Supposons d'abord réelles les racines a et [3 du trinôme; en prenant en particu- PREMIERS PRINCIPES. 3o5 lier a = a, le faisceau aura pour équation et l'abscisse du point unique d'intersection variable sera don- née par l'égalité v/Ax*-t- aBx -!- C = (x — a ) 9, d'où l'on tire, comme précédemment, A(x-p) = (x-a)9». J'ajoute que, s'il s'agit d'une hyperbole, A étant positif, on peut employer des parallèles à l'une des asymptotes, à savoir Ax-t-B r=o- v/ Nous n'aurons encore en effet qu'un point d'intersection dont l'abscisse s'obtiendra en posant V^Ax'-(- aBx 4- C = 0 — — — = — ,* vA ce qui conduit, en élevant au carré et réduisant, 9 l'équation du premier degré e- i — ^ — ' H Or il vient, en différenliant, = o. fo-^'^-^\(iO-B/Xdx = o, c'est-à-dire v/Ax'-t-2Bx4-C dO — ^\/Âdx = o, d'où dx d9 v/Ax'-i- aBx -+- C Q\/X et, par conséquent, //A ^ '^R ir^ = ^^ - ^log{Ax -^ B-/Â/Ax'4-2Bx-hC), J V^x-'-t-aBx-HC v^ /A expression qu'on ramène aisément à celle qui a été obtenue plus haut. !'• Partie. 20 3o6 CALCUL INTÉGRAL. Des intégrales J (x — aY+' v/AxV 2B^H- C' r^' dx J_, [x — a)yj\ — x'' I. La substitution x = a donne z n dx r (-i)"zVz J [x- «)"+' v/Ax^+2Bx-4-C ~ J v/Gz'^2Hz-+-K' en posant G = Aa'+2Ba-i-C, H = — A«-B, K = A, et l'on est ainsi ramené aux cas qui viennent d'être traités; mais un autre changement de variables aura l'avantage de con- duire directement à l'expression de l'intégrale. Il se tire de la transformation du trinôme homogène du second degré A x' -H 2 B 07/ -t- C J ' par la substitution et, en faisant D = B'— AC, de l'identité bien connue («^ _ p^YQ ^ [Aap -+- B(a(î -+- P7) H- Cv^]' - {Aa=+ aBav + C7') (Ap'4- 28^^ -4- C^'). Comme cas particulier, j'obtiens en effet la suivante, savoir [x - «)'D = [Aax ^ B (a + x)+ C]' - G (Ax'-+- 2B^ + C) ; elle montre qu'en posant {x — a)t^ kax -H B (« -1- x) + C — v^G s/kx""-^ 2Bx -+- C , on aura ^•^~''^^ ^ kax + B(fl + j:)4-C-h\/G /Aa:»-i- aBx -4- C , PREMIERS PRINCIPES. 3o'] ei, par suite, en ajoutant et retranchant membre à membre, (j: — «)(f-)--j = a[Artx -f- B(a •+- ar)-f- C], de sorte que la variable a: et le radical v'A^'+ aBx ■+- C pour- ront s'exprimer en fonction rationnelle de t. Or écrivons Xax -hBla -{- x]-hC X — a d'où <-7} = H -H - u H — ) ; il viendra en différenliant, et après avoir changé les signes, Gdx _ I f D\r/f on en tire aisément, si l'on multiplie membre à membre avec l'équation ce résultat \/Gflx dt {x — a)\/kx'-^-i^x-^C *■ et nous en conclurons la transformée suivante de l'intégrale proposée Soient maintenant n„nj,... les coefficients-) )• • • de 11.2 la puissance n""' du binôme; je distinguerai dans le déve- loppement de l'expression deux espèces de termes: en premier lieu, ceux qui contien- 20. 3o8 CALCUL INTÉGRAL. nenl la variable, et qu'on peut évidemment réunir par groupes, tels que ■[-(?)'} I étant une constante; ils donnent dans l'intégrale la quantité _ \_Xrix -hB[a -\-x)-hC — y/Gy/A.r-'H- iBjc -f- C]' lix — a [\ax + B(fl -+- -r) + C -f- y/G y/A.r^-f- aB.r + C]' i[x — a)' et leur réunion constitue la partie algébrique sous la forme F(.r)v/Au'-t-stB.r + G [x-a)" ' F{x) étant un polynôme entier. Nous envisagerons ensuite les termes indépendants de t, fournis parles puissances paires { t-\ — 1 ) a savoir -. D'; ils donnent le fac- \ t J 1.1. . .1 leur de la partie transcendante / — = \ogt sous la forme sui- vante 2^ 2^ /^, (/ + !)(/+ 2)... 2/ jj.jj„_,, 2" I.2...« OU encore, d'après une transformation déjà employée, 3.5...(2/- 2. 4' 6. . .2 2 ^.^y 1.3.5 (2/ -I) . , , n n — \ le nombre i prenant toutes les valeurs de zéro a - ou » ' 2 2 suivant que n est pair ou impair. Nous parvenons ainsi à PREMIERS PRINCIPES. 809 l'expression générale de l'intégrale, savoir /- *dx (x — fl)"+'v/Ajr'-(- aB^-f-C -,, Artjr H- B(« -+- jr)-f- C — v^G i/Ax'-h aBx-i- C = N log — - — ^ ^ — F(jr) y/A'-r'-t-aBj + C Soit, par exemple n =; o; la partie algébrique disparaît : on a donc simplement Ç G^clx _ ^A/yjr-i-B(^/H-x)-hC-v^Gv^Ajr'-«-aBx-i-C. J {X— a) v/ÂxVâBxTC ~ " X — a Nous remarquerons que la fonction placée sous le signe log se reproduit au signe près lorsqu'on permute x el a; c'est l'origine d'une proposition importante dans la théorie des^ fonctions elliptiques. II. La constante N, dont l'expression vient d'être donnée, peut être obtenue par une autre méthode sous une forme dif- férente, qui conduira à un th('>orème remarquable d'Éuler. Reprenant, à cet effet, la relation /' ^l}^"" _____ _ f ^gKjx [x - a)"+' v^Ax'H-aBxH-C ~J(x — a) ^Xx'-i- 2Bx -^- C F4x)\/'Xx'-+- aB-r — C "^ [x — a)" ' et supposant x=: a -+- z, nous développerons les deux mem- bres suivant les puissances ascendantes de z. Or ayant fait G = Art»-f-2B«-f- C, la série de Taylor donnera d'abord I _'^ z' rl'G~ ' 3lO CALCUL INTÉGRAL. ei il en résultera pour l'intégrale dx II X — «)"+' v/Aa?'-t- ibx-\-Q. une série infinie dont tous les termes sont algébriques, un seul excepté, à savoir I I r dz z" rf"G~^ logz est bien du degré n en x. Cela pose, on aura 1 .2.3. . .n ° r ' de même v/i — apx-^^' et SI, après avoir développe -pzr log -=j on égale les ya^ I — va[3 coefficients des mêmes termes dans la relation / rfar[i-i-ax-4-...4-a"^„(x) 4-...] [, -h ^jr -^...~>r^'"^„^x)-r...\ = ,[,*i.p^'.>f^....-J_..f.^...], on trouve, pour n et m différents, et, pour m ~n, £■'•' ' 2/1 -♦- I 3l8 CALCUL INTÉGRAL. Or, en ajoutant membre à membre les diverses égalités /-l-I j_ n dépendant linéairement des divers numérateurs A, A„. . ., A,. Ce point établi, je mettrai en évidence, si elles existent, les racines nulles du poly- nôme F(z) en faisant F(z)=2-+'(z-fl)-+'(z-6)^'...(z — /)«', et je modifierai la formule générale de décomposition en fractions simples en réunissant à la partie entière du quotient PREMIERS PRINCIPES. 3a3 ~-^ les fractions parliellcs en -■> — > • • > '\,^.'> de manière à r ( 2 ) z z z avoir N l-l B B. B z — b (z — by '" (z — hf L L, L, ^ z — l [z-l)' (z-/)'+'' où ^{z) sera, par conséquent, delà forme irt*2* avec des puis- sances enlières, mais positives ou négatives, de z. Maintenant nous conclurons de cette formule élémentaire, en revenant à la valeur z~c*v/-', l'expression suivante de la fonction /(sinj;, cos^). La quantité ^{z), devenant d'abord la^e"'^'* — 2rtj(co8Xx -f-v^ - isinA-x), nous donne une première partie, que je désignerai par n(^), et qui en sera considérée comme la partie entière. Les frac- tions partielles donnent ensuite une seconde partie ^{x)^ qui, en posant aura la forme suivante : *(x) — const.H-Xcot{(x — a)-i-X, j ■ -f-...-i-X, —-^ ■ La détermination des coefficients X, Hb,. . ., ^-i X,, oïl,,.. . rendra plus complète encore l'analogie de la formule que nous venons d'obtenir /(8in.r, cos:r) — n(x)-i- ^[x) 21. 324 CALCUL INTÉGRAL. avec celle de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples. II. Je ferai, dans ce but, en ayant en vue le groupe des coefficients .^D, -Jio,,. . ., -Jl>„, x=:a-{- h, ei je développerai les deux membres suivant les puissances croissantes de h. Or, les séries provenant ainsi de la partie entière et de cot|(^— |3), ..., cot|(^ — X) ne contiendront que des puissances entières et positives de A, tandis que la quantité coi{{x — oc) et ses dé- rivées donneront un nombre fini et limité de puissances né- gatives. Nous avons, en effet, cot- et, comme la dérivée de h prise par rapport à x est l'unité, on déduira successivement de cette relation // 1 h //^ cot -=:--- 'j. h b 3bo dco\,\ [x - -a) 2 I h^ dx ~ II' 6 I'20 r/= cot \ {x - dx"" -a) 4 6o "^■' et en général, si l'on n'écrit point les puissances positives de A, Le développement du second membre Jl{x) ~\-^{x) se composant ainsi des termes rju oAo, i.ix, , ,1.2../? XI et d'une série infinie de puissances positives de h, nous obtiendrons les coefficients X, JU,,. . . Jl,„, en formant la par- lie du développement du premier membre /{sin^, cos^) qui est composée des seules puissances négatives de h. Suppo- sons à cet effet j-Y • I 7\ I 7n1 A A, i.aA, , i,2../?.A„ PREMIERS PRINCIPES. 325 on aura immédiatement *l) = - A, Jlo, = - A,, . . . , X„ = - A„, et j'ajoute que, si l'on multiplie membre à membre l'égalité précédente avec celle-ci, que donne le théorème de Taylor, „„♦!/ i\ ,,, \ h (l col ^{.r — 01.) h^ (Pcol~{x — a) COl^lx — OL — /i)= col Ux — a) ^ --h 7^ ■ — ••• ' "^ ' i dx l.a dx' , ,„ h' tfcol\(x — ai) on trouve pour le coefficient divisé par deux, du terme en I y î précisément dcol\[x — a) r/"cot^(.r — a) \^o COtj(a: — (x) -^ ,X}^ dx • » fijf^ Le groupe total des éléments simples, se rapportant à la quantité ^ = a qui rend infinie la fonction proposée, est ainsi , le demi-résidu, correspondant à A = o, de l'expression / sin (a -f- //), cos(a -+- A) j cot X — a — h résultat analogue, comme on voit, au théorème de Lagrange démontré dans l'Introduction (p. 6). IIF. Après avoir jusqu'ici suivi pas à pas la théorie de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, nous allons introduire une considération nouvelle qui a son origine dans la propriété caractéristique de la transcendante f[smxy cosar) d'être périodique. Je remarque que, d'après la relation X cot - ~ cot X -t- cosec x, la fonction ^{x) s'exprime en termes de deux formes, à savoir (C col{x — ol) ^ d" coséc ( .r — a ) 73i et 7^- 7 dx" dxf^ les premiers ayant pour période tz et les autres se repro- 320 CALCUL INTÉGRAL. duisant en signe contraire lorsqu'on change x en .z- -h tt. Or, à l'égard de n [x) = léd^ (cos/.r H- y/ — I sin fcx)^ si l'on fait S [x] = 2rt,^^ [cos-ikx H- y/— I sin ih-x) et n [x) = ■^«21+1 [cos(2 k -i-\] X -^ \J — I sin (2 /• 4- i) a:], en réunissant d'une part les termes contenant les multiples pairs, et de l'autre les multiples impairs de la variable, on aura de même 6 (.r-i- tt) = Q (a:), in[x -^t:) = —Tn{x). De là résulte la décomposition de la fonction proposée en deux parties Ç>{x), H(a:), de sorte qu'on aura /(sin X, cos^) — 6 [x) -h H [x]^ avec les conditions 0 (^ -+-. 7r) = © [x), H (j: -i- Tf) = - H (^), les expressions des nouvelles fonctions introduites étant e{x) = 9(.r) +Xcot(ar- a) + X, ^-^ ^-i- . . .+ X„ ^^^j;^ ^ „ . _, . r/cot(^— 3) 0 dPcot{x—p) p ,, -,. p r/cot(.r — >) „ d'cot{x — l) et „, . , N « , , X « «-/cosécf.r — x) <'/"coséc(.r— a) H(x) = >î(j:)H-JoCOSec(a; — a)-4-Jl,, h-...-t-X„ r-j; ■ r, , , „, r/coséc(.r— 6) „ r^'cosécf^— 6) -ha(bcosec(x-p)+Dl„ ^- — ^^...+1)^ ^:ïir-^ p , , ^, p r/coséc(.r— >) „ r^''coséc(^— )-) +Ccoséc(a:-).)+4L. ^^ + -+-t, j^ Nous voyons donc apparaître deux éléments simples dis- tincts coi^ et coséc^ ou — — 5 appartenant en propre aux fonc- PREMIERS PRINCIPES. 327 lions dont la périodicité est celle de (d{x) ou U{x), au lieu X I de cot - qui, dans le cas général, a le rôle de la quantité - à l'égard des fonctions rationnelles. C'est par les applications qu'on reconnaîtra surtout l'utilité de ces distinctions, et pour commencer par un cas facile, j'envisagerai d'abord la fonction cosa — cos^ J'observe en premier lieu qu'en introduisant la variable z r= e'v/^, il vient I 1Z cosx — cosx "~ azcosa — i — z' Or les racines du dénominateur sont évidemment les quan- tités e'\/-', e-«\^-' , le numérateur est seulement du premier degré; ainsi la partie entière n(^) n'existe point, et nous aurons I .X — Ot X -H X = C -H (^luCOt h lib cot cosa — cos.r 2 % Calculant maintenant les résidus pour :c :— a et ^ = — a, j'obtiens les quantités I 1 sina sinx et par suite, en divisant par deux les valeurs, X — : j 1)1) = -. » 2Sllia 'JtSina de sorte qu'il vient ^C-.- I r .r — % .r-f- aT -. — cet col inaL ■-» 2 J cosa — cosj- 2sin On trouve d'ailleurs sans peine que C = o ; mais voici, poUr des cas moins faciles, une détermination directe et immédiate de cette constante. Supposons en général /(sinx, COSX):- ji— y, F(2) ne contenant point le facteur z et étant de degré au 328 CALCUL INTÉGRAL. moins égal à celui de F,(2), la partie désignée par O(^) exis- tera seule dans l'expression de la fonction, qui sera ainsi /(Sin^, COS.r ) = C + Xcot J ( J7 - a) + X '-^^^^i^^^^ -+- . . . ™n iw nx ,1 '■/COt-i-f.r — S) p ,. I , ^^ rt dcotU.r — 1) Or je dis qu'en appelant G et H les valeurs de -r~~ pour z nul et infini, on aura En effet, la relation c = ;^(g + h: COt — — =\/~-i -— = »/ - I fait voir qu'en supposant z nul et infini toutes les quantités ^ gj COt se réduisent à — y — i et H- \'—i; elle montre aussi que leurs dérivées des divers ordres s'évanouissent; nous avons donc G = C - ( vl. + ift) -^- • • • -^ C) v'"-^, H ^r C -,- (.A. -r- 0)1, - . . . ^-C) ^'^, et par conséquent 1 „ii fj G — H / — „ G -f- H 2 -il Dans l'exemple considéré tout à l'heure, on trouve sur-le- champ G = o, H = G, de sorte que C est nul comme nous l'avons dit. IV. Soit en second lieu l'expression smni.r z" Z''" — 1 les nombres m et n étant entiers. Si l'on suppose m >> n, on PREMIERS PRINCIPES. 829 voit qu'il existera une partie entière ll{x), dont voici le cal- cul. Parlant de celte identité 2"" I Z"-" = z"-" -f- s""" -+- Z""-"" -4- z'""" -f- . . . Z** — I -(ï*+l)>i-m _ -(«-{M-l)» -f-Z"-("-')«-|-z{»-')»-"'-4. I , Z'" — 1 je prends pour k le plus grand entier contenu dans — ? de sorte qu on ail k = 1- e, e étant positif et moindre que l'unité.' Il en résulte que ( 2 /• -t- I ) « — w = lin et m — ( 2 X- — 1 ) « = 2 ( I — s ) « ; ainsi, dans la fraction du second membre, le numérateur est de degré-inférieur au dénominateur. L'identité employée se vé- rifie d'ailleurs sur-le-champ, car, en remplaçant z par l'expo- nentielle e'v^-', elle se transforme dans l'équation bien connue —. = 2C0S(W — n)x -h 2C0S(/« — 6n)x -h. . . sm/ix- r , , X T sin ( 2 /•/? — m)x ■+- icos\m — (2A- — i)n\x H : Nous obtenons ainsi 11(0:) = 2C0S(//J — «).r -f- 2C0S(//i - 3n)x-r- ...-)- 2C0S[/« — (2X- — l)//]x, et ^, , sin(2/vî — m)x ^ ' sin/ix OU simplement ^, . smmx ^ ' sm/ix en supposant maintenant m inférieur à n, en valeur absolue. Ceci établi, les racines de l'équation 2'" — i = o sont don- nées par la formule z = e"'*' , A* prenant les valeurs o, i, k TZ 2, .... 2 n — I , et si l'on fait a = — ? le résidu de la fonction n sinm^ . , sinma (— i)*sinma —. correspondant a x = x sera = ; sinnx *^ ncoanx n 33o CALCUL INTÉGRAL. et nous obtenons, par conséquent, sininx » XT' , ^^ . ^ i , , —. = — > ( — ir s\ni/ia.coi-[x — OL). smnx 1.11 .^ ^ ' a ' Mais, ayant 4)(jr-r-7r) = (-x)'»+"{x) pour x = a, x = ^,..., x = 'k, c'est-à-dire al> - COt(a — ^) COt(a — 7). . , COt(a — 1), lJÎ>=-COt(P- a)cot(P — 7)... COt(P — X), ^ =COt(> — a)C0t(> — P)... COt{>— îc). Enfin la constante C s'obtient par l'équation établie p. 328, C = ■ (G H- H), au moyen des valeurs G = {-,r=l)\ H = (v/=:Tr, que prend la transformée en z, pour z nul et infini, ce qui donne simplement C = cos — • On traitera de la même manière l'expression plus générale F(sinj:, cosar) sin(x — a) sin(ar — fi). . . sin(x — X)' où le numérateur est un polynôme entier en sin x et cosa:, et, si nous supposons qu'il soit homogène et de degré n — i, on sera amené à la relation suivante : Ffsinx, cosa:) sin(j: — a) sin(j: — p). . . sin(j: — >) F (sin a, cosa) 8in(a — p) sin(a — 7). . . sin(a — À) sin(x— a) F(sinp, cosP) 1 sin(^ — a) sin(^ — 7). . . sinl^ — l) sin(a:— p) F(sin>, cos>) I sin(À — a)sin(). — p) . . • sin(X — x) sin(x— X) 332 CALCUL INTÉGRAL. Nous en déduirons, en chassant le dénominateur, „, . , sin(.r — S) sin(.r — 7). . . sin(.r — )i) . . F sinx, cosx = ^-^ )■' . ^i r-) ^ F sina, cosa ^ ' ' sin(a — p) sin(a — y). . . sin(a — À) sin ( ^ — a ) sin ( a; — 7 ) . . . sin ( ^ — >) sin(fe — a) sin(p — 7). . . sin(^ — /) F(sinp, cos^) ■+- -^. r-^ ^1 Hi [ F sin>, cos> , sin ( )> — a ) sin ( A — p ) . . . sin ( A — -/ ) résultat qui se rapporte à la théorie de l'interpolation comme donnant l'expression de la fonction F(sin^, cos^), où entrent /i coefficients arbitraires, au moyen des n valeurs qu'elle prend pour a: = cic, x = ^,. . ., :v = 1. V. C'est pour obtenir l'intégrale de la fonction transcen- dante/(sin^, cos.r) qu'a été établie la formule de décompo- sition en éléments simples, dont je ne multiplierai pas davan- tage les applications ; sous ce point de vue, voici maintenant les conséquences à tirer de la formule générale f{sïnx, cos.r) = n(^) -f- <ï>(x). En premier lieu, et à l'égard de U{x) = 2^/j(cosX-.r -t- V — 1 sinX.r), nous observerons qu'on a — /.sin/ix, dsln/ix , , dco&fi.r A- COSA x, dx dx d'où, par conséquent, / COskxdx = sin />x j sïnkxdx = cos/.r Ainsi l'intégration reproduit une expression de même forme que la fonction proposée, sauf un terme proportionnel à la variable provenant de la partie constante qu'elle peut conte- nir. Soit, par exemple, n(x) = cos"^, l'egalite 2Cos^= donnera, en l'élevant à la puissance n, et rapprochant les 4 PREMIERS PRINCIPES. 333 lermes équidistanls des extrêmes, 2" cos"x = z- -H - -f- - ( z«-»H- -__ ) H z"-* -t- ::^ ) -4- — Z" I \ z"-'/ 1.2 \ z" V Distinguons maintenant les deux cas de n pair et impair; nous aurons, dans le premier, avec un terme constant, a"'' cos j^ — cos«.r H — cos(« — i)x h cos(« — i)x -4- . . . 1 ^ 1.2 ^ n 1.2. .. - 2 et, par conséquent. a.-/< sin//.r wsin(//— 2Vr /?(« — i)sin(« — 4)-^ CQS" JTrtlr = i 1 «-4 ,«(/.-!)... (^ + i) I .2. . . - 2 dans le second, il viendra 2 ' cos X = cosnx H COS(« — 2 IX H cos(« — 4 l-^ + I ^ ' 1.2 ^ ' ■n{n-i)... (^+i) cosx, d'où cette formule où la variable ne sort plus du signe sinus -'/ co^xdx sinw.r n sm {n — i)x — h- — î h. . . // I « — 2 n{n-i)... (l±l+i\ H ^^ sinx. n — I 1.2. . . a On traitera de même l'expression plus générale sin" j: cos* -=(^y(^y' 334 CALCUL INTÉGRAL. mais l'inlégrale / sin^cos^jcc?^ s'obtient encore par un autre procédé fondé sur l'identité suivante : c?sin''~'.rcos*+'j: dx — (a — i) sin^'^J? cos*+'.r — [b -\- i) sin^jr C0S*j:, = («— i)sin''~^arcos*a:(i — sin^^) — (^-f-i)sin'';rcos*x, — (« — i)sin''~^^cos'j: — (rt -I- è)sin''xcos*x. Nous en tirons, en effet, [a-i-b) I sm''xcos'' xdx = (« — i) / sin°'-J7C0S*.rfiir — sin''"'^cos*'^'a:, ce qui permettra de ramener, de proche en proche, la quantité / sin°^cos*^c?^ à celle-ci : I sin''-'"cos*^6?^, où n est un entier quelconque. Si l'on suppose a impair, le calcul est ter- miné, car, en faisant a = a/n- i, on obtient immédiatement / smx cos xax = ; J b-^i Dans le cas de a pair, nous prendrons in = a, et l'on opérera ensuite sur l'intégrale / cos*^c?^, au moyen de la relation b f cos''xdx = [b — i) I cos*~'xr/j7 -f- sin.r cos*~' jr, qui ramène, soit à | cos^c?a: = sin^, soit à / dx = x. En considérant en second lieu l'expression / ^{x)dx, j'é- crirai pour abréger, comme à propos des fonctions ration- nelles, p. 261, „ , . , , X ^ COt \{x — a ) <^{x)=^ C-H2jloC0ti(j:— a)H-2X, -^z ^ + --- 2c^, d^COt^{x — oi) ■ dP" ' maintenant on voit comment la composition de cette formule conduit immédiatement au résultat. Nous n'avons, en effet. PREMIERS PRINCIPES. 335 qu'à déterminer la seule intégrale | coi^{x — (x]dx] or on a x—a coSîfx — a) rflogsin^(.r — a) cot = -r-~ ■ = a — T ' ■À siny (X — a) fie et, par conséquent, J^ .V — a cot - - — f/x = 2 log sin i ( j: — a ) , de sorte que / <\<[x)(ix =z Ç.X -\- 2 2Xlogsin-j(x— a)-+- 2^V, (Mi{[x -^ a) -h. . . r/"-'coti(x — a) Les relations ^/ X -. ./ V ^, rfcot(x — a) ^. , «■/" cot {.r — a) e(x) = ïXC0t(x — a)+ 2aV,, ^^ -^...^IX^ y—, ' 1 „, , ^, , , \ ^ , «■/coséc (x — a) ^, r/"COSéc(x~a) H(j:) — 2«.l>C0Séc(.r— a)-t-2a,l,, -^ -+-...-+- 2 a,l,^ ^-j - donneront pareillement / &{x)(lx = 2Xlogsin(j:— a)-^ 2X, cot(jr — a)-+-. . . + i^„ dJ^^ ' / H(x)ric = ïXlogtang^ix — x)-i- IX, coséc(x — x) — . . . , //"-'cosécfx —a) En effet, nous avons déjà / cot(x — a)dx — logsin(x — *)> et, quant à l'intégrale ^ ' J sm(x -a) 336 CALCUL INTÉGRAL. elle s'obtient, soit par l'équation sin(^ — a) soit en posant car il vient ainsi = {[tang^(.r — a) + COti( j: — a)], tang{(x- x) = t, i -!- /' , 9 rit dx = sin(^ — a) it 1 -1- f ' d'où r dx r f^f y , . , , Voici quelques remarques sur ces résultats. VI. Les expressions qui, en dehors des termes logarithmi- ques, à savoir X, cot (x - a) + A-.^ '-^ h . . . + .a=,„ -^-^^ , et - , , X , d co%éc{x — y.) . *'/""' COSéc(.r — a) Jlo, cosec(^ — a) -h JUj -^ ^ -t- . . . -t- (vl.„ T-;jri ' composent, avec diverses valeurs des constantes X et a, les intégrales / Q{x)dx, j ll{x)dx, ont respectivement la même périodicité que Q{x) et ll{x). La première, comme on l'a vu au § I, équivaut à un polynôme entier du degré n en cot(^ — a), la seconde donne lieu à la transformation sui- vante. Soit pour un moment COSéc(.r — a)=« et C0t(,r — x)=t, nous remarquerons qu'on peut écrire K = — Sin Kr — a ) -;- 5 (IX de sorte qu'il vient successivement du . , , d^t , , dt , — — Si nue — y.) -J—., — cosur — a) -p , dx dx^ ^ ' dx (Pu . , , r d^t dtl , , d^ dx"' PREMIERS PRINCIPES. 337 et, en général, -COS(x-a)[^--^ ^-^^^3 ^i^.-^- ■[ Il en résulte qu'on peut donner à l'expression du d'-'u d'abord la forme sinix— a G -7— -I- G. -; — --h. . . ] ^ \ d.i" ' dj.-"~' / les coefficients G et H étant constants; ensuite celle-ci sin(x — a)F(/)-+-cos(a; — a)F, (/), en désignant par F(/) et F,(;) des polynômes en t des degrés ' n + i et n; enfin au moyen des valeurs Sin(X — a)= -— :=> C0S(X a)=-— r=r-) on écrira . (lu . d''-'u_ .f{f) ce nouveau polynôme ^{t) étant du degré n-hi. Sous ces formes nouvelles, les quantités qui entrent dans les deux in- tégrales sont parfois d'une détermination plus facile, et j'en donnerai quelques exemples. Soit d'abord l'intégrale / col"*' xd.r, l'exposant n étant entier et positif; d'après la méthode géné- rale, on posera o t L » r/cot.r , d''C0lx cot"^'a: = C -<- A>COtx -+- X^ — ^ h. . .-^ (x)r/x — CxH- 22Jl>logsin-}(.r — a) -^ lX,co{{[x ~ a.)-^ . . .-^ 1X„ -^, , la partie transcendante est donnée par les termes C^ et / COt-j ( .r — a) f/jr — a log sin^ ( a: — a ) , dont le dernier prendra la forme suivante. Soient Y=\/'— X^> « — sina, b COSa, on aura /' , , , , C Pin .r-_a , r «Y / coti .r — a)^/a= / ■ ' dx =^ / J J l — COS(x — a) J \ — a Y - /^5^ fl^ \-b\ Y de sorie qu'au lieu de la fonction de troisième espèce amenée par la méthode d'intégration des radicaux carrés, à savoir /bH.r {\ — ax — by\ 342 CALCUL INTÉGRAL. nous sommes conduits à la quantité /1 ay — hx dx - nx — by y l0£ ax — br). Mais j'arrive, sans insister sur ce point (*), à une der- nière considération, à la détermination de l'intégrale définie /(sin^, cosx)dx. Reprenant, à cet effet, l'expression f{sinx, cosx)= n{x)-+- *(x), X j'observe d'abord que la fonction <^{x) devra être finie pour toutes les valeurs de la variable comprise de zéro à 27:, c'est- à-dire quel que soit x, puisqu'on a ^{x -h an) = (^{x); ainsi, dans les éléments simples cot| (x — a), aucune des constantes a ne sera réelle. Ceci posé, les termes périodiques de l'inté- grale indéfinie des fonctions II (^) et ^{x), reprenant la même valeur aux limites ^ = o et ^ = 27:, ne figureront point dans le résultat, et nous aurons seulement à considérer le terme C^, ainsi que la partie logarithmique 2 X logsin7(^ — a). Du premier résulte immédiatement la quantité €27:; mais les termes transcendants demandent une attention particulière. Comme dans le cas plus simple de l'expression /'^i dx 'x„ X — X — S Y — I traitée (p, 280), la relation ne détermine pas sur-le-champ, à cause des valeurs multiples ;sm (") On a, d'une manière plus générale, ' ( cf>' — l>c' )x -i-{ ac' — ca! ^y -+- ab' — hn' dx {ax-t- Oy -t- c)[a' X -i- b'j -t-c') j P log h- a'x-t- b'y et l'on doit remarquer les cas particuliers dans lesquels cette intégrale ne de- vient indéfinie que pour deux valeurs de la variable. Ils se présentent lorsque les droites ax-\-bj -\-cz=ç\, a'x -i- b'x-i-c' — o se coupent sur le cercle x^-hj'^^ i, ou lui sont tangentes. Fig. 29, PREMIERS PRINCIPES. 343 des logarithmes, l'iiilégrale définie prise entre des limites données x^, Xi, et j'indiquerai d'abord de quelle manière on y parvient avant de supposer ar, = o et ^i = 27:. Soient a = « -(- 4y^— I, sin|(x — a) = X H- Yv^— I. Envisageant X et Y comme les coordonnées OP etMP {Jig. 2g) d'un point M rapporté à deux axes rectangulaires Ox et Oj, je figure la courbe MM' qui sera le lieu de ces points lorsque la variable x croîtra de Xo à Xt. De cette manière, le rayon vecteur OM = R et l'angle MO^ = 6 se- ront, à partir du point M, corres- pondant h X = Xo, des fonctions continues entièrement déter- minées de la variable x. Remplaçant donc coti(^ — a) par la dérivée logarithmique de sin j(j: — a) = X-*- Yv'^= R(cos0 -i- v^— isin^), il vient maintenant on a, sans aucune ambiguïté, / -^ = logOM'- logOM, / r/9 =WOx - MOx, et l'intégrale proposée se trouve déterminée. Mais arrivons aux limites zéro et 21:; si nous faisons pour un moment A = COSèy — I =r > nous aurons B = 8in&v^- I f^—i hb X = A8in^(x — a), Y= — Bcos^(x — «), 344 d'où CALCUL INTÉGRAL de sorte que la courbe MM' est une ellipse. Remarquant que A est toujours positif, je distingue deux cas, suivant que B sera posilif ou négatif, c'est-à-dire suivant que b sera lui- même positif ou négatif. Dans le premier, je pose d'où a: — a 2 X^^AcoS'f, Y'-Bsiny; cela étant, lorsque x croîtra de zéro à 27:, cette ellipse sera décrite dans le sens direct depuis un point M{Jig. 3o) jus- Fig. 3o. qu'au point M' situé sur le pro- y\ longement du diamètre OM. En second lieu, lorsque B est né- \\ gatif, je fais ce qui donne X = Acosa', Y — — Bsinç; c'est alors du point M au point M' la seconde moitié de la courbe qui sera décrite dans le sens inverse. Cela étant, dans le premier cas, l'angle 9 croît avec x, et nous avons M'0jrr^M0.r-+-7r; dans le second, au contraire, il décroît, et nous passons de la valeur MO^àM'0^ = MOa; — tt; les deux rayons vecteurs OM et OM' sont d'ailleurs égaux, ce qui fait disparaître la partie logarithmique; par conséquent, en désignant par (b) une quantité égale à l'unité en valeur absolue et du signe de b, nous aurons X cot|(j: — a — h\J -' v) dx r::^ ir^[b)\' Voici quelques applications de celte formule : TREMIERS PRINCIPES. 34^ Posons dans la relation 2sin>. L^ — "^ X -^-l = cot cot cos). — cos j: 2 établie p. 827, et soit a = e"; elle prendra celte forme 2(1 — a^) , / X — ai/ — I .r-Hai/— 1\ ^ i = 1/ — M cot ~ cot 1 > I — 2flC0SJr-t-« \ 2 2 / et nous en conclurons successivement pour a> o, r'est-à-dire en supposant « <1 1 et « 1> i , i-rt'Mr/,r r^'T (l — «Mr/x ' ~* I V — — 277. 7o 1 — 2acos^ -r- <■/' ' i/o ' — *" cos 2 H- rt' Le second cas se déduit d'ailleurs immédiatement du premier par le changement de a en -• a Soit encore l'expression plus générale C0SWJ7 cosX — COSX m étant un nombre entier quelconque; en faisant elle devient 2»'-' ( I — 2 Z cos/ -+- z' ) et contient par conséquent une partie entière qui s'obtient ainsi. Je pars de ces deux identités, faciles à vérifier, — c^ — j --= sin>. -f- z sin2). -1- z' sin3 a -f- . . . -h z"'~*sin{/« — 2) a 1 — — ^ 3 COS A "T~ Z „ , sin/w^ — zsin(m — i)X ■+- 2 r r } 1 — 2ZC0SA -t- Z^ sinX ' sin> sin2> sin3)i sin/wX I - 2ZC0SX -t- z' z" z^ z* '"' z'""^' 1 zsin(/7i -f- 1)). — sin/«> gw+i j — 2 3 cosX -+- z' 346 CALCUL INTÉGRAL. et je les ajoute membre à membre après avoir divisé la pre- mière par z"-', el multiplié la seconde par 2'"-*-' ; il vient -.■^. 7^ — 7 ^- i^""' -^ 2'"'" ) sin >. -+- ( z"'-^ -^ z^-"' ) sin 2 X -i- . . . -H (z -H Z-') sin(/?? — i)> -+- sin/wX z[sin(/« -i-i)). — s\n{ni — i)^], I — '2ZC0SA -r- Z^ ' et, par conséquent, si l'on remplace z par l'exponentielle e^v/-', nous aurons coSTO.rsin^ , , cosw). sin). coso: — cosX ^ ' cosx — cosX en faisant n ( J7) =; 2 sin)^ cos ( »? — i ) .r -i- a sin a / cos ( w — a ) x -i- . . . -I- 2sin(w — i))iCOSjr H- sin/»).. Le terme constant de la partie entière est sin/n^; on en con- clura, en faisant comme plus haut, A = a y — i , e" = a, ce qui donne %\\\.m\ = ■ r=5 cosml = 5 2«"V — I ^" Jr 2 7r ^, — ^2^ cosmxclx T = aTTfl'" pour rt < 1 , et ^'^ (i — a^)co9,mxdx it: i I — 2« cos.r-1- a' a" pour « > 1 . Je considère en dernier lieu la quantité sin-^ |COS>i — COSX) (COSf/ — cos,r)' la décomposition en éléments simples conduit d'abord à la relation / ^ — 'X X -^\\ — I -J- C.I) COt COt — — I Va 2 7 , X — u. x-v DJi cet — COt (cosX — COS a:) (cos p. — cosx) 2 y en posant COSp — COSA COS/ — COSp. l'REMIERS PRINCIPES. 34; Faisani encore nous trouverons, en nous bornant, pour abréger, au seul cas 'Cle a b" sin in -+- i).r, l — %b COSX -t- b* Âiaà ^ où m et n reçoivent toutes les valeurs entières de zéro à l'in- fini, on parvient à l'égalité suivante : \^«7"//' / sin(w -H i).rsin(/? -\-\]xdx — w ( i -t- o/; -^ a^lP-^ . . .), dont le second membre ne renferme que les puissances du produit ab. Nous avons donc X 37r ivamxsvûinxdx = o lorsque m et n sont différents, tandis qu'il vient, si on les sup- pose ég^ux. 348 CALCUL INTÉGRAL. On trouve d'ailleurs directement ces relations au moyen des identités i.s'mma:smnx ~ cos(w — ii)x — cos(/« -h n)x^ i%\\>?mx -- I — cosi/nx, qui donnent les intégrales indéfinies sin ( m — n ] :r sin ( /// -+- u ] r I si n /« X sin « x clx ~ f 2.[m -i- n) . , , .r sin^w.r sm'mxrix = - 2 4"' et, par suite, comme on voit, X 27r smnixsm/ixdx — o , I sm^mxdx — Tz. En partant de celles-ci 2 sinwo:^' cosnx - - sin ( //i -r- n)x -r- sin ( m — /i)x, icosmxcosnx = cos(w -r- «) j; -i- cos(/« — //).r, nous aurons semblablemeni i sin/«a7cos«^f/j:^ — o, 0 même dans le cas de m = n, puis J/»27T /-»27r ' COSn^xcos/^xdx -- O, l cos'^mxdx -- n. o Jo Ces intégrales définies, qu'on obtient si facilement» condui- sent, comme nous allons voir, à d'importantes conséquences. VIII. Les séries qui procèdent suivant les puissances en- tières et positives d'une ou de plusieurs variables ont pour caractère essentiel d'être continues lorsqu'elles sont conver- gentes, et c'est en admettant cette condition de continuité qu'elles ont été employées dans les applications géométri- ques, et en particulier dans les théories du contact et de la courbure des lignes et des surfaces. Mais l'Analyse conduit à des séries d'une autre nature, qui, tout en restant convergentes PREMIERS PRINCIPES. 349 afin d'avoir une limile déterminée, ne sont plus nécessaire- ment continues, et peuvent, lorsque la variable croît par de- grés insensibles, représenter diverses successions de valeurs appartenant à des fonctions de formes tout à fait différentes. Un premier exemple en a déjà été donné, p. 2.84, et nous avons vu qu'en faisant y, , . sin3x sin5.r J[x)— smx H \ : h. . . on a lorsque la variable est comprise entre an:: et (an +1)7:, tan- dis qu'on obtient quand on la suppose comprise entre (2/1 — i):: et -z/itt, n étant un nombre entier quelconque. Or ce résultat se rattache à une formule générale donnant un nouveau mode d'expression des fonctions d'une grande importance en Analyse, et que je vais indiquer succinctement. Soit ^(x) une fonction donnée entre les limites x = a, jP3=6, avec la seule condition d'être toujours finie; la sui- vante, le sera de même depuis ^ = o jusqu'à x = ar, et l'on prouve qu'elle peut se représenter de la manière suivante : /(x) =: A,-+- A,COSX-H A,C0S2J; H- . . .-(- A^coswj: -i~. . . -+- B, sinx -h B, sinaj? -<-...-+- B,„ sinmx -+-...; voici maintenant, la possibilité du développement admise (*) comment se déterminent les coefficients. Le premier s'obtient en multipliant les deux membres par dx, et intégrant entre (*) Je renverrai pour la démonstration rigoureuse au Mémoire célèbre de Dirichict, sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à repré- senter «une fonction arbitraire entre des limites données {Journal de Crelle, tome 4> P- 137 )• 35o CALCUL INTÉGRAL. les limites zéro et 271; ayant, en effet, cosmxdx — o, j sinmxclx — o, 0 Jo il vient ainsi \dx. Jf* 27r 0 J'opère ensuite d'une manière analogue en multipliant suc- cessivement par les facteurs cosmxdx, sinnixdx; les rela- tions précédemment établies p. 348, à savoir co%mxco%Tixdx = o, I cosmxsinnxdx — o, 0 d^\ r dx' ) et la substitution conduit au résultat annoncé, les quantités A-; X^,. . . ayant ces valeurs X = A — A, w -H A^w^ — AjW^ H- , X, = — A, -f- aAjW — SAjW^ -1- . . d''% A,-^ A, - 3A3W -^. . . - î-r-7' doi qu'on obtient directement comme il suit. La fonction u étant quelconque, faisons en particulier 11 = e'"', on en conclura V = e(<"+^)^, et la relation .?"•" Am -t- A, -7- + A, --,, -H . . . -i- A„ — - ) \ ' dx 'dx' "dx") — Xv di> (P V ^Tx'^'^'Tîx' A. " dx" donne ainsi, après avoir supprimé dans les deux membres le facteur exponentiel, A + A,//4- A,A^-+-...4-A„/i" PREMIERS PRINCIPES. 353 Changeons maintenanl A en A — w, nous en concluons A -+- A,( — w -+-//) -H A,(— w -+-/[)* -t-. . . -+- A„( — w -h- A)" = .,1, -t- X^ // 4- »«<,, A* -t- . . . -t- X^ h", et l'on voit que le développement du premier membre suivant les puissances de h donne bien pour les coefficients X, JL,,. . . les valeurs précédemment obtenues. Cela posé, nous tirerons de la décomposition en fractions simples de la fraction rationnelle f{x) la transformation sui- vante de l'expression e'^f{x). Soit, à cet effet, en désignant la partie entière parF(ar), ^ ^^x—a ^{x — ay ^[x — a) «+i ' ou plutôt, après avoir modifié convenablement les constantes A|, Aj, . . . , An, /(x) = F(.r) + 2A(x-a)-'-t-ZA, ^^ -4-...+ 2A,. ' ^^/ ;' je ferai, d'après la remarque précédente, .-rA(x-<-+A/<"7"^"'-^...-^A/^("-"^-1 L ^ dx " (Ix" J Or, en ajoutant membre à membre les relations de même na- ture qui correspondent aux divers groupes de fractions simples, on trouvera cette expression : e'^f(x) - e^-'F{x) -t- lX[&^{x - «)-'] + 2,1,, ^ [e<"'(x -«)-'] -t- . . . fi"' OÙ les quantités -^ — se montrent comme ayant, à l'égard de la fonction transcendante e"'f{x), le même rôle d'éléments sim- ples que les fractions par rapport à la fonction ration- X ^^ ce 1" Partie. 23 354 CALCUL INTÉGRAL. nelle/(^). Il en résulte que l'intégrale i e'''f{x)dx se trouve exprimée d'une part au moyen de celle-ci 1 e'"'=F{x)dx, pré- cédemment obtenue, p. 258, sous celte forme : en second lieu, par les expressions également explicites et enfin par la quantité où figure au fond, comme nous allons voir, une seule et unique transcendante. Soit, à cet effet, pour un instant çp(3 en faisant on aura d'où ,./f!^^ z — w(^ — «)) r e'^^"-"'^ dx ■- ■■ j X ~ a r&'^dx et par conséquent / /e'"'^ dx '- = 1Xe'"'vi\y>[x — a)\ X ■ Cl /e^dz 5 si l'on fait e' = x, prend la forme et reçoit la dénomination de logarithme intégral. On a démontré l'impossibilité de la représenter par des com- binaisons en nombre fini de fonctions algébriques, loga- rithmiques et exponentielles, d'où résulte qu'on doit l'en- PREMIERS PRINCIPES. 355 visager comme un élément analytique sui generis, dont la notion première s'est offerte, ainsi que celle des transcen- dantes elliptiques et abéliennes, par la voie du Calcul inté- gral. Elle a été l'objet de nombreux travaux, mais nous nous bornerons à mentionner à son égard une propriété singulière qui en montrera le rôle daps l'Arithmétique supérieure. Elle j donne approxi- mativement la valeur N du nombre des nombres premiers compris entre a et 6, l'approximation étant d'autant plus grande que b est plus grand par rapport à a, et étant ainsi ca- ractérisée que la limite du rapport de l'intégrale au nombre N est l'unité pour b infini. H. Il existe une infinité de cas dans lesquels l'intégrale I e*^f{x)dx s'obtient sous forme finie explicite; il suffit pour cela que les diverses constantes X s'évanouissent. ' J'ajoute que ces conditions sont nécessaires si l'on veut que €!^f{x)dx s'exprime au moyen d'une fonction rationnelle /• multipliée par e". Il est aisé en effet de reconnaître l'impos- sibilité d'une relation de la forme suivante : x- a ^ ' ^{x) étant en général une fonction algébrique, car en faisant X = a -\- h, et développant suivant les puissances croissantes de h, le premier membre contiendra la quantité xe^'logh, et aucun terme logarithmique ne pourra dans l'hypothèse admise provenir du second membre. On voit par là toute l'impor- tance des constantes JU; aussi nous allons en donner une dé- termination nouvelle, en déduisant à la fois et directement de la formule <7""/(x) - 6'"^F(j:) ^ lJc[t''''(x - a)-'] -+- i:a.,, f [e"'{x — a)-'] -f- . . . dx le groupe des coefficients «l., ,.1.,,..., ^i^n. a3. 356 CALCUL INTÉGRAL. Soit à cet effet x=:a-\-li; développons, comme tout à l'heure, suivant les puissances croissantes de h, et, en n'écri- vant que les puissances négatives, posons A dh ^'~diî^ , e"*/(« + ^0 = A/i' d'où, par conséquent. Or, dans le second membre, les termes en t» t^v peuvent provenir que de la quantité e""'( x ~ a)-^ et de ses dé- rivées, qui donnent, en effet, en négligeant les puissances positives. ne dx [e'"'(^ — «)-'] =e'' dh d^r' die attendu que la dérivée de h par rapport à x est l'unité. L'ex- pression suivante e"« ( X/i-' H- JU, dh-' d^h-' -dh'^'^'~dië~ ■) représente, par conséquent, la portion du développement du second membre qui renferme les puissances négatives de h, et l'on voit qu'on a cJl> -= A, Jlfl, = A,, a-lsj = Aj, . . . . Soit, par exemple, et prenons on multipliera le développement de l'exponentielle ^{a^b)h ^^^{^a-^b)h^{a-^bY par la quantité /(/'] abh^ iibh PREMIERS PRINCIPES. 357 ce qui donne '' ^ ' abh^ . %ab Or le terme en -t manquant, nous sommes assurés que l'inté- grale est possible sous forme finie explicite; on a en effet Aw»)x(, _ ±.\(, _ lV/:^ ^ e(-*)^ r ' _ ' ] , J \ (IX ) \ bxj \_a -+- b abxj et l'on trouvera semblablemenl J \ ax a^xy \ bx b^x' J a -^ b 'là'b' X Q.fi'b'' (lx\_ x J [_a-hb abx à^b'x^ a'6'x^J III. J'ajouterai succinctement, en vue des intégrales / co&(àxf[x)dx, I sinoixf(x)dx, les conséquences auxquelles conduit la relation générale e'-^f{x) = e"'F(x) ^ lX[e'"^x-a)-']-h..., lorsqu'on y change m en wy'-"'» En supposant pour plus de simplicité que dorénavant co soit réel, ainsi que/(:r) et les quantités a, je remplacerai les coefficients X, Xi,... par X -f- X' v^— I, Xt + X\ \/— 1 , . . . . Cette équation donne alors les deux suivantes : coswx/(.r) = coswxF(x) -i- 2Jt[c0SMx(x — a)''] — 2;X'[sinwj:{x — «)"'] ^Jcosu>x{x-a)-^]-lX\^\ XX, -J- [cosux(x— «)-'] — 2X', ;^[sinwjc(x — rt)-'] sinwa:/(x) = sinMj:F(j:) 4-2X[sinwx(j: — «)-'] -j- 2X'[co8wx(x — a)"'] -)-2X, ^ [sinwx(x — a)-'] -f-iX', — [coswx{x — a)-'] 358 CALCUL INTÉGRAL. On voit donc que les intégrales / C0S(iixf{x)dx, j sinMxf{x)dx s'expriment en général par les transcendantes rdx /COS()iX(fx /^smMxrL X — u J X — a qui elles-mêmes se réduisent à celles-ci : /cos zr/z Csm zdz z Nous voyons aussi qu'on obtiendra à la fois pour l'une et pour l'autre des valeurs sous forme finie explicite, lorsque les di- vers coefficients X et X' s'évanouiront. Or, X + JU' sj— i étant le coefficient de ^dans le développement de il en résulte qu'en supposant réelles, comme nous l'avons admis, les quantités w et a, ainsi que la fonction /(a?), X et X' seront aussi, à l'égard des fonctions cosaihf{a-+- h), sin(ahf{a -{- h), les coefficients des termes en t- n Soit, comme application, l'intégrale /*/ sin(7j:\ / , sinè.r\ , I I cosax j ( cosbx y — j dx, j'écrirai d'abord f 8max\ [ . smbx\ 1 1 co^ax I co&bx = 1 \ ax j \ bx J = cos(fl H- b)x I y— J — sin(«-f- b)x- cos abx a-b abx PREMIERS PRINCIPES. SSq et nous serons conduits à une combinaison linéaire des quatre quantités /cos{« H- b)xdx /'sinfa -t- b)xdx /*cos (a — b) xdx rûn{a — b)xdx — ^^ — 'j — ï — 'j — ^^^ — v — - — dont aucune ne peut s'obtenir, l'expression proposée s'expri- manl néanmoins sous forme finie explicite. Supposons en effet, dans les formules précédentes, /(^)=^' w = a-H6, on aura cos( a-^b)x_ . ,8m{a-^b)x d foisia -h b)x'\ x^ ~ ^ X dx\_ X J , puis, en changeant b en — b, COS{a — b)x _ ,.sinla — b)x d rcos(ff —b)x'\ X* '^ ~ ^ ~ ' X dx\_ X J * Il en résulte, en intégrant, J L — x^ — +(«+*) — - — yi^= — ' /*rcos(fl — b)x ,. sin(g — ^) j"| . _ (io%(a—b)x et par conséquent ce résultat r( sinfif:r\ / , sin^xN , a M coiax j I cosox -. — j dx _ 8in(a-4-A)j: cos(g -Jrb)x ~ a -i- b abx s\n{a — b)x cos(« — b)x a — b abx C'est le cas le plus simple d'une proposition générale con- cernant les réduites successives .r 3.r i5x— jr* 7' r=^' 75 -6x»'"" 36o CALCUL INTÉGRAL. de la fraction continue de Lambert \ tang.r = P Soit en gênerai ^ la n'*'"' réduite, P et Q étant des polynômes entiers en x, et posons , , Pcosa: — Qsinj? ¥(-^)== '^ ' l'intégrale / Q^{ax)(!^{bx)dx pourra toujours être obtenue sous forme finie explicite. La fonction ), il en résulte qu'en faisant pour un instant çp(^) = / e*""^ cot - xdx, l'intégrale I €'•"'/ {sinx, cosx)dx sera exprimée, d'une part, par la somme ;3le"Xa7 - a) + l^e"-?.)) (^ — P) -t- . . . + 1*^"^? (:r - >), PREMIERS PRINCIPES. 363 et, de Taulre, au moyen de fonctions explicites de la variable. Les conditions % = o, l3=:o, ..., § = o sont donc suffi- santes pour que la partie non explicite disparaisse, et la valeur même de l'intégrale sera connue au moyen des divers coeffi- cients ^,, %2, . • . , Î3i, IB2, Il importe donc d'en avoir une détermination directe, et on l'obtient comme il suit. II. En ayant en vue, pour fixer les idées, le groupe des quantités Jt, J3t,, . . • , J3l„, nous ferons x = a-\- h dans la fonc- tion proposée, et développant suivant les puissances ascen- dantes de //, nous représenterons les termes affectés des puis- sances négatives de cette quantité sous cette forme e"-(«+»)/[sin(a -f- //), cos(a -h /i)] \ ' dh ■■^^'' dh" Or la relation c*^/(sinx, cosx) = e'"n[x) -+- % \e'^ cot - {x-x)] -^ ^, 7- rf?'"C0t-(.r - a) 1 +.. montre que, pour x = oc-h h, la partie suivante du second membre, savoir j3l[6'-COti(x-a)J + j3t.^[e-COli{x-a)]+... sera seule à donner des puissances négatives de h. Maintenant on trouve e""cot- (x-a) = e-* fy -1-20) — ^+...V 1 ' \n 6 / puis, abstraction faite des puissances positives, d'à-' ^[.-COti(x-a)] = 2C" dh" la dérivée de h par rapport à x étant l'unité; nous en con- 364 CALCUL INTÉGRAL. durons que l'expression le'' (^.-..3i/^.....:^/-^) représente dans le développement du second membre tous les termes contenant des puissances négatives de h, de sorte que l'on aura 2 ' 2 ' "2 Pour faire une application de ce résultat, nous considére- rons la fonction e(a+*K {a-~^ COt^^ fé - i COt^") , qui devient infinie pour la seule valeur ar = o, de sorte qu'il suffira de la développer suivant les puissances ascendantes de la variable. Or on a [ \ x\ l n \n cot — ) =: ( I H- ax -\ \ 1 -x) \ 2 I T-4-6«' t X \ ~ ->ra-\ h. . . X 11 J X 12 X- et pareillement 1 1+6^»' \ 2 2/ X d'où, en multipliant membre à membre, ^(0+*)' (a _ 1 cot-Vè - - cot-^ = -^ + . . . . \ 2 2/\ 2 2/ X^ Le terme en - manque, amsi A = o; mettant ensuite — sous la forme X d{x-') dx j on en conclut A, = — i ; par conséquent Maintenant nous devons calculer la partie entière n(ar) de la fonction [a cot - 1 \b cot - I \ 2 -i.) \ 2 %) PREMIERS PRINCIPES. 565 nui est simplement une constante. Or on a, d'après la règle établie, p. 828, 0=('.-î/-)(*-ï>/^). H-^(„-iv'=T)(i-i^-); donc n(x = =ab- 7, et nous obtenons, en conséquence, la relation d'où cette expression sous forme finie explicite de l'intégrale du premier membre, savoir /c<.^..(„-ieoti)(*-ic«.î)^=.<-[|^-lc„.f]. Ce résultat est le cas le plus simple du théorème suivant, au- quel nous serons amenés dans la seconde partie du Cours. Soit, en désignant par n un nombre entier quelconque, F{a:) = (X - irior + I)- ^„ [(X - O-tx -+- 1)"-], il est aisé de voir que F(a;) est un polynôme entier en x et en a du degré n; cela étant, je représenterai par ^{x, a) ce qu'il devient en y changeant x en xsj—i et a en a\j — i, sup- pression faite du facteur [\j— i )". On aura ainsi pour n = i §{x) = 2(x — fl), pour n = 2 5f(x) = 4{3j:'-3«x + a'-i-i),...; or l'intégrale 366 Calcul intégral. ou encore celle-ci, qui s'y ramène, re(«+*)'#(cotjr, a)^{cotx, b)flx, s'exprimenl toujours sous forme finie explicite. X-l-30 f[smx, cosx)f^{x)dx. - 00 I. Je supposerai que /(sin^, cos^) soit une fonction ra- tionnelle de sin^ et cosor, et/,(;r) une fonction rationnelle de X sans partie entière; faisant ensuite, pour abréger, ff{x)=f[smj:,cosj:)f^{x), nous éviterons la considération de l'infini à priori, comme il s'offre dans l'expression proposée i a(x]dx. en la remplaçant par celle-ci rf{x)dx, et cherchant sa limite lorsqu'on fait croître indéfiniment e et 73. En adoptant en outre pour ces quantités ces formes particulières OÙ m ei n sont des nombres entiers, je me fonderai sur une transformation remarquable et importantequi a été donnée par Legendre dans les Exercices de Calcul intégral, et par Poisson dans son Mémoire sur les intégrales déjinies {Journal de l'É- cole Polytechnique, XVIP cahier, p. 63o). Elle consiste à dé- composer l'intégrale en une somme d'autres de même forme dont les limites soient des multiples consécutifs de 271, en PREMIERS PRINCIPES. 867 écrivant J»-r-2(n-i'i)T /-»— Q(m — i)7r — 2/«;r V — imn -(- I / (f(z-i- 2kn)clz, -imn , ^^ Jo k ~ - m /-t-a(/i-t-i)7r /• 27r (f{x)clx ■= j ^[x)(ix, ou encore -a(/i-t-i)7r en posant (^ -f- 27r) — $(^). Or cette transformation donne la valeur de l'intégrale définie proposée; je dis, en effet, que O(^) s'exprime par une fonc- tion rationnelle de sin:r et cos^ lorsqu'on suppose, comme nous l'avons admis, (p(x)^/(sina7, cosj:)/,(j;). II. Je me servirai pour le faire voir de la formule suivante, qui sera démontrée dans le Cours de seconde année, savoir * = + /! I , X I, n X -h TV X — n - COt - H lOS 1 : 1 r f- • OÙ les termes non écrits contiennent en dénominateur le carré et les puissances plus élevées de m et n. Elle fait voir que la série du premier membre appartient à l'espèce des suites semi-convergentes, de sorte qu'elle ne représentera - cot - qu'en supposant le rapport — égal à l'unité pour m et n infinis. Mais, en général, soit 1 la limite de la constante I tn — log— lorsqu'on fait croître indéfiniment m et n, ce qui 27: Al ^ donnera k = + n "■^ ' I .^ . = - cot - -f- A ; ^U X -+- aX-TT 2 2 ^ = - m nous remarquerons que cette quantité disparaît dans l'expres- sion des dérivées successives du premier membre, qui sont ainsi des séries absolument convergentes, dont la formule nous donne les valeurs, à savoir *=+«,, , , , rfcot- ^ = + «^, , ^ , ^*cot- ^ r:/(^ H- 2A-7r)-' __ I 2 '%^ (V\X ^ %k%) ^ _ l 2 ^ dx ~ % dx ^ ^ dx^ 2 dx^ Cela étant, il suffît d'observer qu'ayant, par la décomposition PREMIERS PRINCIPES. 369 en fraclions simples, OU plutôt on en conclut sur-le-champ I •^ . rfcot|(.r— z) 2/.(x + 2X-7r):.x2A-f-:^2^'^4(-'-='^-^î2^' dx il d"coi'j{x — 2I 2^ " d;r" Nous obtenons ainsi une fonction rationnelle de sin^ et cosr ; or, ayant (^), nous en conclurons f [sinx, cosx)f^{x)dx ^ n{x)f^{x)dx-+- U>[x)f^{x)dx- or la première partie Jn[x)f^[x)dx nous est déjà connue, et il a été établi (p. 358) qu'elle s'exprime au moyen de fonctions explicites et des transcendantes / COS r?ixdT /* ^ — a ' J sinmxdx m étant un nombre entier, et les quantités a désignant les ra- cines du dénominateur de/,(^) égalé à zéro. A l'égard de la seconde intégrale j , dcotUx — a) ^ . d^cotUx — a) dx ' dx" TREMIËRS PRINCIPES. 3'] l dans les suivants : r„, ,d''cotUx-a) , rd"'ix — a)-'d''col\{x — a), I ¥(x) \^ ' dx, I -r— V-n -dx. J ^ ' dx" ' J dx"' dx" On lire enfin de l'intégration par partie, c'est-à-dire de la re- lation (p. 257) une dernière réduction donnant, d'une part, des fonc- tions explicites de la variable et de l'autre les intégrales /• I , .d''¥{x) , r .'/ ,d'"*"{x — - o, la partie entière qui était tout à l'heure une constante n'existe plus, et la décomposition en éléments simples donne l'égalité COt-(x — a f^ = XC0t-(x — a)-i- Acot-UC — <7) 2 ^ dx" 2 ^ ' 2 ' . dcotUx — a) H- A,- ^ dx . d" cot\(x — a) ■^" TÛ" ' PREMIERS PRINCIPES. ^75 d'où Or la relation générale établie p. SaS, X H- \ft) -f- . . . -H 4L= ^-^ V/^. conduit, dans le cas actuel, à la condition X-\-A.= o, les quantités G et H étant nulles quand n est égal ou supérieur à l'unité. Ayant donc immédiatement , /-/"COtKa— rt) -^^ d^^ ' on en conclut la valeur suivante : J cot-(x-a) ^„ c^x=27r ^, [(*)-(«)JV-«- Mais le cas particulier de a — a fait exception, car alors on doit poser COt-{x-a) ^„ XC0t-(x-a)-f-JW, — -.-... or un calcul très-facile donne X = o; l'intégrale, dans ce cas, est donc toujours nulle, sauf le cas unique de n = o, ou la relation .J I , , ffC0l\{x — ce) col' -Ix— 3C)= — I— 2 ^ 2 CtX conduit à la valeur I col*- [X— X)clx ~ —117. 0 2 V. Pour passer des résultats que nous venons d'obtenir aux 376 CALCUL INTÉGRAL. valeurs des intégrales /*-*-°° cosmxdx /"-+- * smmxdx J-00 ^ — « ' J_oo x—a / cot - (^ — a ) V f^-^, il ne nous reste plus qu'à considérer le coefficient de l'indé- terminée >, afin de reconnaître si elles ont, en effet, une va- leur entièrement déterminée. Or, à l'égard des deux premières, les facteurs J<» 271 /» 27r cos m xdx, I sinmx dx 0 i/o étant nuls, ce coefficient s'évanouit, et nous avons par consé- quent C^"^ c,0%mxdx I /'27r , / — ■—- I cosm X coi - (x ~ a)dx =*7c\/— le^^-', J—cc ^ — a-ijQ 1^ ' " ' C^"^ énmxdx i f* . i, ,, ^. / = - / sinwxcot - [x— a)dx = Tce"""'-' OU bien r~^'^ cosmxdx , — - „„./-T C ~'~°° %\ximxdx J—oo ^ — ^ -ma v'— 1 suivant que le coefficient de s/~ i dans a est positif ou négatif. Relativement à la troisième intégrale, la quantité r "^^ I / COt- [x — OL]dx Jo 2 est toujours différente de zéro ; mais l'autre facteur, qui est l'unique résidu de — , est nul pour toute valeur de n, sauf dans le cas de n = o; l'intégrale comx—a)dx /_■ PREMIERS PRINCIPES. 3'J'J esl donc seule indéterminée, et l'on a généralement j_«. <^oi-{^-.)-—^^^r-^ = ^ ±ii [(a)-(«)]v/-i. Observons enfin que les constantes a et a doivent être imagi- naires pour que les quantités -7 cot-(j: — a) X — a 1 ne deviennent point infinies entre les limites des intégrations. Une exception importante est toutefois à remarquer; elle con- cerne l'intégrale /*-*-«" sin/i/x , la fonction restant finie pour x = o. La valeur qu'on r obtient alors, savoir offre cette circonstance, qu'il est aisé d'expliquer, d'être in- dépendante de m. Effectivement, si l'on fait mx = z, m dis- paraît, et l'on trouve J-OO ^ c/-( sinz , dz. z La même substitution permet semblablement de ramener les intégrales * s'mmxdx où m esl non-seulement un nombre entier, mais une quantité réelle quelconque, au seul cas de m = i, car on en déduit /-^'» cosmxdx _ Ç-^ -00 x — a ~J_, * coszrfz 378 CALCUL INTÉGRAL. et /'•+-* smmxdx __ Ç °° sinzdz Mais, en donnant, comme nous l'avons fait, à la transformée en z les limites — 00 et ■+- 00 , nous avons supposé implicite- ment m positif, et dans l'hypothèse contraire les limites doivent être interverties, de sorte qu'on aura alors smxdx ■ = — TT. De là ce fait remarquable et important en Analyse, que l'inté- /* ~^ ^ s î n nx X dx grale / 5 envisagée comme fonction de m, est constante et égale à + u ou à — ;:, suivant que la variable est positive ou négative. Mais voici encore d'autres exemples de fonctions discontinues obtenues sous forme d'intégrales défi- nies. Considérons les expressions 'sin«a:sinèx , (* €\x\.ax%\\ihx'&\VLCX dx. a? que je vais d'abord réduire par la méthode générale à des quantités explicites et aux transcendantes /cos/nxdx rûnmxdx X '' J X Faisant, à cet effet, pour un instant U = ûnax&\nbx, V = ûnax iinbx %mcx^ j'aurai d'abord et les identités aU = cos(a — 6).r — cos(a-t- 6)^, 4V = sin(a -t- 6 — c).r -I- 3in(è -t- c — a)a: -r- sin(c -^ a ~ b)x — sin(a -^ b -+- c)x PREMIERS PRINCIPES. 879 donneront immédiatement 2 — = —(a — b)sin{a — b)x-^{a-h b)s\n{a -h b)x, 4 -— z- — [a -^ b — cf 9,\n{a ■+■ b — c)x — [b -^ c — rt)' sin [b-^c—o)x — (c -t- a — i)' sin (c -r- a — i) or -H (a -f- i -+- cf ç,\r\[n -i- b -r- c) x . Nous tirerons de là, en observant que les quantités en dehors des intégrales s'évanouissent aux limites :r — — oo,^-- + co, ^maxûnbx ,_ a~b /*"^°° &\Xï[a — b)x , X~*"* sinrtxsinAj: . _ a~b Ç^ -00 ^" ^^^ a J-: a-^ b C'^'*^ ?,\n{a-¥^ b)x j ' ax\ l or, « et 6 étant positifs, on en conclura, pour a- — 6"> o, /■•"^* sinfl'.rsin Aa: , a—b a -\-b , I (IX = Tt -^ TT — ot:, et pour a — 6 << o, * X~^^ sinax sinbx , a — b a -^ b ■ fix = 77 H Tz — air : -» ^ 2 2 de sorte que l'intégrale a pour valeur le produit par tt du plus petit des nombres a et b. Maintenant la relation * sinflxsiné^sincx , — ax J-00 ^ _ {a^O — cY Ç-^^ sin(^-t- b — r)x {b -+- c — aY r~^^ 8ïn(b-h c — a)x 8 J_oc ^ (c4-«-6)' /'"+■* sin (c -(-« — é)j: £ 8 J_ao -^ {a-h b -^ cy /*"+"* sin frt-i- A -f-c)x ^jr o, b-hc — a'^o, c -f a — è>o, sera la quantité [lab -\-'i.bc -+- %ca — à^ — P- '4' tandis qu'en renversant le premier, le second ou le troisième signe d'inégalité, elle aura pour valeur «ôtt, bci: ou aci:. Les hypothèses faites sont d'ailleurs, comme on sait, les seules possibles, en admettant que les constantes a, b, c soient posi- tives. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 38l APPLIC4TI0NS GÉOMÉTRIQUES CALCUL INTÉGRAL. Remarques préliminaires. I. Les applications du Calcul intégral à la Géométrie devant conduire à employer les diverses méthodes qui viennent d'être exposées pour la recherche des intégrales indéfinies, nous allons en présenter un résumé succinct, en nous limi- tant à ce qu'elles offrent d'essentiel. En premier lieu, à l'é- gard de ces expressions I f[x)djc, I f{s\nx,oosx)dx, / e*"/(jr) Y -f i entre donc au carré dans P, et l'on aura P=±n^O, Il désignant le produit d'autant de facteurs linéaires qu'il y a de tels points (*). Je ne m'arrêterai pas à faire voir comment, ayant obtenu la quantité P, on peut en déduire les polynômes II et $ ; je remarquerai seulement que l'ordre de la polaire d'une (*) Voir sur cette question dans l'Ouvrage de M. Salmon, A treatise on the Hi- ger Plane Curves, la Section IV, General theory of multiple points and tangents. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 385 courbe d'ordre n étant n(rt — i ), on a, en désignant par rf et ô les degrés de n et $, la relation arf-+- 5= n[n — i). De là se tire en effet une détermination nouvelle et facile du nombre des points doubles d'une courbe unicursale déjà ob- tenue p. 249» 6t qu'à cause de son importance pour notre objet j'indiquerai succinctement. Reprenant le calcul de l'en- veloppe des positions de la droite variable a;X -4-7 Y -h i = o dans l'hypothèse où la courbe F{a7, 7') = o est unicursale, j'exprime x et / en fonction rationnelle d'un paramètre par les formules - £ - ^ •'- yv' '^~ w' U, V et W étant des polynômes du n'*"^ degré en 0. L'équa- tion de la droite devient ainsi UX-(-Vy-H W = o, et sa dérivée par rapport à 0 donne U'X + V'Y-+- W'=o. Or on en lire ces expressions, dont nous ferons usage plus lard, VW'-WV WU'-UW\ ^- UV— VU' ' UV'-VU' ' elles montrent que la polaire est elle-même unicursale, et comme les polynômes UV— VU', VW-WV, WU'-UW sont du degré 2( n — i ), elle est d'ordre 2 (n — i ). Faisant donc d = 2( n — i), dans la relation arf-+- à = ii[n — 0, on en conclul V Partie. «5 d=l{n-i)[n-i\ Fig. 3i. 386 CALCUL INTÉGRAL. III. Nous savons qu'à l'égard d'une courbe quelconque rap- portée à des coordonnées rectangu- laires y'z=f{x) [fig. 3i), l'intégralo f{x)dx représente le segment PQRS compris entre l'arc PQ, l'axe Ox et les ordonnées PR, QS qui corres- "^ pondent aux abscisses x,, et x^. Nous avons vu aussi qu'en faisant .r = 9 (0), yzzz'i^{Q), la même quantité est donnée par l'intégrale 1 ^{9)c^'{9)d0, sous la condition qu'en faisant croître 9 de a à j3 les expressions de .r et j donneront tous les points de l'arc PQ. Je considérerai maintenant, en conservant la même variable auxiliaire, une courbe fermée [Jig.Zi) qui soit dé- crite en entier, et une seule fois, à partir du point M, dans le sens MNP, 9 croissant encore de a à (3; supposant en outre qu'elle ne se coupe point, et qu'à une même abscisse correspondent seulement deux ordonnées, je vais établir que l'aire comprise dans l'intérieur de la courbe est représentée par l'intégrale / ']i{9)(s^'{9)dQ, changée de signe. Soient N et P les points limites dont les ordonnées NR et PS sont des tangentes; considérons successivement les arcs MN, NP, PM, et supposons que le premier soit décrit en fai- sant croître 0 de a à 0o> le second de 0» à 0,, et le troisième de 0, à [3. Les segments MNQR, PNSR, PMSQ sont donnés, comme on vient de le dire, par les intégrales Fig. 32. y \ \ / / f p M/ y 0 s y 1 l X Jk Jo, Jo, APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 887 et ron aura, par conséquent, PMSQ -f- MNQR - PNSR =- r |{ô)?'{e)^/ô-+- T ' ^{B)tf'(Q)dO y*. Or le premier membre de celte égalité est, sauf le signe, l'aire de la courbe; et, si nous intervertissons les limites pour remplacer dans le second l'intégrale — r '^{9)?'(®)^^ par -+- f '^(Q)tf'[Q)d9, on pourra l'écrire ainsi : Jk Joo 'Jo^ c'est-à-dire simplement ''%(9)T'(e)r/9, comme nous voulions l'établir. Considérons maintenant le cas général où les relations X = 9(0), _y=vp(0) donnent, en faisant croître 0 de a à (3, une courbe pouvant se couper elle-même un nombre quel- conque de fois, et qui, en supposant uniformes les fonctions cp(0) et 'i^{Q), soit décrite à partir d'un point donné et en re- venant à ce même point, d'une manière entièrement déter- ée. La signification de l'intégrale/ 4'(^)?'(^)^^ ^s*- J «. alors l'objet du théorème suivant, dont l'énoncé m'a été com- muniqué par M. Bonnet, qui l'a tiré de plusieurs passages des OEuvres de Gauss. IV. Soit, pour fixer les idées, la courbe représentée par la Jig. 33, où l'on voit trois points doubles et quatre aires limi- 25. minee. 388 CALCUL INTÉGRAL. lées différentes, désignées par A, B, C, D; l'intégrale définie Pi 33 proposée sera une combinaison linéaire de ces aires partielles multipliées respectivement par des coefficients entiers qui ré- sultent de la loi suivante. Concevons un point mobile — ^ — ^ décrivant en entier la courbe, et considérons-le dans une po- sition quelconque, par exemple en n, sur une des limites de séparation des deux aires contiguës B et C. Le sens du mou- vement étant connu, on donnera à l'aire de droite un coeffi- cient plus élevé d'une unité qu'à l'aire de gauche; si, en outre, on convient d'attribuer le coefficient zéro à l'espace infini qui est en dehors de la courbe, ils se trouveront tous, comme on va voir, déterminés de proche en proche. Effectivement, soit m le point de départ, et supposons l'espace infini à droite de la direction du mouvement, le coefficient de A s'obtient im- médiatement et a pour valeur — i ; mais ceux des aires B et D qui s'offrent ensuite restent inconnus, et il faut arriver à la portion C contiguë à l'espace extérieur pour obtenir une nouvelle détermination, à savoir — i. Parvenu ensuite sur la limite de séparation de A et B, la loi posée assigne le coeffi- cient — 2 à l'aire B, placée à gauche de l'aire A, qui a déjà le facteur — i. Après on trouve le coefficient — i pour l'aire D, de sorte que la combinaison représentant l'intégrale définie est — A — 2B — C — D; et si nous continuons de décrire la courbe jusqu'à revenir au point de départ, nous ne fe- rons qu'obtenir des vérifica- tions des valeurs déjà calcu- lées. Pour donner un second exemple, considérons cette - autre courbe (^g". 34), où se trouvent six portions limi- tées A, B, C, D, E, F, et supposons que, à l'origine en m, l'es- Fig. 34. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 889 pace inlini soit à gauche de la direction assignée au point dé- crivant. La combinaison résultant de la loi des coefficients des aires est A-H2B-+-2C-+-E-F, et l'on observera que l'aire D n'y figure pas, son coefficient étant égal à zéro. Enfin, et en dernier lieu, je remarquerai cette conséquence relative aux courbes fermées n'ayant pas de points doubles, mais pouvant être coupées par une droite en un nombre de points quelconque, c'est que leur aire est r^ représentée au signe près par l'intégrale / I,, ab X -h \/x'^ — (i^ b A = - A' — ^ log 1 X x/x'-'— «-'-T- C. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. SgS Supposons celle aire compiée à pariirdu sommei; on devra avoir A = o pour x = a; il en résulle C = o, et par suite AMP^-^log^ /^ H X y/jc' — a*. a ia Ici, comme pour le cercle, la figure donnera la signification pj 3g de la partie transcendante (^g-. 36); ayant en effet 1 '' in ^ on obtiendra pour le secteur AOM la valeur \Jx' AOM = OMP - AMP - — log - 2 Remarquons enfin que, l'équation de l'hyperbole Fig. 37. devenant celle de l'ellipse lorsqu'on change b en •. et le ra- v-i dical sjx'—a} en \j—\ \Ja'—x^, on obtiendra l'aire de l'el- lipse en effectuant le même changement dans celle de l'hy- perbole. Celte correspondance analytique se retrouve en Géométrie à l'égard du cercle et de l'hyperbole équilaière. Considérons dans cette dernière courbe rapportée à son centre et à ses axes les secteurs OMP, OM'P {Jig. 37), et désignons par N le mi- lieu de la corde MM'. Une parallèle à la direction ON, menée par le sommet de gauche P', rencontrera l'hyperbole en un point M" tel que les deux secteurs OM'M" et OMP soient égaux en surface, ce qui donnera la relation OM'P = OMP -t- OM'P ; 394 CALCUL INTÉGRAL. or, en faisant la même construction dans le cercle rapporté à son centre, c'est-à-dire en menant par l'extrémité P' du Fig- 38. diamètre une parallèle P'M" à la di- rection ON perpendiculaire sur le milieu d'une corde quelconque MM' [Jig. 38), on reconnaît immédiatement l'égalité des arcs MF, M' M", et par conséquent des secteurs auxquels ils servent de mesure. II. Je donnerai un exemple de l'emploi des coordonnées polaires pour la détermination des quadratures, en considé- rant les courbes du second degré rapportées à leur centre, et ayant pour équation Aj*-f- aB.rj h- Cj:^— i. Faisant en effet d'où X = p cosw, jr = p sinw, " Asin^M -(- aBsinwcosw -H Csin'^w ' on aura à intégrer fiw 'w -H 2Bsin&)Cosw-f- Csin^w Posons, pour décomposer en éléments simples, Asin^w -I- aBsinwcosw -i- Ccos'w = Nsin(w — x)sin(w — p), on aura les conditions suivantes : A = Ncosacosp, 2B= — N(sinacosp -+-sinpcosa), C = Nsinasinp, qui donnent aisément 4(B'-AC) = N^sin^(a- p), et nous observerons que tanga et tang[3 sont les racines de l'équation du second degré il APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 3g5 Cela posé, on a immédiatement I I Asin'w-t-aBsinwcosw-t-Ccos^w Nsin(a — p) d'où [cot(w —a) — cot{w —p)], L flw I , 8in(w — a) log Asin'w -H aBsino) cosw -i- Céos^w Nsin(a~f5) ^sin^w — p) Considérons en particulier le cas de l'ellipse où B*— AC est négatif, de sorte que langa, tang^ et, par conséquent, a et ^ sont imaginaires conjuguées. Soit donc a. — a ->t- b}/—ï, p — a — b)/—i, b étant supposé positif; nous déterminerons le signe du fac- teur constant Nsin( a — (3) en remarquant d'abord que le sinus sera le produit de y^— i par une quantité du signe de b, et par conséquent positive, puisque N, d'après la relation A = Ncosacosp, sera du signe de A et positif. On a donc Nsin(x- P) = 2v/AC -B^Z-i, en prenant la racine carrée en valeur absolue. L'intégrale définie 2 c/o tlw A8in*6> H- aBsinwcosw -t- Ccos'w qui donne l'aire totale de l'ellipse, peut se réduire aux limites zéro et tt, par celte décomposition X =x ^'^ fh^ Asin^w -t- aBsinwcos(*> -t-Ccos^w Asin'o) H- aBsinwcosu -+-Ccos''w =*" fltù Asin'w -f- aBsintocosw -+- Ccos'w SgÔ CALCUL INTÉGRAL. en posant, en effet, W = W, -I- TT, on trouve immédiatement J^ Asin^w -f- aBsinwcosw -I- Ccos'w Jq Asin^w, -(- aBsinw, cosw^-f- Ccos'w, L'aire de l'ellipse étant ainsi représentée par la quantité ; , / COtfw — ot.]dui~ I COt(w — S)f/wl, nous emploierons la formule établie p. 334 COt - (.r — « — b^ — i)dx— 2 7r(é) ^— i ; 0 ^ or, en faisant ^ = 2w, et remplaçant « et 6 par 2 « et 26, on en tire / COt(w — u — ù\/ — i) r/w = 7r(è) y/— 1, et, par conséquent, puisqu'on suppose b positif, JCOt ( w — (7 — è y/— f ) doy — / COt [k — a -h b \/— i)doi ~ aTz yj — i ; nous avons, par suite, cette valeur : 2 / Asin^ r/w w -t- 2B sinw cosw -f- C cos''w »/AC — B^ qui est remarquable en ce qu'elle donne, au moyen d'une in- tégrale définie, une expression rationnelle en A, B, G du ra- dical -■. dont on fait usage dans plusieurs questions y/AC-B^ ^ ^ ^ importantes d'Analyse. III. On parvient à un résultat beaucoup plus important en considérant les courbes de second degré rapportées à un de I APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 897 leurs foyers pour pôle. L'aire du secteur déterminé par deux rayons vecteurs et l'arc de la courbe donne, en effet, d'après la première loi de Kepler, l'expression du temps employé à décrire cet arc dans le mouvement d'une planète ou d'une comète autour du Soleil. Pour en faire le calcul dans le cas de l'ellipse, je rappellerai d'abord qu'en partant de l'équation X y on a cette valeur du rayon vecteur issu du foyer de droite de sorte qu'en faisant car X = C-r- p COS M on obtient l'équation en coordonnées polaires P = « -T- C COS w et, par suite, l'aire du secteur Soit d'abord COSw — X, on sera amené à l'intégrale do CCOSw)'  h' du [a -+■ cx)'y/i — x' et les méthodes qui la concernent conduisent facilement à cette expression /. b*dx i»c^, _.^. bs/\-x^ — 0 arc tang —^ {a-^cxY^i- x' a-r-cx Mais on aura un calcul plus simple en substituant à la va- riable w l'angle 9 (*), qui donne pour x eiy ces valeurs x=acos'^, j=ésiny. (*) C'est l'anomalie excentrique. 3g8 CALCUL INTÉGRAL. Ayant en effet p = a — — = a — ccoscp, nous en conclurons la relation a -T- ccosw d'où flCOS^ — =: a — ccos^, cosw = a — c cos tp h sin œ sin w ~ '- — j a — c cos^ et par conséquent , h (h a(ti = • a — c cos ^ Si Ton désigne par 9 et 9' les valeurs qui correspondent aux angles w et uJ , on aura ainsi S-^«èj (l -^COScp)r/'— sin^) = Q' — 0 — (sinQ'— sinO) ; il suffira de poser les deux égalités ,p'-

0, S'= Aa^ sin' sin* a ~ la sm sm Introduisons encore les deux rayons vecteurs p et p' qui correspondent aux angles 0 et 9', savoir p — a — c coscp, p'— rt — c cosq»'. En ajoutant ces égalités, il viendra p -(-p'= ia — c(cosip -H cosfp') = %n - 2ccos^ cos G' -: 0 '>• - 0 = %a — la cos cos 1 a 2 400 CALCUL INTÉGRAL. et nous aurons, par conséquent, fi'-^ 0 6'- Q.a — p — p — o.a cos cos 2 2 Or celle relalion, jointe à la précédente, 0 = 2« sin sin 7 2 2 donne en ajoutant et retranchant membre à membre, COS 9 = — 5 2. a ^, la — p — p' — S cos9 = ■ ■ 5 2<7 ou encore Sin' -B — !- , 2 2« Sin' - 9 = !- 5 2 2a Ces valeurs, que nous venons d'établir d'après Lagrange {Mécanique analytique, t. II, Note V) conduisent à la propo- sition célèbre et importante de la Mécanique céleste connue sous le nom de théorème de Lambert, IV. Considérons maintenant la cycloïde définie par les deux équations ^ = «(tp — sincp), y = a[i — cos'f); l'aire exprimée par l'angle 9 sera \ydx — a'' l [i — coscp)'rf(j), ce qui s'intégrera en observant que , ., 5 , l-^C0S2CP (l — COS'f )'= I — 2 COS^ ■+- COS^ ~ I — 2C0Sip + 3 I = - — 1 COSq) H C0S2cp. 2 ^ 2 ' APPLICATIONS GÉ0MÉTRIQ0E8. 4°* II résuite, en effet, /' (i — cosf Yfl.^ -+- Vjr, Y — ^x -{- fx'j, la relation [IlI'-il'I] Ç [ydx — xdy)= HYdX-XdY). Cela posé, soit, en décomposant en fractions simples, ABC X = y 9_a e -p 9-7 A' B' C on aura X = — a 9 — p 9 — 7 AX + A'V B).-t-B'V C)^-f-C'V 9 —a 9 — (5 9-— 7 _ Af;i + B>' Bpt + By Cfx+Cy • o-« ^ Q-p "^ 9-7 ' et nous disposerons de X, X', //, /yi' par les conditions B)>-<-BT=o, Cpt-t-C>' = o, de manière à obtenir ces nouvelles expressions •^-9^:1^^9-7' * -6r^r^"^9^r^' d'où l'on tire YdX -XdY rf9 L9-«"^9-7JL(':'-«)^"^(9-PrJ r R , s "ir p Q 1 [(^_a'^9 -bj[_(9-a)='"^ (9-7)^J" APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. ^o3 Soient mainlenani X, ift), G les résidus du second membre correspondant aux valeurs a, [3, y de la variable; les conditions pour que les logarithmes disparaissent dans l'expression de l'intégrale seront ^l> = o, ift,=:o, e = o; mais l'une d'elles rentre dans les deux autres; car, d'après une remarque faite (p. 264), on a : »Ij + ifi> 4- G = o. Nous pourrons donc nous borner aux deux dernières; or on trouve aisément R S i7-«r h-pY Il en résulte, en faisant abstraction, pour simplifier, des fac- teurs m et n, ces expressions 9 — a G — 7' dont l'une se déduit de l'autre par la simple permutation de (3 et y, et l'on en conclut facilement 1 [^ — y-Y 9-7 ' Y./Y - ' (^-^)'(7- «)' (^-7r(7-a) d'où, par suite, /(Y./X-X./Y) = (P-7r(Bi-|^) = ^S-7)«l±7i:-^Zl!. ^P ^' (&-Pne-7) 26. 4o4 CALCUL INTÉGRAL. IL Nous appliquerons ce résultat à un exemple particulier en considérant la courbe connue sous le nom defolium de Descartes, et qui a pour équation L'origine est donc un point double, et les coordonnées s'ex- priment par les formules _ 39 _ 36' qui permettent de reconnaître aisément la forme de la courbe. On remarque d'abord que pour 0 = — i , .r et j deviennent in- finis, et de là résulte une asymptote rectiligne qui s'obtient comme il suit. Supposons qu'en général, dans les équations les deux fonctions deviennent infinies pour 0 = a, et qu'en posant les développements suivant les puissances croissantes de // soient de cette forme a «'-f- a" h +. J b'-^b"h 11 est clair qu'en faisant tendre h vers zéro les coordonnées jde la courbe ont pour limites les expressions qui représentent une droite, à savoir a{y — h')— h[x — a') - o. Dans le cas particulier que nous avons en vue, on aura ainsi pour 0 = — I + /i, ce qui donne l'asymptote I X -j-t- 1 ■-= o. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 4^5 AyaiU iracé deux axes rectangulaires O^r, Oj et conslruil celte droite AB {Jig. 89), nous aurons d'abord, en faisant croître Q de —00 à —I, une branche infinie OP, parlant de l'ori- gine à laquelle elle est asym- ptote. On obtiendra ensuite une seconde branche QO par- tant de l'infini, ayant la même asymptote, et aboutissant en- core à l'origine en faisant croître 0 de — i à zéro. Enfin l'ensemble des valeurs com- prises de zéro à +00 donne la boucle ORS, les axes coor- donnés étant les deux tangentes en 0 au point double. Soit maintenant a une racine cubique imaginaire de l'unité, nous aurons, pour la décomposition en fractions simples, I a* a ,1 I I Or on tire de là ( a - - a' ) ( jr -)- a}jr) =r (a'— a) (j:-i-a j) = (,_a)» (a-a')' e -)-a et ces formules rentrent dans celles que nous avons trouvées pour les courbes dont l'aire est simplement algébrique. En effet l'intégrale /j^-^g/'-^ — ■x(i')(B If se détermine sans logarithmes, car en faisant elle devient / (9— 6/)^// _ 9 _^ 6 4o6 CALCUL INTÉGRAL. Nous en déduirons mainlenanl l'aire de la portion fermée, ob- servant qu'elle est décrite si l'on fait croître 6 de zéro à l'infini, l'espace extérieur étant à droite de la direction du mouvement. Cette aire, d'après la règle de Gauss, est donc l'intégrale 3 changée de signe; elle est par conséquent égale à -• III. L'équation des courbes unicursales du quatrième ordre s'obtient comme il suit. Faisons passer par trois points fixes P, Q, R une courbe du second ordre, dont l'équation, conte- nant deux coefficients arbitraires 1, fx, sera de la forme « -t- >f -4- p(V = O, et considérons une fonction homogène du second degré de ces trois polynômes u, v, w, qui sont entièrement déterminés en X et j. Si, en la désignant par F (m, v, w), on pose pour un moment /(^,j)=F(m, f', w), on aura d£_d^du^dYch dYchv dx du dx ' dv dx div dx dy du dy dv dy dw dy Or ces dérivées partielles s'annulent comme f{x, y) pour les trois systèmes de valeurs de ^ et j qui donnent simulta- nément M = o, vr=.o, tv = o; par conséquent l'équation f[x,f)=^ o représente une courbe du quatrième ordre ayant les trois points doubles P, Q, R. J'ajoute qu'elle les représente toutes, carie polynôme F(ï«, v, w) renferme cinq coefficients arbitraires, les trois points doubles comptent pour neuf con- ditions, et l'on a bien le nombre total, égal à quatorze, des conditions qui déterminent en général une courbe du qua- trième ordre. Cette équation obtenue, voici maintenant com- ment on en tire les expressions des coordonnées en fonction APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 4^7 rationnelle d'une variable. Mêlions F(a, c, w) sous la forme suivanle : F(tt, «', fv) = (f -+- m(v){p-h mv)-h (au -h bv -hcw)u, a, b, c, m, n désignanl des conslanles ; je dis que des huit points d'intersection de la courbe du quatrième ordre avec celle-ci, M = (p -f- m(v)0^ qui est du second ordre, un seul est variable avec le para- mètre indéterminé 6. En effet, les deux relations sont véri- fiées en posant « = o, f-+-/ij«' = o; or, des quatre solutions de ces équations, trois donnent les points doubles, el, comme nous l'avons établi, p. 2^8, doivent être comptées comme six solutions à l'égard des équations proposées. Nous avons donc bien sept solutions indépendantes de 9; maintenant on obtiendra comme il suit les valeurs de^. elx donnant la huitième solution qui dépend seule de ce pa- ramètre. IV. En premier lieu, je tire des deux égalités [f -h mw)[v -h nw)-i-{au -+■ bv-^civ)u =:^ o, « = (p -H m(v)Q, celle-ci, qui est linéaire en m, v, w, p ■+- rnv ■+- [au -t- bi> -i- cw) 6—0. Éliminant ensuite tour à tour u et v, si nous posons, pour abréger, A = [mb—c]^^-^ [m - n)9, B = — mad^—cQ — a^ C~aB^-i- bO-hi, nous obtiendrons les suivantes : (vB — ('C = o, (vX— uC = o\ 4o8 CALCUL INTÉGRAL. mais j'observe qu'on peut faire, en désignant par ^, ^, Si trois fondions linéaires les droites ^ = o, ^ = o, ^=.0 représentant les côtés du triangle PQR; par conséquent, nous sommes amenés aux équations du premier degré, ^ B - .RC = o, $A - ^C -= o, ou encore, en introduisant un facteur indéterminé 1 à ces trois relations, (S=--, 9 = -, Si=~' a' ^ b' c Soient maintenant x=p, x = p' les coordonnées du point double P, x= q, x= q' celles de Q, et ^ = r, j= r' celles de R, elles prendront la forme suivante : $ =: jr[r-~rj)—x{r'^ ry')-i- rjr' - rq' ^ -, ^-■^ r[p-'r)-x[p'-r')-^rp'-pr'= g, ^ ^ y[f] - p) — ^W - 1'')-+- pq' - W'=^ ç^- Or, en les ajoutant membre à membre, et posant pour un mo- ment ^ = PW-r')-^q[r'-p')-^-r[p'-q'), nous en déduirons multiplions ensuite la première par p, la seconde par q, la troisième par r, et ajoutons encore, il viendra enfin, en opérant d'une manière analogue avec/>', q', r', nous APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 4^9 obtiendrons et ces résultais donnent facilement 1 /vBC-t-yCA-^-rAB ■^^ BC-+-.CA + AB ' _^'BC + 7'CAH-r'AB. •^ ~ BC + CA + AB ' e sont les formules auxquelles nous nous sommes proposés e parvenir, et qui ramènent l'intégrale j ydx à celle des fonctions rationnelles; voici une remarque à laquelle elles donnent lieu. Je djs qu'il est facile de reconnaître par leur composition analytique que les quantités a:=p, j = /)', par exemple, sont les coordonnées d'un point double. On a effectivement ^ ^ '^ BC -H CA -h- AB ' ,. ,. (r/-^')C + (/-;y)B. •^ ' BC -^ CA -^ AB ' par conséquent les deux valeurs de 6 qui sont racines de l'é- quation du second degré A = o donnent x=:p et j = />', l'une d'elles devant être considérée comme infinie lorsque A se réduit au premier degré. Nous observerons que si elles sont égales, A étant un carré parfait, le point double devient un point de rebroussement ; il en résulte qu'en faisant V = />' 1(1)» 3' -+-', et en écrivant / au lieu de x, il vient ainsi /V/j'-H/^' djr — -^.JLL fL ^ _ y3» log (j -H y/j ■■'-<_ yr,') -i- COnSt. Si l'arc est compté à partir du sommet, on déterminera la constante de manière que le premier membre s'annule pour ^ = o, et l'on trouvera I s = <-^ ^ -+--P Xos''- "^ ^ , ' ■ip a' p le terme algébrique, dans celte expression, représentant la portion de la tangente à l'extrémité de l'arc comprise entre le point de contact et l'axe des y. Comme exercice de calcul, j'indiquerai encore le procédé suivant pour y parvenir. Soit pz d'où dy on aura s-^'-pJ^:>y^pJ^. 4l2 CALCUL INTÉGRA.L. maintenant la relation donne I I r I I I I 1 [i-z'y ~ 4 L(i — z' "^ ûTT^7 ^ I- z "^ i-zj* /r/z I r ' I 1 I , I -f- z I , I -(- z et, en remplaçant z par sa valeur en r, z = -^ — - 1 v/j^-+-/y on retrouvera bien le résultat précédemment obtenu, si l'on remarque, à l'égard du terme logarithmique, que Comme seconde application de la formule de rectification, nous allons considérer l'équation de l'ellipse ^ a* ' d'où l'on tire dr — hx et, par conséquent, Si l'on pose, suivant l'usage, on aura plus simplement s— I 4/--J — -~^dx= f - dx, et nous nous trouvons ainsi amenés, par la voie de la Géomé- trie, à la considération d'une intégrale où figure la racine car- 1 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 4'3 rée d'un polynôme du quatrième degré. C'est celte origine que rappelle la dénomination de fonctions elliptiques donnée par Legendreaux intégrales de cette catégorie d'irrationnelles algébriques. A leur égard, nous savons déjà qu'on peut, en changeant de variable, abaisser d'une unité le degré supposé pair du polynôme placé sous le. radical. Ainsi, en posant a — X a -r- X ' X — a 3 I — t >n trouve r In'—é'x-' , /»i_<.»_2(,_H,.M/-H(i-e»)/» , si, pour abréger, on fait Les réductions indiquées (p. 293) donnent ensuite J (,_,)VF(0 '-' ^ Vv/F(0 far où l'on voit que l'arc d'ellipse dépend des intégrales de remière et de seconde espèce, r dt r tdt Une autre substitution, à savoir x^=t, conduit plus facile- ment encore à cette conclusion, car nous en tirons J'indique ces résultats afin d'avertir que c'est l'intégrale de première espèce, et non l'arc d'ellipse qui est analogue à l'arc 4i4 de cercle CALCUL INTÉGRAL. Il dx s/u^ — x' Les arcs de sections coniques représentent en effet un tout autre genre de grandeur; ainsi on ne peut ni les ajouter, ni les multiplier par des constructions où l'on emploierait des courbes algébriques de degré quelconque. Ce qu'il y a d'en- tièrement nouveau et de caractéristique dans leur nature ré- sulte des belles et importantes proportions de Géométrie que voici : I" Considérant deux ellipses décrites des mêmes foyers, si Fig. 4o. d'un point quelconque M [Jig, ^o) de l'une d'elles on mène des tangentes MA, MB à l'autre, l'arc AB compris entre les points de contact diminué de la somme AM + BM est une quantité constante. 2° Faisons la même construction en supposant le point M [fig- 40 sur une hyperbole homofocale à l'ellipse, qui la rencontre en N; alors Fig. 4(. la différence des arcs NA et NB sera égale à la différence des tangentes MA et MB. 3° Soit enfin deux tangentes MA et M^ {fig.^i) menées à l'ellipse par un point quelconque; si l'on construit un cercle tangent aux deux droites et à la courbe en N, la différence des arcs NA et NB sera encore égale à MA — MB. Le premier de ces théorèmes a été découvert par un géomètre anglais, M. Graves, qui l'a étendu aux coniques ^B sphériques; les suivants sont dus à M. Chasles (*), ainsi que plusieurs autres propositions du plus grand in- térêt sur les polygones inscrits et cir- I (*) Comptes rendus de V Académie des Sciences, année i8/|4. — Voyez aussi Fig. 43. APPLICA.TIONS GÉOMÉTRIQUES. 4'^ conscrits à deux coniques homofocales. Voici la démonstra- tion du second théorème, d'après l'illustre géomètre. Considérons sur l'ellipse deux tangentes infiniment voisines en A et A.' {Jig. 43); soient M et M' les points où elles cou- pent l'hyperbole, et R leurs , points de rencontre. Nous ob- servons qu'en projetant sur A' M' les points M et A en P et Q, on a, aux infiniment petits près du second ordre : RQ = RA et QP = AM. La première relation montre d'a- bord que la corde de l'arc AA', et par conséquent cet arc lui-même, est encore égal aux infiniment petits près du se- cond ordre à A' R-+-RQ = A'Q. Cela posé, j'envisage comme fonctions d'une même variable l'arc d'ellipse NA = * et le segment de tangente AM = /, de sorte qu'en la faisant croître de sa différentielle on passe du point A au point A', ce qui donnera Or, ayant A'M'=A'0-hQP-+-PM', on conclura de notre seconde relation, QP = AM = /, celle-ci, à savoir : dt = ils -f- PM'. Soient maintenant MB et M'B' les autres tangentes menées par les points M et M' à l'ellipse; si, en désignant par B et B' les points de contact et par S la projection du point M sur le Traité des sections coniques de M. Salmon, a* édition, p. 297, et dans le Journal de Crelle, t. 67, p. l\0, le Mémoire do M. Kûppcr, « Considérations géométriques destinées à faciliter l'étude de la théorie des transcendantes el- liptiques. » 4l6 CALCUL INTÉGRAL. M'B', on fait nous aurons de même dt^ = ds^ -+- SM'. Mais, d'après la propriété de l'hyperbole homofocale, les angles de la tangente MM' avec les tangentes à l'ellipse M'A' et M'B' sont égaux; il en résulte que PM'=: SM' et, par suite, dt — dt^ = ds — ds^. On en conclut t — t^~ s — s^ -t- const. ; et j'ajoute que la constante est nulle, car les deux arcs et les deux segments de la tangente s'évanouissent en même temps quand on fait coïncider les points M et N. Des courbes algébriques dont l'arc s'exprime par la fonction elliptique de première espèce. I. L'idée si naturelle de considérer dans d'autres courbes que le cercle les coordonnées d'un point variable comme des fonctions de l'arc compté depuis une origine fixe jusqu'à ce point ne donne aucunement, lorsqu'on envisage l'ellipse, des quantités analogues aux lignes trigonométriques. Les fonc- tions périodiques ainsi définies, qui au premier abord sem- blent uniformes, sont en réalité des racines d'équations trans- cendantes, admettant pour chaque valeur de la variable une infinité de déterminations imaginaires dont il n'est pas pos- sible de séparer la détermination réelle que représente la Géométrie. C'est dans le quatrième ordre seulement qu'on ren- contre une courbe dont les coordonnées sont des fonctions uniformes de l'arc, pouvant servir à une définition semblable à celle des fonctions circulaires pour les transcendantes plus élevées, qui sont l'objet de la théorie des fonctions elliptiques. Cette courbe est la lemniscate, et, en effet, par des construc- tions géométriques, on obtient un arc égal à la somme ou à la APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 4^7 différence des deux arcs donnés; le périmètre total peut être dans les mêmes cas que la circonférence du cercle, divisé en parties d'égale longueur, en n'employant que la règle et le compas. Elle a pour équation et appartient à la catégorie des courbes unicursales, les coor- données, comme on l'a vu page 2^\, s'exprimant ainsi : .' J Deux des points doubles sont à l'infini, le troisième étant l'origine; elle se déduit de l'équation générale précédemment donnée des courbes unicursales du quatrième ordre, en sup- posant que, des facteurs linéaires qui entrent dans les quanti- tés a, V, IV, l'un se réduit à une constante et correspond à une droite éloignée à l'infini, les autres étant les expressions ima- ginaires conjuguées Nous aurons ainsi u = {x -i-j\/ -i){x — y-]/'^) = x^-hx\ V — x-f- y\J- I , w -^x — y\J ~\i cl la relation homogène reproduit, en effet, l'équation précédente. Maintenant on lire des expressions rationnelles de ^ et j les valeurs ,lx x V 39' - ZV - r/ r/r _ 1 -39' - 39* t- 0' d'où résulte Jfe Partie. 27 4l8 GALCOL UfTÉGRÀL. et, par conséquent, s= fj^, Cesl celte relation qui donne inversement pour 0 une fonc- tion de s, uniforme, périodique et réalisant d'une manière complète l'analogie avec les lignes trigonométriques qu'on n'avait pu obtenir en partant de l'ellipse. Mais la lemniscate n'est point la seule courbe dont l'arc s'exprime ainsi par l'in- tégrale elliptique de première espèce; M. Serret en a décou- vert une inûnité d'autres algébriques et même unicursales; voici succinctement ses résultats (*). II. Soit n une constante supérieure à l'unité, de sorte que le trinôme O — 2/if -i- i ait ses racines réelles et que le radi- cal R = v^^/'H- 2/1/ — I soit aussi une quantité réelle, /ayant une valeur comprise entre ces racines. Cela étant, je pose „_r — I ■+- /— I R ^ _ / -4- 1 — \/— I R ces expressions imaginaires auront pour module l'unité, et l'on vériûe aisément que rflogU_ i—t-^\ d\Q%S _ I t~\ Déterminant donc x et _;^ en fonction de /, en égalant les parties réelles et les coefDcients de v^— 7 dans la relation on aura dXfssXx -\- y^ —\ ) _ I n — \ ^logU /?-+-r rfloffV ^t ~ a/ ^ 2 1Û~ '^ 2~ ^ _ R-4- ^/'^(f — n\ " 2/R ' (*) Cours de Calcul différentiel et intégral, t. II, p. 268, et plusieurs Mé- moires dans le Journal de Mathématiques de M. Liocville, t. X. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 4*9 et, par suite, dx fir , / , — V R -♦- i/— i(t — n) -,- -i- -7- V — » — ( .r -f- r V — u ^ ■ • dt dt ^ ^ ^ V / ^^j^ Or les modules de U et V étant l'unité, on en conclut d'où ldx\ /dry , , ^.R' 4f'R' 4/R' et, par conséquent, s — J 4\^t(- t*-i- 2/11 — 1) L'arc est donc exprimé par une intégrale elliptique de pre- mière espèce, et l'expression de x -{- y ^—i montre que l'équation de la courbe sera algébrique, lorsque la constante n sera un nombre commensurable. Dans le cas de n entier et impair, les coordonnées ne renfermeront même d'autre irra- tionnelle, par rapport à t, que le radical R = y/— /*-+- 2.nt — i qu'on pourra transformer, par une substitution, en une fonc- tion rationnelle d'une autre variable, de sorte que la courbe sera unicursale. Soit, par exemple, n= 3, ce qui donnera x-r-y^-i -// p I -L ) . nous en conclurons ''-^'-' ,.=.R' 4' •" kt en supposant R = y/— /'-^6/ — i , et ces relations repré- sentent précisément la lemniscate. Écrivons, en effet, l'équation entre x et / de cette manière : t{t — 4j:-4-4) = I, et remplaçons t par a;' + y^^ elle devient 27. 420 CALCUL INTÉGRAL^ ce qui met en évidence l'une des propriétés caractéristiques de la lemniscate; il suffit d'y changer ^ en ^ -f i, pour l'ob- tenir sous la forme ordinaire Je rattacherai aux courbes de M. Serret celles d'Euler, dont les arcs s'expriment par des arcs de cercles (*), et qui en sont de siiliples transformées qu'on obtient en posant X = x^ — j', Y = ^xy, ou bien X -h Y / — i — [x -+-jV- 1 r. Ayant, en effet, H — I n +• r X -^ysj -i ■-■- \/t U ^^ V ^ , nous en conclurons ce qui donne d'abord X'^ -^ T --- t\ puis r/los(X^ Yv/~i) r/log(.r+,rv/-' ) Yi-^\-\(t- n cit et, par suite, dt i\\ dt dt^ ^ ^ ^ tR Or on tire de là 777 j ~^\dt) ~ R' et, enfin, si nous désignons par 5 l'arc da la courbe, -\- lut — 1 (juantité qui ne dépend en effet que dos arcs de cercle. C* ) F'oir sur ces courbes le Cours de Calcul dijférenliel et intégral de M. Seu- r.ET, t. 11, p. 202. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 4^1 m. Pour donner un exemple de la formule de reclification des courbes dans l'espace, je considérerai rinlersecllon des deux cylindres du second degré X^-h à^x* — "xax — o, z' — i*j:' ~+- ibx ~ o. Or on lire de ces équations ('Jl\ - ^ilr 'Lfï. ( '1^ V - _ ^('-M' \'lx ) x(a— a.r)' \av (dix)dx. La somme de ces éléments entre deux limites x=^a, xr=:b, c'est-à-dire l'inté- /•* grale / Q{x)dx, donnera ainsi la portion du solide proposé J a qui est comprise entre les plans x=zn, x = b, el nous obtien- drons le volume entier V. SI nous faisons correspondre les abscisses a el b aux points extrêmes de la courbe (j> ( jr, j) = o, où la tangente est parallèle à l'axe des x* ce qui donne les deux équations £n conduisant ainsi à l'expression Ja Ja ^6{x) la Géométrie donne une notion analytique nouvelle, extension de la notion fondamentale de l'intégrale définie / f{x)dx: Ja c'est celle de l'intégrale double d'une fonction de deux varia- bles / j f{x,j')dxdf, calculée en supposant que ces varia- bles x et/ représentent tous les points de l'intérieur d'une courbe fern:ée cp(^, j)= G. Mais nous ne nous occuperons point dans ce Cours de l'élude des iniégrales doubles, qui est d'une grande importance en Analyse, elje me bornerai à éclair- cir par deux applications principales les considérations précé- dentes. IL Soit l'ellipsoïde r' r» 7^ cr u c 43o CALCUL INTÉGRAL. el pour base du cylindre rp(jr,j)=0, l'ellipse quelconque ce qui donnera j,^-9,(x)= + py^i-'J- Nous aurons, pour déterminer 0(^), en considérant seule- ment la valeur positive de z, l'expression qu'il est possible d'obtenir sous une forme assez compliquée à l'aide de termes algébriques et transcendants. Mais si les li- mites de l'intégrale sont précisément les valeurs de y, qui annulent la quantité sous le radical, la formulerelative à l'aire du cercle donne la valeur purement algébrique La base du cylindre, dans cette supposition, n'est autre que la trace de la surface sur le plan des xy, de sorte que l'inté- grale représentera le volume de la portion d'ellipsoïde située au- dessus du plan des xy, et comprise entre deux plans conduits perpendiculairement à l'axe des x, aux distances ^o et x de APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 4^' l'origine. Or les valeurs extrêmes de l'abscisse soni évidem- meni x = - a ei x = -ha, el nous aurons, pour la moilié du volume total, m ht ï — /_:"(-?)"--"3 III. En général, pour déterminer le volume limité par une surface fermée F(.r, j, z)=o, que nous supposerons donner seulement deux valeurs de z en fonction de x et de y, on prendra, au lieu du cylindre quelconque (p(a:,j^) = o, le cylindre circonscrit à cette sur- face, et la différence des volumes qui se rapportent à la plus grande et à la plus petite valeur de z fournira le résultat cher- ché. Or, la condition pour que le plan tangent dF soit parallèle à l'axe des z étant -r- :^ o, le lieu des points de contact de tous ces plans, et par conséquent la courbe de con- tact du cylindre sera représentée par les relations F(x,7, z)=o, ^^ ^ o, et l'élimination de z donne, par conséquent, l'équation cher- chée (f{x,y)=o. Il restera enfin à calculer les valeurs li- mites de X, qui correspondent aux points où la tangente à celle courbe est parallèle à l'axe des/, d'après les conditions , , H(b{.r. y\ ç(.r,j)=o, ^_-^o. Mais on aura un procédé plus simple si l'on observe qu'en ces points le plan tangent est perpendiculaire à l'axe des^; on tire de là en effet 432 CALCUL INTÉGRAL. IV. Pour seconde application je donnerai, d'après M. Cata- lan (*), l'évaluation du volume de la portion du cylindre cir- culaire comprise au-dessus du plan des xjr, et limitée par la surface On ne peut plus alors obtenir sous forme finie la fonction (d{x), l'intégrale dépendant des fonctions elliptiques, puisque la variable j entre au quatrième degré sous le radical carré; nous procé- derons comme il suit. Supposant les constantes a et (3 moin- dres que l'unité, j'observe d'abord que toule section de la surface ^~\ i — x^ — x' par un plan perpendiculaire à l'axe des z est une ellipse. C'est ce que montre l'équation écrite de cette manière et l'on reconnaît que, pour2 = s/'^W^d)' ^ . . ..... df df On a ainsi, en posant, suivant I usage, /? = -^ » ^ = -^ , a = dx dy^ \ -^ p' -^ q' . Soit maintenant - j u^fLc -h I Wj<7xH-.... t/x, 'Jx^ Jx, t/ar. Effectivement, l'expression proposée de/(^) donnant Jr*x /*x nx r>x /»x f{x)dx~ j i/^dx -h j », r/.r H- . . . -T- I u^dx -h l r,/lx, /»x il suffit de prouver que / r„ v/i-x2 Nous en conclurons Ç"" clx Ç"" dx ir^^, Ç"" x^dx Jo \/^- x^]{i-k'x') ~Jo \/i-x'^ -^ Jo y/V^J"' 1.3 ,, f-* x'dx 2.4 Jo \Ji-x' et ce développement, subsistant pour x = i, donnera la for- mule suivante, employée en Mécanique dans l'étude du pen- dule, savoir Jo y/{i-x')[i- k'x') 2L VJ \2.4/ V2.4.b; J On trouvera semblablement pour la longueur du quart de l'ellipse T^r /i\' /i3\^3 /i3 5\'/î'* ~\ ^ 2 L'" W ^■^- i^j P - iMTej T • • • J' et nous voyons que, la première intégrale étant désignée par F, et la seconde par E, suivant la notation de Legendre, on aura ou bien -â(|)=-'. ^'§---^- relation qui joue un rôle important dans la théorie des fonc- tions elliptiques. APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 44^ II. La mélhode d'évaluaiion approchée des intégrales, re- posant sur le développement en série convergente de la fonc- tion à intégrer, est donc restreinte au cas où l'on possède un tel développement. Or le théorème de Maclaurin, qui donne une formule générale de développement, exige la formation des dérivées successives de la fonction, et entraîne le plus souvent dans de longs et pénibles calculs, môme dans ces cas si élémentaires des expressions arcsin^c, arctang^. A la vé- rité on peut, à l'égard du reste, s'affranchir des discussions que nous avons faites, en considérant les fonctions (i -h x)"*, log(i -+- x). par ce beau théorème de Cauchy, savoir : Toute fonction sera développable en série convergente, sui- vant les puissances entières et croissantes de la variable, si le module de cette variable est inférieur au plus petit module des valeurs qui rendent la fonction discontinue (*). Mais le calcul des coefficients subsiste avec toutes ses diffi- cultés, et nous allons maintenant montrer de quelle manière, en admettant seulement la possibilité du développenrient, on a entièrement réussi à l'éviter. Soit l'intégrale proposée X /3 les limites étant finies, et la fonction (f{x) étant développable en série convergente depuis :r= a jusqu'à ^ = (3, de sorte que l'on ait (f{x) — /•,-+- /■, j- -4- /jX^-T . . .-I- /„j:"-i- Je désignerai par a, b,.... /, n quantités arbitraires com- prises entre a et j3, et je vais prouver qu'on peut obtenir pour les coefficients A, B,..., L des valeurs indépendantes delà nature delà fonction \ [ka 4-Bé^- ... + L/) -+-/-,(A«' -i B^»- ...+ L/») de sorte qu'on réduira R à contenir seulement kn, k„+,,..-, en posant les n équations linéaires (3-a =:A + B-(-...4-L, ^- = Art -t- Bé 4- . . . + L/, P — ey. ^ — :--r Ar/' t-B^''+...-^-L/', 3 =-- A«"-'-t-B^>"-'-T-... T-L/"- Ces relations, où n'entre rien de relatif à la fonction 9(^), déterminent donc A, B,..., L en fonction de a, b,..., l des li- mites ce, (3, et la valeur approchée de l'intégrale se calculera au moyen des n valeurs de cette fonction, la seconde par — 5 • •• 5 et ajoutons membre à membre, il viendra X "XX^ :=A(i+^,^ \x x' 6" nx" Cf. a? X ix'^ a" nx" x" )-(^.A X" } ■+- . . \x x' /''-'\ -•■-X") APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 44^ On reconnatt dans le premier membre le développement de ,Og(,-î)_,„g(,-Ê) en négligeant — ^î "tï:' * • •> et» dans le second, les expres- sions telles que I rt n»+' --+- — -+-. ..H X x' x" donnent » en négligeant de même les puissances de - X Cl X supérieures à la n""'. Il en résulte une détermination sous un nouveau point de vue des coefTicients A, B,..., L, par celte condition que la fonction rationnelle A B L v^ A X — a x—b X — / Âià X — a et la quantité tianscendante aient, aux termes près de l'ordre — ^> le même développe- ment suivant les puissances décroissantes de x. Je dis de plus que, en partant de cette égalité, où e, £,,... sont des constantes, on peut retrouver l'expression de l'intégrale définie proposée / A-H :, H , -i-...)H -I -h Cela posé, je multiplie par (f{a;), et j'égale dans les deux membres les termes en - • Dans le produit (^- + -i + -. ^ • • • J ('^O + '^l -^ + ^,X'-^.:\ le coefficient de - est X le même calcul donne ensuite 9(2) sous le signe d'intégration, et la partie — -7 + —^ conduit à la quantité de sorte qu'il vient ce qui est le résultat qu'il s'agissait d'obtenir. IV. Jusqu'ici nous avons laissé entièrement arbitraires les quantités a, b,..., l; or l'objet essentiel de l'analyse de Gauss est de les déterminer de manière à ne laisser subsister, dans la valeur de R, que les coefficients de 9(0:) de l'ordre le plus élevé qu'il sera possible. Ayant, comme on l'a vu, on disposera donc de ces quantités, qui sont au nombre de n, de manière à avoir e = o, £':= o, . . . , e"-' = o, et il en résul- tera cette expression 4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 44? OÙ figurent seulement des termes d'indice égal et supérieur à 2n. En se fondant sur la théorie des fractions continues, Gauss conclut alors immédiatement de la relation lOg a = > 1 1 7T-^ -I- . . . que les fractions rationnellesN — --—pour /i=:i, 2, 3,... sont les réduites successives du développement de log ^> dont la loi générale est aisée à obtenir. Ne devant rien em- prunter à celle théorie, je vais parvenir aux résultats de l'il- lustre géomètre par une autre voie, en les déduisant des pro- priétés les plus simples des polynômes X„de Legendre, dont j'ai précédemment donné déjà la définition. Je rappelle, à cet effet, qu'on a, en désignant par N une con- stante, celle expression d'où résulte d'abord que toutes les racines de l'équation X„=:o sont réelles, Inégales et comprises entre — i et -f i. Nous en avons ensuite tiré l'équation différentielle du second ordre (p. 210), /dx — — - nous a donné un polynôme entier F„(^) (p. 278), tel que le quotient -^^ — » ordonné par rapport aux puissances décroissantes de la va- riable, coïncide avec la série aux termes près de l'ordre -^^^' En supposant « = -'. P^', 448 CALCUL INTÉGRAL. on voit que la fraction rationnelle Ài^ X — a sera précisément X„ ' par conséquent nous devrons prendre pour les quantités a, 6,..., /les racines de l'équation X„:=o, et la théorie de la dé- composition en fractions simples donnera pour les constantes A, B,..-,L, en posant X„=F(^), les valeurs suivantes: A_F,.(^) p_F„(é) . F„(/) ^~F'(a)' ^~F'(6)'""' F(7)* Elles dépendent du polynôme F„(ar) dont nous avons donné l'origine, et qu'on obtiendrait d'une manière plus simple et plus directe, en remarquant qu'il constitue la partie entière en X dans le produit mais nous allons en donner l'expression au moyen de la dé- rivée de X«. IV. Déterminons la constante N dans l'équation par la condition X„= i pour ^ = r, et en posant X„-F(^); considérons, pour la décomposer en fractions simples, la fraction rationnelle {\-x'')Y\x\ Les seules racines du dénominateur qui ne soient pas dou- bles étant I et — I, je ferai B L (i— x')^\x) x-i x-^\ {x — ay [x — bf (."t — /)' A' B' L' -+■...-(- X — a X — b '" X — / APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 449 OU, pour abréger, I « P Vr A A' (i— x''jF»(jrJ X — I x-4- Cela élanl, on a d'abord I Jmi\_{x~ay x — aj el, par suite, a— — ) p = -» car on a supposé F(i) - i, el F{x) renfermant seulement des puissances de x de même parité; F'( — x) a la même valeur que F'(ar). Soit ensuite x ^a -\- h, A et A' seront les coefficients des termes en r; et t dans le développement du premier mem- bre, suivant les puissances croissantes de cette quantité. Or on a I _ 1 I F'(^) I et le produit des seconds membres donne immédiatement les valeurs (i-«-^)F"(«)' (i-«*)^F'»(rt) Mais l'équation différentielle (a:»-i)F''(x)-f-aa:F'{x)-«(/z-t-i)F(x)=o nous montre, en y posant ^ = a, queA" — o, de sorte qu'on parvient à l'égalité suivante (i-x»)FHjr) ^ a \x^ ~ x^^) '^2à {i — à')F"(a)(x — a)''' ' f' Partie. 29 45o CALCUL INTÉGRAL. En intégrant, elle donne J"'^ dx _ I J7 -H I '^ I puisque le second membre s'évanouit pour ^ =qo . Or, en développant l'intégrale suivant les puissances dé- croissantes de X, on aura, F(:r) étant du »""" degré, une série de la forme \ V d'où la relation 2> aV ^^^ \x - I ) '^2à{i - n')F"(a){x - a) ^ iP^ "^ P^^ "^^ ' * ' et l'on en tire, comme nous avons vu, si l'on pose V. L'intégrale / c^{z)dz, prise entre deux limites quel- conques, que je supposerai finies, se transforme, en posant -+- a S — a h ■ X. z — 1 2 dans celle-ci : P — a £^C-^-^^)-. à laquelle s'applique donc la méthode d'approximation que nous venons d'exposer. Celte méthode exige la connaissance des racines a, 6,..., / des équations X„ = o, et les valeurs des quantités correspondantes APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 4^1 On les trouvera dans le Mémoire de Gauss, auquel je renverrai, calculées respeciivemeni avec dix el quinze décimales, et je me bornerai à remarquer qu'ayant, dans les cas de n = i, 2, 3, , = jr, A, = — , A, = , on en déduit, pour les expressions approchées correspon- dantes de l'intégrale, (P-')t(^> 2" a K^"-^;^)-(^-'^75)] p-« 3» Gauss a fait l'application de sa méthode au calcul du loga- rithme intégral / j ■ pris entre les limites a = 100,000, P = 200,000, et trouve ainsi Pour n—T. 8405,954599 Pour /i:^:::3 84o6, 230775 Pour n — 4 8406,242970 Pour n — 5 8406,248117 Pour n — 6 84o6,243i2i Pour «=7 8406,243121 A cette occasion, je ferai observer que la partie entière de la 29. 452 CALCUL INTÉGRAL. valeur numérique de celle iniégrale donne Irès-approximaiive- menl le nonibre des nombres premiers compris entre les deux limites; car, d'après les Tables, il y a gSg-a nombres premiers de I à looooo, el 17984 de i à 200000; or la différence esl 8392; c'esl, à i4 uniiés près, le nombre 8406 qui esl donné parle logarilhme iniégral. VI. Les intégrales définies de celle forme X -+■ I qui s'offrenl souvent, donnent lieu à une méthode spéciale d'approximation qu'il convient d'indiquerpour sa simplicité, et aussi afin de donner un second exemple des considérations précédentes. Soit Y{x) le polynôme entier de degré », défini par l'égalité F ( x ) = cos // (arc cos^) , on aura ¥'[x) = n sin«(arccos^) v/ 1 — X* et, par conséquent, \/ \ — x^ Or de là résulte une approximation du radical ■ par une fraction rationnelle, car on peut écrire ' ^ F'(.r) r i__ir'' \/x^-\ nV[x)\_ Y\x)\ ^ r{x) r j^ i_ ]_^ _i_ 1 ~ nY[x)Y^^ 'j.¥\x) ^2.4 ¥'[x~)'^'"X et, en observant que le développement suivant les puissances APPLICATIONS GÉOMÉTRIQCES. 4^3 décroissantes de x, la quanliié est évidemmenl de la forme I .M-fi • ,.i«-f3 ~2n-ti nous poserons, en conséquence, I f{x)_ l Cela établi, je rappelle que l'on a fiz TT r [,r — z)\/i— z' y/-*'— 1 de sorte que l'égalité précédente devient I r-^' dz F'(.rl \ \ V '- -1 1 ) X'"" x^- F'ix) il en résulte, en décomposant en fractions simples „, /> et désignant, à cet effet, par a, b,..., l les n racines de l'équa- tion F(:r)=:o, cette relation I /" -^ ' dz ^ ' y ' \ ( ^ \ ^' \ \ Or il suffit maintenant de multiplier les deux membres par la fonction (f[x) = /•,+ /•, X ■+- /•,a:'-+- . . . -+- ^■„x"-i-. . . , 454 CALCUL INTÉGRAL. et d'égaler ensuite les termes en - pour en conclure si l'on pose C'est la formule d'approximation pour l'intégrale que nous avions en vue ; elle prend une autre forme qu'il importe de remarquer, en changeant de variable, et faisant x = cosQ. Ef- fectivement on a alors F(^)= cos«9, d'où l'on voit que les racines a, b,. . ., l sont données par l'ex- pression ( 2 /?• -+- I ) TT cos^ — in pour ff = o, I, 2,..., n — i; nous obtiendrons, en consé- quence, n —1 o Soit, comme application, l'intégrale f " v^a^sin^6-h^''cos'0f/9, t/o qui représente la moitié de la circonférence de l'ellipse a7 = acos0, j— èsinô.En faisant \/x'-]-x' = f{9), et remar- quant que/(7r— Q)=f{0), on obtient facilement cette con- séquence, que le périmètre de l'ellipse est donné approxima- tivement par une circonférence de cercle, dont le rayon sera Pour «=a ^ [j)' Pour n^3 ^l^^^'^'^^'^vljj' r»- "=4 Ê[ ^3> ^ : ^i > r^» :>) i:» Q? >2> J?^ >^ or;» '"_ ^ ^ J> 3" ^O 3» )^ 3>I> . >> j> r> :>> J^ 3^> 3 3^ 33 3 3 3^ > 33 : >> 3:> ^ 3 33 3 ^ >> 3 >> !>?> 1>^ •> > ) > » • ^ > > ' ^ ► » - -> j^^ __^ ^ ■>7> _^ T) > > o ^ > > j> J> o > > ■) ' > > / ' ' > PLEASE DO NOT REMOVE CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET UNIVERSITY. 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